2.2.1 直接开平方法与配方法 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程求解，核心内容为直接开平方法与配方法（二次项系数为1）。通过从简单方程x²=5入手，结合平方根意义引出直接开平方法，再通过(x+1)²=5等方程过渡到配方法，搭建“具体示例—归纳方法—应用拓展”的学习支架。 其亮点在于以“问题链”驱动探究，从解方程x²+12x-15=0的讨论切入，引导学生发现“常数项为一次项系数一半的平方”，培养抽象能力与推理意识。通过“移项—配方—开方”步骤总结强化模型意识，学生能理解方法本质，教师可依托清晰教学路径提升效率。

2.2.1 用配方法求解一元二次方程（1） 第二章 一元二次方程 探究新知 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 观察下面的一元二次方程，试着解一解。 x2=5 2x2+3=5 x2 + 1 = 0. 根据平方根的意义，得x1= , x2= . 方程可化为x2=1，所以x1=1 , x2=-1. 解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解. (2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = n (1) 的方程， (1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程 (1) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 探究归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （3）x2 + 2x + 1 = 5 （4）(x + 6)2 + 72 = 102 解：得(x + 1)2 = 5 于是，原方程的两个根为 解：移项，得 (x + 6)2 = 51. 两边开平方，得 x + 6 = ， 即 x + 6 = 或 x + 6 = - 所以 x1 = ， x2 = . 探究新知 直接开平方法： 基本思路： 形如（x + m）2 = n (n≥0) 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再用直接开平方法， 直接求根. 归纳总结 知识点2 用配方法解系数为1的一元二次方程 x2+12x-15=0 怎样将这个方程化成上述方程的形式？ (x+m)2=n(n ≥0) 将一次项12x改写成2·x·6，得x2+2·x·6=15 由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上62 即：x2+2·x·6+62=15+62， （x+6）2=51 讨论：怎样解方程x2+12x-15=0？ 两边开平方，得x+6= 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1= , ,x2= . 在这个题目中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 试一试：填上适当的数，使下列等式成立 1. x2+12 x+ =(x+6)2 2. x2-6 x+ =(x-3)2 3. x2-4 x+ =(x - )2 4. x2+8 x+ =(x+ )2 62 32 22 2 42 4 常数项等于一次项系数一半的平方 问题：等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？ 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. x2 +bx + ( )2 = ( x + )2 配方法 归纳总结 x2 + bx + c = 0 ①将常数项移到方程的右边. ②两边都加上一次项系数一半的平方. ③直接用开平方法求出它的解. 移项 配方 开方求解 配方法解方程的基本步骤 x2 + bx = -c x2 + bx + （ ）2 = （ ）2 - c （x + ）2 = （ ）2 - c 例： 解方程 x2+8x-9=0 x1 = 1 ， x2 = -9. 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤 形如 (x + m)2 = n (n≥0) 将方程转化为(x + m)2 = n (n≥0)的形式，在用直接开平 方法，直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 当堂小结 C. 解方程 4(x - 1)2 = 9，得 4(x - 1) =±3，x1 = ， x2 = D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. 解方程 x2 = -2，得 x =± B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4 课堂练习 D (1)方程 x2 = 0.25 的根是 . (2)方程 2x2 = 18 的根是 . (3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . 3. 解下列方程： (1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4. x1＝0.5，x2＝-0.5 x1＝3，x2＝-3 x1＝2，x2＝-1 2.填空: x1＝9，x2＝-9. x1＝5，x2＝-5. x1＝1，x2＝-3. (3)y2－6y＋6=0； (4)x2－10x=24. x1=12，x2=－2 y1=3＋ ，y2=3－ . 4.用配方法解一元二次方程： 1.上交本：P45第1题 2.练习册 $