2.2 求解一元二次方程 第1课时 直接开平方法与配方法 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦北师大版九年级上册“一元二次方程”中直接开平方法与配方法的求解，通过复习上一课梯子滑动距离方程问题导入，衔接平方根知识和完全平方公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“议一议”“做一做”等探究活动引导学生自主归纳直接开平方法适用条件，通过配方法推导培养抽象能力和推理意识，如从完全平方公式发现常数项规律，助力学生体会转化思想，教师可借助清晰结构和实例提升教学效率。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第二章 一元二次方程 2.2求解一元二次方程 第1课时 直接开平方法与配方法 学习目标： 1.理解直接开平方法、配方法的原理，掌握两种解法的基本步骤 2.可以运用两种方法求解简单的一元二次方程 3.经历配方的推导过程，体会转化的数学解题思想 2.2.1直接开平方法与配方法 复习导入 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精 确值吗？ 10 m 8 m 1 m x m 复习回顾 1、如果一个数的平方等于9，则这个数是 ， 若一个数的平方等于7，则这个数是 。 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 2、用字母表示因式分解的完全平方公式。 ±3 正数有两个平方根，它们互为相反数 探究新知 直接开平方法 1 1.你能解哪些特殊的一元二次方程? 先独立完成再与同伴交流做法。 （1）x2 = 4； （2）x2 = 0； （3）x2 + 1 = 0. 议一议 直接开平方法 1 （1）解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. （3）解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解. （2）解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. 探究新知 (2) 当 n = 0 时，原方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； 一般的，对于可化为 x2 = n 的方程 (1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，原方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 探究归纳 (3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以原方程无实数根. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 探究归纳 2.你会解下列一元二次方程吗？先独立完成再与同伴交流做法。 （1）x2 = 5， （2） 2x2 + 3 = 5， 议一议 （1）x2 = 5， （2）x2 + 3 = 5， 解： 直接开平方，得 解：移项，得 2x2 = 2. 直接开平方，得 x = ± 1， ∴ x1 = 1，x2 = -1. 系数化为 1，得 x2 = 1. 小试牛刀 （1）x2 + 2x + 1 = 5，（2） (x + 6)2 + 72 = 102 挑战自我 3.你会解下列一元二次方程吗？先独立完成再与同伴交流做法。 （1）x2 + 2x + 1 = 5， 解 (x + 1)2 = 5 ， 所以，原方程的两个根为： 解析：先将 72 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解. 解：移项，得 (x + 6)2 = 51. （2）(x + 6)2 + 72 = 102. 两边开平方，得 x + 6 = ， 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = ， x2 = . 15 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 探究交流 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 探究交流 下列完全平方公式你还记得吗？动手填一填 (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 探究交流 配方的方法 2 配方的方法 2 (3) 梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 议一议 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 12x = 15 ， x1，x2 都符合原问题的要求吗？ （舍） 两边都加 62，得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62， 即(x + 6)2 = 51 . 两边开平方，得 x + 6 = ， 因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根 x1 = ， x2 = . 填上适当的数或式，使下列各等式成立： （1）x2 + 12x + = ( x + 6)2； （2）x2 − 4x + = ( x − )2； （3）x2 + 8x + = ( x + )2； 你发现了什么规律？ 62 22 2 42 4 做一做 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3 你发现了什么规律？ 对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式. 归纳小结 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填： x2 + px + ( )2 = ( x + )2 配方的方法 归纳总结 例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9 ， 两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， 即 (x + 4)2 = 25 . 两边开平方，得 x + 4 = ± 5 ， 即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5. 所以 x1 = 1 ， x2 = -9. 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解． 要点归纳 25 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 C. 解方程 4(x - 1)2 = 9，得 4(x - 1) =±3，x1 = ， x2 = D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. 解方程 x2 = -2，得 x =± B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4 D 课堂练习 (1)方程 x2 = 0.25 的根是 . (2)方程 2x2 = 18 的根是 . (3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . 3. 解下列方程： (1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4. x1＝0.5，x2＝-0.5 x1＝3，x2＝-3 x1＝2，x2＝-1 2.填空: x1＝9，x2＝-9. x1＝5，x2＝-5. x1＝1，x2＝-3. 28 $