专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+10大题型+自我检测） 重难点专题提升精讲精练 2026-2027学年沪教版（五四版）六年级数学上册

该初中数学讲义通过梳理有理数加法、运算律、减法及加减混合运算4个核心知识点构建单元体系，以定义、法则、注意事项的结构化呈现知识脉络，结合即时训练题，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“气温变化计算”培养应用意识，提高题型如“数轴与加减法结合”发展几何直观，新定义运算题提升推理能力。自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数加法运算 1 题型二、有理数加法运算律 2 题型三、有理数加法中的符号问题 3 题型四、有理数加法在生活中的应用 4 题型五、有理数的减法运算 5 题型六、省略加法和括号的形式 6 题型七、有理数减法的实际应用 7 题型八、有理数的加减混合运算 8 题型九、有理数加减中的简便运算 9 题型十、有理数加减混合运算的应用 10 第二部分·练提高题型 题型一、有理数加减法与数轴结合 1 题型二、含绝对值的有理数加减法计算 2 题型三、有理数加减法的新定义运算 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：（     ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：. 2．（25-26六年级下·上海·期末）计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 2．（2026七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（___________）+（___________）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：，． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【答案】 【分析】按照从左到右的运算顺序，结合有理数加法法则计算即可． 【详解】解：． 【基础题型一 有理数加法运算】 【例1】（2026·安徽·模拟预测）下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 两数之和为，其中一个加数为， ∴ 另一个数为， 观察四个选项，只有选项B符合题意． 【例2】（2026·江苏扬州·模拟预测）_____． 【答案】4 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． 1．（25-26六年级上·山东烟台·期中）若a、b表示有理数，且，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件推出，再结合有理数的大小比较法则，对排序即可得到结果. 【详解】解：，，， ，即 ， ， ， ； ， ， ， ， 综上得排序为，综上A、B、C均错误，选项D正确． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）数轴上有、两点，点在点的右侧，且．若点表示的数为，则点所表示的数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的加法．点在点的右侧，因此点所表示的数等于点所表示的数加上的距离 【详解】解：，即点所表示的数是 故答案为：． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案； （2）根据和解答；②根据解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①，， 则； ②， 则． 【基础题型二 有理数加法运算律】 【例1】（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．分配律 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律,进行凑整计算． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，运用了加法交换律和加法结合律， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，（1）______；（2）_____． 【答案】 0 14 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可． 【详解】解：； ； 故答案为：0；14． 1．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·周测）（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 3．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：， （2） ， ， ． 【基础题型三 有理数加法中的符号问题】 【例1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 1．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 2．（25-26七年级上·陕西·阶段检测）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 【基础题型四 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（2026·广东汕头·一模）某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：中午时的气温为． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 【答案】 3000 【分析】规定存入为正，则取出为负，再根据有理数加法计算存折剩余金额即可． 【详解】解：由题意得，存入记为正，取出记为负，因此三月份取出2000元，存折上记作元； 存折上现有金额为元． 1．（2026·河北沧州·三模）电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 【答案】 12 38 【分析】本题考查最优策略下的过河时间计算，根据船的载客人数，结合“多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同”这一规则，分别分析两种载客人数下的最短时间． （1）当船的最大载客人数为人时，四人可同时乘船过河，过河时间取单人划船过河所需的最长时间，即的分钟； （2）当船的最大载客人数为人时，需通过多次往返完成过河，最优方案为：和先过河，返回；和再过河，返回；最后和再次过河，计算总时间即可得最短时间分钟． 【详解】解：（1）∵船的最大载客人数为人，四人可同时乘船过河， 又∵多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同，四人中最长时间为分钟， ∴四人过河所需最短时间为分钟． 故答案为：； （2）解：船的最大载客人数为人，需通过“快者往返送船”的策略优化时间，具体步骤如下： 第一次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第二次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第三次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟．累计：分钟． 此时四人全部过河，总耗时最短为分钟． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·山东烟台·期中）有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 【基础题型五 有理数的减法运算】 【例1】（2026·四川自贡·模拟预测）比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：所求数为． 【例2】（25-26七年级上·广西百色·期末）有理数的减法法则可以表示成__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法法则，关键是理解“减去一个数等于加上这个数的相反数”的核心转化逻辑，明确减数的相反数为，从而将减法运算转化为加法运算的形式． 【详解】解：根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∵数的相反数是， ∴； 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小． 【详解】解：∵有理数，， ∴， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数． 2．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把数轴上表示数2的点向左移动3个单位后，表示的数为_______． 【答案】 【分析】根据数轴上的动点问题直接求解即可． 【详解】解：∵数轴上表示数2的点向左移动3个单位， ∴移动后表示的数为：． 3．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 【基础题型六 省略加法和括号的形式】 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）把写成省略括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减运算中去括号的规则，掌握“同号得正，异号得负”的原则是关键；根据有理数加减法则，减去正数等于加上负数，加上正数等于正数，减去负数等于加上正数，将原式中的括号省略即可。 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 原式可写成 ， 故选 ：D 【例2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的符号简化，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的运算法则． 先将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，写成和的形式． 【详解】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 因为可以转化为+5， 所以原式可转化为， 省略加号和括号后，得到． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东湛江·阶段检测）把写成省略算式中的括号和加号后的形式是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法中的括号问题．根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【基础题型七 有理数减法的实际应用】 【例1】（2026·贵州安顺·二模）我市某天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，根据温差的定义，温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则计算即可． 【详解】 温差最高气温最低气温，最高气温为，最低气温为, 温差为 ，故选D． 【例2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）冬天室内温度是，室外温度是，那么室内温度比室外温度高_______． 【答案】36 【分析】求室内温度比室外温度高多少，用室内温度减去室外温度，根据有理数减法法则计算即可. 【详解】解：， 所以室内温度比室外温度高. 1．（25-26七年级上·内蒙古乌海·期中）某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【答案】A 【分析】温差为最高气温与最低气温的差，先根据有理数减法计算出每天的温差，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 温差最高气温最低气温， 分别计算每天的温差： 1月1日：， 1月2日：， 1月3日：， 1月4日：， ∵， ∴温差最大的是1月1日． 2．（25-26七年级上·北京丰台·期末）学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 【答案】 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选个，类别Ⅱ选个，满足，，得仅或两种情况，再结合特殊规则分别计算目标值． 【详解】解：整理已知：类别Ⅰ共个项目，积分分别为，，；类别Ⅱ共个项目，积分分别为，，，，，规则为：B与H不能同时选，C与D必须同时选或不选． （1）该同学已选B和C，因此类别Ⅰ已选个，即，得． ∵C已选， ∴D必须选，类别Ⅱ已确定选D，还需再选个类别Ⅱ项目． ∵B已选， ∴H不能选，剩余可选项目为E，F，G，要总积分最大，选积分最大的F，G． 总积分为：． （2）求积分差的最大值，即求最高总积分减去最低总积分． ①求最高总积分： 若，最大总积分为（第一问结果）； 若，要积分最大，选最高积分组合：选C，则必须选D，剩余个类别Ⅱ选积分最高的F，G，H， 总积分为：，比大， 因此最高总积分为． ②求最低总积分： 若，要积分最小，选类别Ⅰ积分最小的A,C， ∵C已选， ∴D必须选，剩余个类别Ⅱ选积分最小的E，F， 总积分为：； 若，总积分为，比大， 因此最低总积分为． ③积分差的最大值为：． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 【基础题型八 有理数的加减混合运算】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）这个算式结果的整数部分是______． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加减运算，将化为，进行求解即可． 【详解】解：原式， ， 故整数部分为8； 故答案为：8 1．（25-26七年级上·全国·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 用结果减去加数，加上减数即可． 【详解】解：∵计算结果为15， ∴ ，即， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 【答案】 【分析】先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值．本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的运算及找到数的和的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 所有数的和为，横、竖及内外两个圆的和相等，且横、竖的和包含了所有数（内外圆的和也包含所有数），设内外两个圆的和为，则， ∴ ． ∵ 横线上的数为、、、，其和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 【基础题型九 有理数加减中的简便运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】50 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：50． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键． 寻找能与前两个分数中的一个凑成整数的数，简化运算即可． 【详解】解：原式为 选项A：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项B：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项C：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项D：若■表示的数为，则原式为，能用简便方法进行计算，符合题意； 故选：． 2．（25-26七年级上·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【基础题型十 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 【例2】（2026·四川成都·二模）某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 【答案】水下51米 【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量及有理数加减运算． 解题关键是把水面记为0，用负数表示水下深度、正数表示上升，通过有理数加减计算最终位置．先规定水面为0，下潜为负、上升为正，依次列出各阶段位置变化，再通过有理数加减运算，算出潜水员最终的水下深度． 【详解】解：我们可以把水面看作0米，下潜记为负数，上升记为正数来计算∶ 先潜入水下56米∶ 位置为米，上升21米∶ 位置变为米 再下潜16米∶ 位置变为米 所以，这时潜水员处在水下51米位置． 1．（26-27六年级上·上海·期中）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 2．（25-26七年级上·北京·期中）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 【答案】 29 乙-丙-甲-丁 【分析】第一问需按给定顺序梳理冲压与组装生产线的时间线，考虑组装需同时满足零件完成冲压和组装线空闲两个条件，计算全部完成的最晚时间；第二问通过分析各零件两道工序的时间关系，优化排序以减少组装线等待时间，从而得到最短总时间的冲压顺序． 【详解】解：第一空计算： 按甲-乙-丙-丁的顺序进行冲压： 冲压生产线总耗时：（分钟） 组装生产线作业时间线分析： 甲在第8分钟完成冲压，随即开始组装，至分钟完成组装 乙在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（14分钟）后启动，至分钟完成组装 丙在第分钟完成冲压，此时组装线刚好空闲，至分钟完成组装 丁在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（27分钟）后启动，至分钟完成组装， ∴全部零部件完成加工的最晚时间为29分钟． 第二空最优排序推导： 为缩短总加工时间，需减少组装生产线的等待时间，按以下逻辑排序： 冲压时间小于组装时间的零件（乙、丙），按冲压时间从小到大排序，即乙在前、丙在后， 冲压时间大于组装时间的零件（甲、丁），按组装时间从大到小排序，即甲在前、丁在后， 将两类零件组合，冲压时间小于组装时间的零件组排在前，大于组装时间的零件组的排在后，得到最优冲压顺序为乙-丙-甲-丁． 故答案为：29，乙-丙-甲-丁． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 【提高题型一 有理数加减法与数轴结合】 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，有理数的减法，利用数轴上两点间的距离列式计算即可． 【详解】解：刻度尺上表示对应数轴上的数为：． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 1．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图，直径为2的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动地滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（    ） A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减等知识，正确理解题意、全面分类是解题的关键； 先得到圆的周长，再分两种情况：若圆向右和向左作无滑动地滚动，分别求出相应的数，即可作出判断. 【详解】解：因为圆的直径为2， 所以圆的周长， 若圆向右作无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，则这个点表示的数为，这个点的位置在5和6之间， 若圆向左作无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，则这个点表示的数为，这个点的位置在与之间； 故选：D. 2．（2026七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是______________； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是_____________； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数_____________的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是____________和______________． 【答案】 3 6或/或6 0 1012 【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是6或； 故答案为：6或； （3）∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对折点是表示的点， ∵， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）∵M、N两点之间的距离为2026且互相重合， ∴， ∵由（3）知对折点为，点在点的左侧， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为：；1012． 3．（25-26七年级上·重庆巫山·期末）先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 【答案】（1）5；2或；（2）13；1；（3）9；（4）4 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减运算，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和2两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式，分2种情况即可求出的值； （2）首先根据绝对值的性质分别求出的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，分4种情况求出点A和点B之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知表示数的点在数轴上表示数和4的点之间，找到之间的所有整数并求和即可； （4）根据题意可知，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，再利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（1）， ∴数轴上表示和2两点之间的距离是5； ∵数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴a的值为2或； 故答案为：5；2或； （2）∵，， ∴，， ∴或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴A，B两点间的最大距离是13，最小距离是1， 故答案为：13；1； （3）表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数4的点之间的距离， ∴表示到数和4的点之间的距离之和等于5的点， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数和4的点之间， ∴符合条件的整数点x为，0，1，2，3，4， ∴这些点表示的数的和是； 故答案为：9； （4）表示的是数轴上表示数的点到表示数1的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示数的点到数1和的点之间的距离之和， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，最小值为， ∴距离和的最小值为4． 【提高题型二 含绝对值的有理数加减法计算】 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）若x的绝对值是11，y的绝对值是14，z的绝对值是20，且的绝对值是，的绝对值是，则（   ） A．23 B．45或23 C．45 D．-45或-23 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，绝对值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出，，的值，可得结论． 【详解】解：x的绝对值是11，y的绝对值是14，z的绝对值是20， ，，， 的绝对值是，的绝对值是， ，， ，，或，，， 或23． 故选：B 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）数的符号是_______，绝对值是_______；数0.5的符号是_______，绝对值是_______，这两个数属_______号（填：“同”或“异”），绝对值较大的数的符号是_______．这两个数的绝对值之和是_______；较大的绝对值减较小的绝对值的差是_______． ____（｜__｜____｜__｜）＝_______．零加上a得_______． 【答案】 － 2 ＋ 0.5 异 － 2.5 1.5 － － 0.5 a 【分析】根据有理数的性质及加法运算法则即可依次填空． 【详解】数的符号是-，绝对值是2；数0.5的符号是+，绝对值是0.5，这两个数属异号（填：“同”或“异”），绝对值较大的数的符号是-．这两个数的绝对值之和是2.5；较大的绝对值减较小的绝对值的差是1.5． -（｜2｜-｜0.5｜）＝．零加上a得a． 故答案为：－；；2；＋；0.5；异；－；2.5；1.5；－；；－；0.5；；a． 【点睛】此题主要考查有理数的性质与运算，解题的关键是熟知绝对值的运用． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，小明在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上．这时小明产生了两个猜想，对于猜想Ⅰ和猜想Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 猜想Ⅰ：墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数； 猜想Ⅱ：墨水遮住的所有整数的绝对值的和为9． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值的相关知识，需要先确定被墨水遮住的整数，再分别验证两个猜想． 【详解】解：由题意知，墨水遮住的整数有．没有遮住．故猜想Ⅰ错误； 墨水遮住的所有整数的绝对值的和为．故猜想Ⅱ正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值的知识，解题关键是准确找出被墨水遮住的整数，再结合绝对值的定义进行分析判断． 2．（25-26七年级上·北京怀柔·期末）下列是运用有理数加法法则计算-5+2思考、计算过程的叙述：①-5和2的绝对值分别为5和2；②2的绝对值2较小；③-5的绝对值5较大；④-5+2是异号两数相加；⑤结果的绝对值是用5-2得到；⑥计算结果为-3；⑦结果的符号是取-5的符号——负号．请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______________________． 【答案】④①②③⑤⑦⑥，②③可以交换位置，⑤⑦可以交换位置 【分析】根据有理数的加法法则，按照有理数加法法则的计算顺序逐个判断即可 【详解】解：根据有理数加法法则， 应该先看两数符号是否相同，故应该先④， 若符号不同，再看两数的绝对值，故再① 然后再比较绝对值的大小，故再②③或③② 然后再确定结果的绝对值与结果的符号，故再⑤⑦或⑦⑤ 最后得出结果，故最后为⑥ 故答案为：④①②③⑤⑦⑥，②③可以交换位置，⑤⑦可以交换位置 【点睛】本题考查有理数的加法法则，熟练掌握并理解加法法则的含义是解题的关键 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）“绝对值”是初中数学的重要知识点之一，它既有“数的意义”，又有“形的特征”，小明同学在学习过绝对值后，制作了如下知识卡片： 知识卡片1 ☆一个数的绝对值与这个数的关系： ☆正数的绝对值是它本身； ☆负数的绝对值是它的相反数； ☆0的绝对值是0 知识卡片2 绝对值的非负性； ☆任何数的绝对值都大于或等于0，即； 知识卡片3 绝对值的 ； ☆一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离 知识卡片4 距离公式： ☆若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离 将式子的值记为M，即 请借助以上知识卡片和你自己对绝对值的理解，解决以下问题： (1)当，时，______； (2)若，求a和b的值； (3)若，当变化时，的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值的非负数和绝对值的几何意义： （1）直接代值计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，则； （3）根据绝对值的几何意义得到表示的是数轴上表示x的数到表示的数和到表示2023的距离之和，则当时，有最小值，最小值为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵表示的是数轴上表示x的数到表示的数和到表示2023的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴M的最小值为． 【提高题型三 有理数加减法的新定义运算】 【例1】 （25-26七年级上·广东惠州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．根据定义，先求，再计算 ． 【详解】解：表示不超过的最大整数，且， ． ． 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）新定义规定图形表示运算，表示运算，则_________________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用， 根据新定义要求列出算式，再根据有理数加法法则计算即可. 【详解】解：根据题意，待求式. 故答案为：1. 1．（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定：．则等于（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，化简绝对值，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数的加减混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）对于有理数a，b定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|，则2⊙（﹣3）＝____. 【答案】6 【分析】根据题中的新定义进行计算即可得． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是理解题意． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3) 解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）略 1．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）定义新运算：若，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据题中新定义列算式，然后利用有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意， ． 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【详解】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 5．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）生活中经常能看到用正负数表示允许误差的情形，某品牌乒乓球的产品参数如图所示，按照这个参数，下列质量、直径的乒乓球合格的是（   ） A．质量，直径 B．质量，直径 C．质量，直径 D．质量，直径 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减的应用． 根据求出乒乓球质量、直径的合格范围进而判断即可． 【详解】解：由题意知，乒乓球质量的合格范围为，即， 乒乓球直径的合格范围为，即， 只有C乒乓球质量、直径均在合格范围内． 故选：C． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）是应用了______律． 【答案】结合 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则进行求解是解决本题的关键． 应用有理数加减混合运算法则进行判断即可得出答案． 【详解】解：是应用了结合律． 故答案为：结合． 7．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将式子写成省略加号的形式__________． 【答案】 【分析】根据有理数去括号法则化简每个括号内的符号，然后写成省略加号的形式即可，注意若括号前为减号，去括号时需改变括号内各项的符号；本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握省略加法及括号的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 则原式 ； 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】 解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 【分析】本题主要考查了有理数的加法，数字的变化类问题，仔细观察数字的分布，找到规律下面两个数的和等于上面的一个数字；进而根据图形的规律，写出答案即可． 【详解】略 9．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制，十二进制，六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天，一年12个月，一小时60分钟的计时方法．某校七年级课外实践小组在对进位制的认识与探究活动中，李老师给小组出了一个问题：“的计算结果是多少？”，此题的正确结果是________．（结果用七进制表示） 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，掌握进制之间的转换方法，是解题的关键； 将两个七进制数右对齐，从个位开始逐位相加，并处理进位．个位相加得7，在七进制中写0进位1；十位相加并加进位得8，8除以7商1余1，写1进位1；百位相加并加进位得4，写4．最终结果为． 【详解】 计算过程如下： 个位：，写0进位1；十位：，余1，写1进位1；百位：，写4． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下表（“+”表示客流量比前一天增加，“−”表示客流量比前一天减少）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 若9月30日的客流量为万人，则10月6日的客流量为_____万人． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用． 把9月30日的客流量为万人与这6天的人数变化情况相加即可求解． 【详解】解：（万人）， 10月6日的客流量为万人． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·云南·期末）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，利用减法法则化为加法，计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，灵活运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （2）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （3）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （4）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 15．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）小红家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，她将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)已知小红家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)， (2)行车电脑会发出充电提示 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式． ()由题意可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； ()先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出20%电量对应的续航里程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知：第三天行驶了，第六天行驶了， 以为标准， 第三天处的数为：，第六天处记录的数为：， “■”处的数为，“●”处的数为， 故答案为：； （2）根据题意得，七天行驶路程为：， 剩余路程为：， ， ， 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会发出充电提示． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数加法运算 1 题型二、有理数加法运算律 2 题型三、有理数加法中的符号问题 3 题型四、有理数加法在生活中的应用 4 题型五、有理数的减法运算 5 题型六、省略加法和括号的形式 6 题型七、有理数减法的实际应用 7 题型八、有理数的加减混合运算 8 题型九、有理数加减中的简便运算 9 题型十、有理数加减混合运算的应用 10 第二部分·练提高题型 题型一、有理数加减法与数轴结合 1 题型二、含绝对值的有理数加减法计算 2 题型三、有理数加减法的新定义运算 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：（     ） A．2 B． C．6 D． 2．（25-26六年级下·上海·期末）计算：________． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（___________）+（___________）． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：________． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【基础题型一 有理数加法运算】 【例1】（2026·安徽·模拟预测）下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 【例2】（2026·江苏扬州·模拟预测）_____． 1．（25-26六年级上·山东烟台·期中）若a、b表示有理数，且，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）数轴上有、两点，点在点的右侧，且．若点表示的数为，则点所表示的数是___________． 的 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【基础题型二 有理数加法运算律】 【例1】（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．分配律 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，（1）______；（2）_____． 1．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 2．（25-26七年级上·全国·周测）（1）计算：________． （2）计算：________． 3．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【基础题型三 有理数加法中的符号问题】 【例1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 1．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西·阶段检测）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【基础题型四 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（2026·广东汕头·一模）某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 1．（2026·河北沧州·三模）电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 3．（24-25六年级上·山东烟台·期中）有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【基础题型五 有理数的减法运算】 【例1】（2026·四川自贡·模拟预测）比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【例2】（25-26七年级上·广西百色·期末）有理数的减法法则可以表示成__________． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把数轴上表示数2的点向左移动3个单位后，表示的数为_______． 3．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【基础题型六 省略加法和括号的形式】 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）把写成省略括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 2．（25-26七年级上·广东湛江·阶段检测）把写成省略算式中的括号和加号后的形式是________． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【基础题型七 有理数减法的实际应用】 【例1】（2026·贵州安顺·二模）我市某天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）冬天室内温度是，室外温度是，那么室内温度比室外温度高_______． 1．（25-26七年级上·内蒙古乌海·期中）某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 2．（25-26七年级上·北京丰台·期末）学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【基础题型八 有理数的加减混合运算】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）这个算式结果的整数部分是______． 1．（25-26七年级上·全国·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 3．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【基础题型九 有理数加减中的简便运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【基础题型十 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【例2】（2026·四川成都·二模）某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 1．（26-27六年级上·上海·期中）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京·期中）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【提高题型一 有理数加减法与数轴结合】 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 【例2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 1．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图，直径为2的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动地滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（    ） A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间 2．（2026七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是______________； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是_____________； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数_____________的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是____________和______________． 3．（25-26七年级上·重庆巫山·期末）先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 【提高题型二 含绝对值的有理数加减法计算】 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）若x的绝对值是11，y的绝对值是14，z的绝对值是20，且的绝对值是，的绝对值是，则（   ） A．23 B．45或23 C．45 D．-45或-23 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）数的符号是_______，绝对值是_______；数0.5的符号是_______，绝对值是_______，这两个数属_______号（填：“同”或“异”），绝对值较大的数的符号是_______．这两个数的绝对值之和是_______；较大的绝对值减较小的绝对值的差是_______． ____（｜__｜____｜__｜）＝_______．零加上a得_______ 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，小明在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上．这时小明产生了两个猜想，对于猜想Ⅰ和猜想Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 猜想Ⅰ：墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数； 猜想Ⅱ：墨水遮住的所有整数的绝对值的和为9． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对 2．（25-26七年级上·北京怀柔·期末）下列是运用有理数加法法则计算-5+2思考、计算过程的叙述：①-5和2的绝对值分别为5和2；②2的绝对值2较小；③-5的绝对值5较大；④-5+2是异号两数相加；⑤结果的绝对值是用5-2得到；⑥计算结果为-3；⑦结果的符号是取-5的符号——负号．请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______________________． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）“绝对值”是初中数学的重要知识点之一，它既有“数的意义”，又有“形的特征”，小明同学在学习过绝对值后，制作了如下知识卡片： 知识卡片1 ☆一个数的绝对值与这个数的关系： ☆正数的绝对值是它本身； ☆负数的绝对值是它的相反数； ☆0的绝对值是0 知识卡片2 绝对值的非负性； ☆任何数的绝对值都大于或等于0，即； 知识卡片3 绝对值的 ； ☆一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离 知识卡片4 距离公式： ☆若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离 将式子的值记为M，即 请借助以上知识卡片和你自己对绝对值的理解，解决以下问题： (1)当，时，______； (2)若，求a和b的值； (3)若，当变化时，的最小值为______． 【提高题型三 有理数加减法的新定义运算】 【例1】 （25-26七年级上·广东惠州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）新定义规定图形表示运算，表示运算，则_________________． 1．（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定：．则等于（   ） A． B．4 C． D． 2．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）对于有理数a，b定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|，则2⊙（﹣3）＝____. 3．（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 1．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）定义新运算：若，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 2．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 5．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）生活中经常能看到用正负数表示允许误差的情形，某品牌乒乓球的产品参数如图所示，按照这个参数，下列质量、直径的乒乓球合格的是（   ） A．质量，直径 B．质量，直径 C．质量，直径 D．质量，直径 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）是应用了______律． 7．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将式子写成省略加号的形式__________． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 9．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制，十二进制，六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天，一年12个月，一小时60分钟的计时方法．某校七年级课外实践小组在对进位制的认识与探究活动中，李老师给小组出了一个问题：“的计算结果是多少？”，此题的正确结果是________．（结果用七进制表示） 10．（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下表（“+”表示客流量比前一天增加，“−”表示客流量比前一天减少）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 若9月30日的客流量为万人，则10月6日的客流量为_____万人． 11．（25-26七年级上·云南·期末）计算：． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 14．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 15．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）小红家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，她将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)已知小红家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 学科网（北京）股份有限公司 $