专题1.3 有理数的乘法与除法讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.3 有理数的乘法与除法 知识点一、有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 知识点二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 考点01：两个有理数的乘法运算 1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查有理数的计算法则，熟练掌握有理数加法、减法、乘法、除法法则是解题的关键，根据有理数的计算法则分别计算并判断． 【规范解答】解：A.，故原计算错误； B.，故原计算错误； C.，故原计算错误； D.，故原计算正确； 故选：D． 2．计算： （1）（）； （2）（）×（）； （3）﹣225； （4）（﹣0.3）×（﹣1）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（）； （2）（）×（）； （3）﹣22525； （4）（﹣0.3）×（﹣1）． 考点02：多个有理数的乘法运算 3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)11(4) 【思路引导】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将小数化为分数，再计算乘法 ； （2）根据乘法交换律计算； （3）根据乘法分配律计算； （4）根据乘法分配律计算． 【规范解答】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： （1）（﹣2）； （2）（﹣6）×5； （3）（﹣4）×7×（﹣1）×（﹣0.25）； （4） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣2）（2）； （2）（﹣6）×56； （3）（﹣4）×7×（﹣1）×（﹣0.25）＝﹣（4）＝﹣7； （4）． 5.计算： （1）1.6×（）×（﹣2.5）×（）； （2）（）×（80.04）； （3）﹣7×（）+19×（）﹣5×（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）1.6×（）×（﹣2.5）×（） ； （2）（）×（80.04） ＝8×（）（）﹣0.04×（） ＝﹣6+1+0.03 ＝﹣4.97； （3）﹣7×（）+19×（）﹣5×（） ＝（﹣7+19﹣5）×（） ＝7×（） ＝﹣22． 考点03：有理数乘法运算律 6．这个运算应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】根据分配律特点即可求解． 【解析】解： ×（-10+1-0.5）=-×10+×（1）-×0.5=-8+1-0.4 故应用了分配律， 故选C． 【点睛】此题主要考查运算律的识别，解题的关键是熟知分配律的特点． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.4）﹣3.14×18.4． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣3×（）×（） ； （2）原式＝﹣36+16﹣30+21 ＝﹣29； （3）原式＝（10）×（﹣15） ＝﹣150 ＝﹣149； （4）﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.4）﹣3.14×18.4 ＝﹣3.14×（35.2+46.4+18.4） ＝﹣3.14×100 ＝﹣314． 8.计算： （1）（）×（﹣20） （2）（12﹣20.6） （3）（）×（﹣18）+（）×（﹣3）×2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（）×（﹣20）， （﹣20）（﹣20）（﹣20）（﹣20）， ＝105+4， ＝19， ； （2）（12﹣20.6）， ＝（）×12（）（）， ＝﹣10+2+0.5， ＝﹣10+2.5， ＝﹣7.5； （3）（）×（﹣18）+（）×（﹣3）×2， ＝4+（）×（﹣3）， ＝4+3， ＝7． 考点04：有理数乘法的实际应用 9．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元． 【答案】45 【分析】扣除3500元个税免征额后的部分是5000-3500=1500元，也就是说应缴纳税额部分应是1500元，然后代入关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税，计算即可． 【解析】(5000-3500)×3% =1500×3% =45(元) 答：她应缴个人所得税45元． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，解答的关键是掌握关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税． 10．100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米． 【答案】 2 【分析】根据题意列式计算即可得出答案． 【解析】∵， ∴第5次后剩下的小棒长米， ∵， ∴第49次后剩下的小棒长2米， 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，找到规律是解题的关键． 11.小车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，． (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 【答案】(1)距离出发地以东32千米 (2)共行车72千米 (3)用了7.2升油 【思路引导】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以0.1即可． 【规范解答】（1）解：把，，，，，，，，，相加，得 （千米）． 答：距离下午出车时的出发地以东32千米． （2）解： （千米）， 答：这天下午共行车72千米． （3）解：（升）． 答：这天下午蔡师傅用了7.2升油． 12.最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表所示．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km 0 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电费为0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 【答案】(1) (2)36.72元 【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用每天标准的路程乘以天数再与表格中的数据求和，计算即可； （2）求出总耗电量，再乘以单价，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：（km）． 答：李明家的新能源汽车这7天一共行驶了． （2）（元）． 答：李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是36.72元． 考点05：倒数的概念 13. |﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】B 【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是， ∴|﹣3|的倒数是． 故选：B． 14. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【答案】1． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴2（a+b）+cd＝0+1＝1， 答：2（a+b）+cd的值为1． 15. 已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 16. 我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1)； (2)1； (3)． 【思路引导】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【规范解答】（1）解：a的倒数为： （2）解：若a、b互为倒数，则 （3）解：的倒数为： ∴ 考点06：有理数的除法运算 17．计算： （1）0.9； （2）（）÷5； （3）﹣18÷（）； （4）（﹣8）； （5）（）； （6）2（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）0.9÷3 ； （2）（）÷5 ＝（） ； （3）﹣18÷（﹣1） ＝18 ＝10； （4）2（﹣8） （） ； （5）2（﹣2）＝﹣1； （6）2（﹣4） ＝2（） ＝﹣1． 18.计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（） （3）5 （4）（﹣24）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） ＝﹣8+3 ＝﹣5； （2）（） ＝（）×（） ； （3）5 ＝5﹣32×（﹣2） ＝8； （4）（﹣24） ＝﹣24 ＝﹣144． 19. 计算： （1）0÷（）； （2）； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（）， ； （3）原式＝81 ＝1； （4）原式＝（）×（） （）（）（） ＝﹣2+3 ． 20. 计算： （1）375÷（）÷（）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（）+（）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝375×（）×（）； （2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16； （3）原式＝﹣28+3＝﹣25； （4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7． 考点07：有理数除法的应用 21. 中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？ 【答案】“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米． 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，关键是列出代数式．“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．先根据和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米求出“和谐号”的速度，再求“复兴号”的速度． 【规范解答】解：“和谐号”的速度为：（千米/小时） “复兴号”的速度为：（千米/小时）． 答：“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米． 22. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．现有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动调试设备、检测温度等．下表是某一段时间内机器人从工作岗位出发的行走记录（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)五次行走结束后机器人停在何处？ (2)若该机器人每千米耗电度，在这段行走过程中机器人共耗电多少度？ 【答案】(1)的西面 2 米处 (2)一共耗电度 【思路引导】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘除法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【规范解答】（1）解：， 答：的西面 2 米处； （2）解：， （度）． 答： 一共耗电 0.00296 度． 考点08：有理数乘除法中的符号问题 23．若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【答案】C 【分析】根据题中已知条件可判断出x、y两个有理数的关系，即可得出答案． 【解析】解：从xy＜0可知，x、y一定异号， 从另一个条件x+y＜0可判断出x、y中负数的绝对值较大． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法、乘法，掌握有理数加法和乘法法则是正确判断的前提． 24．已知﹣1＜m＜0，n＞0，则下列判断一定正确的是（　　） A．m+n＞0 B．m2＞n2 C．m﹣mn＞0 D．n﹣mn＞0 【答案】D 【解答】解：A、∵m＞﹣1，n＞0， ∴m+n＞﹣1，选项错误，不符合题意； B、∵﹣1＜m＜0，n＞0， ∴0＜m2＜1，n2＞0， ∴m2＞n2不一定成立，选项错误，不符合题意； C、若m﹣mn＞0， ∵﹣1＜m＜0， ∴1﹣n＜0，即n＞1，与已知不符合，选项错误，不符合题意； D、若n﹣mn＞0， ∵n＞0， ∴1﹣m＞0，即m＜1，与已知符合，选项正确，符合题意； 故选：D． 25．已知a，b为有理数，下列条件：①|ab|＞ab；②ab＜0；③a+b＝0；④|ab|＝﹣ab．其中一定能够推理出a，b异号的条件是 　　 （填序号）． 【答案】①②． 【解答】解：∵|ab|＞ab， ∴ab＜0， ∴a，b异号． ∴①符合要求； ∵ab＜0， ∴a，b异号． ∴②符合要求； ∵a+b＝0， ∴a，b互为相反数，但不一定异号， ∴③不符合要求； ∵|ab|＝﹣ab， ∴ab≤0， ∴不一定能够推理出a，b异号． ∴一定能够推理出a，b异号的条件是：①②． 故答案为：①②． 26. 已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＞|b| 【答案】C 【解答】解：由数轴得b＜a＜0， A、∵b＜a＜0， ∴a+b＜0， ∴a（a+b）＞0， 故A选项错误； B、∵b＜a＜0， ∴a﹣b＞0， 故B选项错误； C、∵b＜a＜0， ∴0， 故C选项正确； D、∵b＜a＜0， ∴|a|＜|b|， 故D选项错误． 故选：C． 27. 如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【解析】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 28. 若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【答案】A 【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 故选：A． 29. 如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＞0 D． 【答案】D 【解答】解：由数轴得，﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1， ∴a+c＜0，abc＞0，a﹣b＜0，， 故选：D． 考点09：有理数乘除混合运算 30．计算： （1）（﹣8）（﹣7）； （2）（）； （3）（﹣1）÷（﹣5）×（）； （4）（）（）； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（）+13×（）﹣3×（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1）（﹣8）（﹣7） ＝87 ＝84； （2））（） ； （3））（﹣1）÷（﹣5）×（） ＝﹣1 ； （4）（）（） 4×（） 4 ； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）] ＝（﹣1155）÷165 ＝﹣7； （6）﹣5×（）+13×（）﹣3×（） ＝（﹣5+13﹣3）×（） ＝5×（） ＝﹣11． 31.计算（1） （2） 32． 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）16． 【分析】（1）先计算除法，再计算加法，两个有理数相除，同号得正； （2）乘除法，同级运算，从左到右，依次将除法转化为乘法，先确定符号，再将数值相乘； （3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律解题，注意符号； （4）先算乘除，再算减法，结合加法结合律解题； （5）先算小括号，再算除法； （6）先算小括号，再算中括号； （7）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算解题； （8）先算小括号，再算中括号，结合乘法交换律解题． 【解析】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，涉及加法结合律、乘法分配律等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 33． 计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）16；（2）；（3）；（4）100；（5）；（6）. 【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （2）先计算括号内的乘法，再把除法转化成乘法进行计算即可； （3）把除法转化成乘法进行计算即可； （4）先算除法，再算乘法即可得解； （5）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （6）把除法转化成乘法进行计算即可. 【解析】（1） = =-2×（-8） =16； （2） = = =； （3） = =； （4） =-20×（-5） =100； （5） = =； （6） = =. 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是正确确定结果的符号，掌握计算法则． 考点10：有理数乘除中的简便运算 34. 能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【思路引导】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 35．阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 36．阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】不对；（1）；（2）． 【分析】有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【解析】解：因为有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）∵， ∴； （2）∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 题型11：新定义运算 37.若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　﹣216　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1△2＝（﹣2）×1×3×2＝﹣12， （1△2）△（﹣3）＝（﹣12）△（﹣3）＝（﹣2）×（﹣12）×3×（﹣3）＝﹣216． 故答案为：﹣216． 38．对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________． 【答案】 【分析】把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 39．如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算计算得出结果即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握运算顺序与计算方法是解题的关键． 40.若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数a⊙b＝4ab，如2⊙3＝4×2×3＝24． （1）求3⊙（﹣4）的值； （2）求（﹣2）⊙（﹣6⊙3）的值． 【答案】（1）﹣48；（2）576． 【解答】解：（1）3⊙（﹣4） ＝4×3×（﹣4） ＝﹣48； （2）（﹣2）⊙（﹣6⊙3） ＝（﹣2）⊙[4×（﹣6）×3] ＝（﹣2）⊙（﹣72） ＝4×（﹣2）×（﹣72） ＝576． 考点12：综合提升 41.观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【规范解答】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 42.小丽在做题时发现了一种规律：，，，． 请运用上面发现的规律计算下式的值： (1) (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目所给的规律求解即可； （2）把各数拆成整数与分数的和，然后分别计算整数的和与分数的和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一、选择题 1.（2024-25闵行区七年级期中）的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：的倒数是， 的相反数是， 则的倒数的相反数是． 故选：D． 2．（2024-25宝山区七年级期中）若a+b＜0，，则有（　　） A．a＞0，b＞0 B．a、b异号，且正数的绝对值较大 C．a＜0，b＜0 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 【答案】C 【解答】解：∵， ∴a、b同号， 又∵a+b＜0， ∴a、b同时为负数，即a＜0，b＜0， 故选：C． 3．（2024-25大同中学七年级期中）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】①∵由数轴可知a＞0，b＜0，∴①对． ②由数轴可知a＞0，b＜0， ∴ab＜0， ∴②错． ③a＞0，﹣b＞0， ∴a﹣b＞0． ∴③错． ④由数轴可知a＞0，b＜0， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴a+b＜0， ∴④错． ⑤）∵﹣a＜0，﹣b＞0， ∴﹣a＜﹣b． ∴⑤对． ⑥∵a＞0，|b|＞0， ∴a＜|b|， ∴⑥对． ⑦∵a＞0，﹣a＜0，﹣b＞0，b＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴⑦对． 故选：C． 4．（2024-25黄浦区七年级期中）下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 【答案】A 【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大． 【解析】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确； B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误； C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误； D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 5．（2024-25上宝中学七年级期中）某大型商超将一批课桌降价出售，原价130元的课桌全部按九折出售，依旧能获利27元，则该课桌的进价为（   ） A．80元 B．85元 C．90元 D．100元 【答案】C 【分析】根据打折销售计算出成交价格，然后即可得出进价． 【详解】解：元的课桌全部按九折出售， ∴成交价为元， ∵能获利元， ∴进价为元， 故选：C． 【点睛】题目主要考查有理数的乘法、减法的应用，理解题意，列出算式是解题关键． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义：乘积是的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是． 【详解】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是， 故答案为：． 7．（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟记有理数的乘法的运算法则是解本题的关键． 8．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查除法运算，掌握运算法则是解题关键．先将小数和带分数转换为假分数，再按照除法法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．计算： ____． 【答案】/ 【分析】计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 10．计算：________． 【答案】1 【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的除法，解本题的关键是注意同一级运算从左到右进行计算． 11．计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据有理数乘除运算法则直接求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数乘除运算，熟记有理数乘除运算法则是解决问题的关键． 12．计算______． 【答案】5 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键． 13．计算的结果是（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】先根据除法法则计算，再运用乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除法法则是解题的关键． 14．（23-24六年级下·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： ． 15．（2024春•普陀区期中）如果，，，那么　　． 【分析】根据，确定，代入计算即可． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，推导出是关键． 16．（2023春•浦东新区校级期中）任何一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定，例如：18可以分解成，，，这时就有，综合以上信息，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确的说法有 　　（只填序号）． 【分析】把1，24，36，分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同即可． 【解答】解：①， ；故①错误； ②，这几种分解中4和6的差的绝对值最小， ，故②错误； ③，其中6和6的差的绝对值最小， ，故③错误； ④是一个整数的平方， 设为整数）， 和的差为绝对值最小的数0， ，故④正确． 正确的有④． 故答案为：④． 【点评】此题主要考查了新定义“最佳分解”，读懂题目信息，理解“最佳分解”的定义是解题的关键． 三、解答题 17．（24-25六年级上·上海·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法运算，将原式化为，然后利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 18．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先变除法为乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 19．（24-25六年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】728 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟练掌握有理数乘法运算法则是解题的关键．根据乘法的分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 20．（24-25六年级上·上海·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，先算括号内的加减运算，再将除法转化为乘法运算，然后乘法运算即可求解． 【详解】解： ． 21．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，乘法运算律，根据题意，先将除法转化为乘法，然后利用乘法运算律求解即可． 【详解】解： ． 22．（24-25六年级上·上海·期中）计算：； 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算，根据题意，采用加法结合律简便运算即可 【详解】解： 23．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，将除法转化为乘法，然后根据乘法运算进行计算即可求解． 【详解】解： 24．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序．先算乘法及绝对值，再算加减． 【详解】解：原式， ， 25．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 26．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先把小数化为分数得到，根据乘法计算法则得到，据此可得答案． 【详解】解： ． 27．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，先根据乘法分配律将原式化为，然后计算出小括号内的乘法和减法，再计算括号外的乘法．掌握相应的运算法则、运算顺序和运算律是解题的关键． 【详解】解： ． 28．（24-25六年级上·上海·期中）计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】 ． 29．（24-25六年级上·上海·期中）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减乘除混合运算法则，解题的关键是熟练掌握有理数的相关运算法则．根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 30．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，直接根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 31．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加法运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律及加法运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 32．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 33．如果规定△表示一种运算，且，求下列运算的结果： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解． （2）先计算，再根据新定义进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，掌握新的定义运算． 34．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝国庆75周年，一个广场在四周等距离挂设彩旗，该广场是一个长方形，其长为200米，宽为140米，广场的四个角各挂设一面彩旗． (1)在各方案中，相邻两面彩旗之间的最大距离是多少米？ (2)至少要在广场四周挂设多少面彩旗？ 【答案】(1)米 (2)面彩旗 【知识点】有理数四则混合运算、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查公因数和最大公因数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）要求相邻两面彩旗之间的最大距离，即求相邻两面彩旗的距离是和的最大公因数； （2）根据和的最大公因数，即可得到相邻两面彩旗之间的距离，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵与的最大公因数是， ∴相邻两面彩旗之间的最大距离是米； （2）解：（面）， 答：至少要在广场四周挂设面彩旗． 35.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某电商公司原计划每月卖出件衣服，但由于服装行业存在淡季旺季，每月销售件数不定，为统计该公司前三季度每月实际销售情况，记录表格如下：（单位：件） 月 月 月 月 月 月 月 月 月 件数 （注：规定该月实际销售件数多于件记为正，反之记为负）． 回答下列问题： (1)前三季度共卖出多少件衣服？ (2)如果一件衣服利润为元，那么第二季度比第一季度多赚几分之几？ 【答案】(1)件； (2)． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列示计算即可． （2）根据正数和负数的实际意义列示计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可列：， ∴原式， ∴前三季度共卖出件衣服， （2）解：根据题意可得第一季度总利润为：（元）， 第二季度总利润为：（元）， ∴， ∴第二季度比第一季度多赚了：． 36．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【答案】(1)①99，100；②99，101 (2)①；② 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查的是找规律，根据题目意思找出对应的规律是解决本题的关键． （1）①根据题目中的式子特点，即可得出答案；②根据题目中的式子特点，即可得出答案； （2）①根据（1）中的结论即可得出答案；②对所求式子进行变形即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 37．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【答案】(1)；； (2)； 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）用点A表示的数加上M运动的路程即为点C表示的数，用点B表示的数减去N运动的路程即为点D表示的数，据此求解即可； （2）先根据时间等于路程除以速度求出t，进而求出M运动的路程，最后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：∵M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒，且二者相向而行，运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∴点P表示的数为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.3 有理数的乘法与除法 知识点一、有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 知识点二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 考点01：两个有理数的乘法运算 1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： （1）（）； （2）（）×（）； （3）﹣225； （4）（﹣0.3）×（﹣1）． 考点02：多个有理数的乘法运算 3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： （1）（﹣2）； （2）（﹣6）×5； （3）（﹣4）×7×（﹣1）×（﹣0.25）； （4） 5.计算： （1）1.6×（）×（﹣2.5）×（）； （2）（）×（80.04）； （3）﹣7×（）+19×（）﹣5×（）． 考点03：有理数乘法运算律 6．这个运算应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.4）﹣3.14×18.4． 8.计算： （1）（）×（﹣20） （2）（12﹣20.6） （3）（）×（﹣18）+（）×（﹣3）×2． 考点04：有理数乘法的实际应用 9．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元． 10．100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米． 11.小车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，． (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 12.最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表所示．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km 0 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电费为0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 考点05：倒数的概念 13. |﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 14. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 15. 已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 16. 17. 我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 考点06：有理数的除法运算 17．计算： （1）0.9； （2）（）÷5； （3）﹣18÷（）； （4）（﹣8）； （5）（）； （6）2（）． 18.计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（） （3）5 （4）（﹣24）． 19. 20. 计算： （1）0÷（）； （2）； （3）； （4）． 21. 计算： （1）375÷（）÷（）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（）+（）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 考点07：有理数除法的应用 21. 中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？ 22. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．现有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动调试设备、检测温度等．下表是某一段时间内机器人从工作岗位出发的行走记录（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)五次行走结束后机器人停在何处？ (2)若该机器人每千米耗电度，在这段行走过程中机器人共耗电多少度？ 考点08：有理数乘除法中的符号问题 23．若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 24．已知﹣1＜m＜0，n＞0，则下列判断一定正确的是（　　） A．m+n＞0 B．m2＞n2 C．m﹣mn＞0 D．n﹣mn＞0 25．已知a，b为有理数，下列条件：①|ab|＞ab；②ab＜0；③a+b＝0；④|ab|＝﹣ab．其中一定能够推理出a，b异号的条件是 　　 （填序号）． 26. 已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＞|b| 27. 如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 28. 若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 29. 如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＞0 D． 考点09：有理数乘除混合运算 30．计算： （1）（﹣8）（﹣7）； （2）（）； （3）（﹣1）÷（﹣5）×（）； （4）（）（）； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（）+13×（）﹣3×（）． 31.计算（1） （2） 32． 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 33． 计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 考点10：有理数乘除中的简便运算 34. 能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 35．阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 36．阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 题型11：新定义运算 37.若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　　 ． 38．对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________． 39．如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 40.若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数a⊙b＝4ab，如2⊙3＝4×2×3＝24． （1）求3⊙（﹣4）的值； （2）求（﹣2）⊙（﹣6⊙3）的值． 考点12：综合提升 41.观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 42.小丽在做题时发现了一种规律：，，，． 请运用上面发现的规律计算下式的值： (1) (2)计算： 一、选择题 1.（2024-25闵行区七年级期中）的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024-25宝山区七年级期中）若a+b＜0，，则有（　　） A．a＞0，b＞0 B．a、b异号，且正数的绝对值较大 C．a＜0，b＜0 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 3．（2024-25大同中学七年级期中）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024-25黄浦区七年级期中）下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 5．（2024-25上宝中学七年级期中）某大型商超将一批课桌降价出售，原价130元的课桌全部按九折出售，依旧能获利27元，则该课桌的进价为（   ） A．80元 B．85元 C．90元 D．100元 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 7．（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 8．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 9．计算： ____． 10．计算：________． 11．计算的结果是_____ 12．计算______． 13．计算的结果是_____ 14．（23-24六年级下·上海松江·期末）计算：=______． 15．（2024春•普陀区期中）如果，，，那么　　． 16．（2023春•浦东新区校级期中）任何一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定，例如：18可以分解成，，，这时就有，综合以上信息，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确的说法有 　　（只填序号）． 三、解答题 17．（24-25六年级上·上海·期中）计算：； 18．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 19．（24-25六年级上·上海·期中）简便计算： 20．（24-25六年级上·上海·期中）计算：； 21．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 22．（24-25六年级上·上海·期中）计算：； 23．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 24．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 25．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 26．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 27．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 28．（24-25六年级上·上海·期中）计算． 29．（24-25六年级上·上海·期中）计算． 30．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 31．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 32．计算： (1)； (2)； (3)． 33．如果规定△表示一种运算，且，求下列运算的结果： (1)； (2) 34．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝国庆75周年，一个广场在四周等距离挂设彩旗，该广场是一个长方形，其长为200米，宽为140米，广场的四个角各挂设一面彩旗． (1)在各方案中，相邻两面彩旗之间的最大距离是多少米？ (2)至少要在广场四周挂设多少面彩旗？ 35.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某电商公司原计划每月卖出件衣服，但由于服装行业存在淡季旺季，每月销售件数不定，为统计该公司前三季度每月实际销售情况，记录表格如下：（单位：件） 月 月 月 月 月 月 月 月 月 件数 （注：规定该月实际销售件数多于件记为正，反之记为负）． 回答下列问题： (1)前三季度共卖出多少件衣服？ (2)如果一件衣服利润为元，那么第二季度比第一季度多赚几分之几？ 36．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 37．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$