第9章 第2节 用样本估计总体——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”专题，依据课标要求覆盖集中趋势（平均数、中位数、众数）、离散程度（方差、标准差）、百分位数及分层抽样均值方差等核心考点，通过真题与模拟题分析明确百分位数计算、方差应用等高频考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题驱动+方法建模+素养提升”，如以2023年全国乙卷方差解答题为范例，总结分层抽样方差计算“三步法”，培养学生数据观念与推理能力。特设“规律方法”模块，如频率分布直方图中百分位数估计步骤，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，助力学生高效冲刺高考。

第2节　用样本估计总体 高考总复习 2027 课标解读　1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.3.能用样本估计总体的取值规律.4.能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.5.会计算简单随机抽样的样本均值和样本方差.掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第二册9.2.2节例2改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(　　) A.138,160.5 B.138,146 C.138,175 D.135,160.5 A 解析 将10个数按从小到大排列:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,则第25百分位数为138,中位数为=160.5. 2.(多选题)(人教A版必修第二册复习参考题9第3题改编)如果一组数据的中位数比平均数小很多,下面叙述正确的有(　　) A.数据中可能有异常值 B.数据中众数可能和中位数相同 C.这组数据是近似对称的 D.数据中可能有极端大的值 ABD 解析 一组数据的中位数比平均数小很多,说明数据中可能有偏大或偏小的值,即可能有异常值,故A正确;一组数据的中位数比平均数小很多,众数和中位数可能相同,故B正确;若这组数据是近似对称的,不会出现数据的中位数比平均数小很多,故C错误;一组数据的中位数比平均数小很多,说明数据中可能有偏大或偏小的值,故D正确. 3.(人教B版必修第二册5.1.4节练习A第2题改编)代课教师为了解某班级学生的数学成绩,随机抽查了5位学生的成绩,得到的数据为92,78,56,75,62,则估计该班学生数学成绩的平均数为　　　　　;方差为　　　　　.  72.6 159.84 解析 这组数据的平均数×(92+78+56+75+62)=72.6,方差s2 =×[(92-72.6)2+(78-72.6)2+(56-72.6)2+(75-72.6)2+(62-72.6)2]=159.84.因此可估计该班学生数学成绩的平均数为72.6,方差为159.84. 知识梳理 1.总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中 　　　　　　的数据小于或等于这个值,且至少有　　　　　的数据大于或等于这个值.  (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算i=n×p%. 第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 至少有p% (100-p)% 微点拨 1.第0百分位数为数据中的最小数,第100百分位数为数据中的最 大数. 2.一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数. 3.一组数据的某些百分位数可能是同一个数. 2.总体集中趋势的估计 数字特征 概念 众数   一组数据中出现次数　　　　的数  不一定唯一,一定是这组数据中的数 中位数   把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在　　　位置的一个数据(或两个数据的平均数)  唯一,不一定是这组数据中的数 平均数   如果有n个数据x1,x2,…,xn,那么这n个数的平均数=　　　　　  唯一,不一定是这组数据中的数 最多 中间 3.总体离散程度的估计 (1)假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数,那么这n个数的 ①标准差 s=. ②方差 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. (2)分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中,如果样本量是按比例分配,记总的样本平均数为,样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为,则 xi,(xi-)2,yi,(yi-)2. 则①; ②s2={m[+()2]+n[+()2]}. 研考点•精准突破 考点一　总体百分位数的估计 例1　(1)(2025·四川巴中模拟)以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):82,75,76,88,90,83,85,86,96,87,60,100,89,92,93,则这15人成绩的第80百分位数是(　　) A.92 B.92.5 C.93 D.91.5 B 解析 将15人的成绩从小到大排列为60,75,76,82,83,85,86,87,88,89,90,92,93,96,100,由15×80%=12,所以第80百分位数为第12个数与第13个数的平均数,即=92.5.故选B. (2)为了解某病毒的致病潜伏期,通过简单随机抽样,获取100名患者的相关信息,并制作了如图所示的频率分布直方图: 根据图中数据,估计病毒潜伏天数的样本数据的第68百分位数是(　　) A.6 B.7 C.7.2 D.8 B 解析 由频率分布直方图可知,潜伏期不高于6天的患者所占的比例为(0.02+0.08+0.15)×2=0.5,潜伏期不高于8天的患者所占的比例为0.5+0.18×2=0.86,因此,第68百分位数一定位于区间[6,8)内,由6+2×=7,所以可估计样本的第68百分位数为7.故选B. 规律方法　频率分布直方图中第p百分位数的计算步骤 [对点训练1](1)已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据为甲组: 25,27,36,m,43,57;乙组:23,n,32,43,47,54.若这两组数据的第30百分位数和第50百分位数分别对应相等,则=(　　) A. B. C. D. B 解析 甲组数据25,27,36,m,43,57共6个数,乙组数据23,n,32,43,47,54共6个数,由6×30%=1.8,则甲组数据的第30百分位数为27,可知n=27;由6×50%=3,则乙组数据的第50百分位数为,可知,m=39,则.故选B. (2)下面统计了100名小学生寒假期间每天玩手机的平均时间(单位:小时)如下表: 玩手机的平均时间 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 人数 10 30 30 20 10 据表中数据,这100名小学生寒假每天玩手机的平均时间的第75百分位数为(　　) A.1.875 B.1.75 C.1.65 D.1.625 D 解析 由表中数据可知,这100名小学生寒假每天玩手机的平均时间的第75百分位数一定位于[1.5,2),且前3个区间频率和为0.7,前4个区间的频率和为0.9,所以第75百分位数为1.5+×0.5=1.625.故选D. 考点二　用样本的数字特征估计总体的数字特征 考向1　总体集中趋势的估计(中位数、众数、平均数) 例2　(1)(2025·甘肃平凉模拟)一组数据1,7,5,2,x,2,且1<x<5,x∈N*,若该组数据的众数是中位数的,则该组数据的平均数为(　　) A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 B 解析 易得众数为2,则中位数为2×=3,所以将数据按照从小到大排列得1,2,2,x,5,7,则=3,解得x=4,则平均数为×(1+2+2+4+5+7)=3.5.故选B. (2)(多选题)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况,从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个,得到如图所示的数据图,关于甲、乙两个班级的物理成绩,下列结论不正确的有(　　) 甲班物理成绩 乙班物理成绩 A.甲班众数小于乙班众数 B.乙班成绩的第75百分位数为79 C.甲班的中位数为74 D.甲班平均数大于乙班平均数估计值 ABC 解析 由甲班学生的物理成绩的数据图可知甲班成绩的众数为79,由频率分布直方图无法准确得出乙班众数,故A错误;由乙班物理成绩的频率分布直方图,前三个矩形的面积之和为(0.020+0.025+0.030)×10=0.75,故乙班物理成绩的第75百分位数为80,故B错误;由甲班物理成绩数据图可知,小于79分的数据有9个,等于79分的数据有6个,故甲班物理成绩的中位数为79,故C错误;甲班平均数为×(57×2+58+59+67+68×2+69×2+79×6+87+88×2+89+98) =74.8,乙班平均数估计值为=10×(55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.02+95×0.005)=71.5<74.8,即甲班平均数大于乙班平均数估计值,故D正确. 规律方法　计算一组数据的平均数、中位数和众数时的注意点 (1)求平均数时要注意数据的个数,不要重记或漏记. (2)求中位数时,一定先对数据按大小排序,若最中间有两个数据,则中位数是这两个数据的平均数. (3)中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”,我们需根据实际需要选择使用. [对点训练2](1)(2025·广东湛江模拟)一组数据1,3,7,9,m(m>0)的中位数不小于平均数,则实数m的取值范围为(　　) A.[5,7] B.[5,15] C.[7,15] D.[5,20] B 解析 因为这组数据的平均数为=4+>4,所以这组数据的中位数只可能是m或7.若这组数据的中位数是m,则4+≤m≤7,即5≤m≤7;若这组数据的中位数是7,则4+≤7≤m,即7≤m≤15. 综上,实数m的取值范围为[5,15].故选B. (2)(2025·河南郑州模拟)某中学共有3 000名学生,为了解学生书籍阅读量情况,该校从全校学生中随机抽取200名,统计他们一年阅读的书籍数量,由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况,下列估计中正确的是(　　) (注:同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A.阅读量的众数估值为8 B.阅读量的中位数估值为6.5 C.阅读量的平均数估值为6.76 D.阅读量的第70百分位数估值为8.86 D 解析 设阅读量的中位数为x,平均数为,第70百分位数为y,众数估值为=6,故A错误;由图可知中位数x在区间[4,8]内,所以 0.06×4+0.1×(x-4)=0.5,解得x=6.6,故B错误;平均数=0.24×2+0.4×6+0.28×10+0.06×14+0.02×18=6.88,故C错误;由图可知第70百分位数y在区间[8,12]内,所以0.06×4+0.1×4+0.07×(y-8)=0.7,解得y=≈8.86,故D正确.故选D. 考向2　总体离散程度的估计(方差与标准差) 例3　(2023·全国乙,理17,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下: 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2. (1)求,s2; (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高). 解 (1)∵zi=xi-yi, ∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12, 则×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11, s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2 +(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2] =×(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61. (2)∵2=2<11,即2,∴可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 教考链接 (人教A版必修第二册9.2.4节练习第4题)一个小商店从一家公司购进21袋白糖,每袋白糖的标准质量是500 g,为了了解这些白糖的质量情况,称出各袋白糖的质量(单位:g)如下: 486　495　496　498　499　493　493 498　484　497　504　489　495　503 499　503　509　498　487　500　508 (1)21袋白糖的平均质量是多少?标准差s是多少? (2)质量位于+s之间有多少袋白糖?所占的百分比是多少? 解 (1)由21袋白糖的质量可以看出,它们均在500 g的上下波动. 先将每一个数据同时减去500得 -14　-5　-4　-2　-1　-7　-7 -2　-16　-3　4　-11　-5　3 -1　3　9　-2　-13　0　8 所以21袋白糖的平均质量为 =500+×(-14-5-4-2-1-7-7-2-16-3+4-11-5 +3-1+3+9-2-13+0+8) ≈500+(-3.14)=496.86. 由上知,所求的方差为s2=×[(-14+3.14)2+(-5+3.14)2+…+(8+3.14)2],所以s≈6.55. (2)质量位于(-s,+s)=(490.31,503.41)区间内的共14袋白糖,所占的比例为×100%≈66.67%. 规律方法　1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定. 2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. [对点训练3](1)某产品的标准质量是100克/袋,抽取该产品8袋,称出各袋的质量(单位:克)如下:98,99,100,100,100,100,101,102.这8袋产品中,质量在以平均数为中心,1倍标准差范围内的有(　　) A.4袋 B.6袋 C.7袋 D.8袋 B 解析 根据题意,这8袋产品的平均质量为=100克,方差为×[(98-100)2+(99-100)2 +4×(100-100)2+(101-100)2+(102-100)2]=1.25,则标准差为.那么质量在以平均数为中心,1倍标准差范围内,即在区间(100-,100+)内的有6袋.故选B. (2)(多选题)甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为(　　) 甲 乙 丙 A.s1>s2 B.s1>s3 C.s2>s3 D.s2>s1 AB 解析 根据三个频率分布直方图知,第一组数据的两端数字较多,绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远,最分散,其方差最大;第二组数据绝大部分数字都在平均数左右,数据最集中,其方差最小;第三组数据是单峰的,每一个小长方形的差别比较小,数字分布均匀,数据不如第一组偏离平均数大,方差比第一组中数据中的方差小,比第二组数据方差大.综上,s1>s3>s2.故选AB. 考向3　分层随机抽样的方差与标准差 例4　(2025·吉林长春模拟)为了解小学生每天的户外运动时间,某校对小学生进行平均每天户外运动时间(单位:小时)的调查,采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据,只知道抽取了三年级及以下学生40人,其平均数和方差分别为2.5和1.65,抽取了四年级及以上学生60人,其平均数和方差分别为1.5和3.5,则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 C 解析 记三年级及以下学生的平均数和方差分别为,四年级及以上学生的平均数和方差分别为,总体样本平均数为,方差为s2,抽取了三年级及以下学生40人,其平均数和方差分别为=2.5,=1.65,抽取了四年级及以上学生60人,其平均数和方差分别为=1.5,=3.5,则 =1.9,s2=×[+()2]+×[+()2]=3.故选C. 规律方法　计算分层随机抽样的方差s2的步骤 (1)确定; (2)确定; (3)应用公式s2=)2],计算s2. [对点训练4](2025·安徽天一大联考)某校高三(1)班开展了“铭记历史,缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有20人,女生有30人,根据统计分析,男、女生成绩的方差分别为11,6,且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于5,若该班成绩的方差为s2,则s2的最大值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 D 解析 设男生、女生成绩的平均数分别为m,n,全班成绩的平均数为, 则m+n, 由题意|m-n|≤5,s2=[11+(m-)2]+[6+(n-)2]=[11+(m-n)2]+[6+(n-m)2] =8+(m-n)2≤8+×52=14,即s2的最大值为14.故选D. 考点三　均值与方差的应用 例5　某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛,为此某班开展了10次模拟测试,以此选拔选手代表班级参赛,下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩. 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 98 94 97 97 95 93 93 95 93 95 乙 92 94 93 94 95 94 96 97 97 98 甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作,方差分别记作. (1)求; (2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考,请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛,并说明你作出选择的理由. 解 (1)×(98+94+97+97+95+93+93+95+93+95)=95, ×(92+94+93+94+95+94+96+97+97+98)=95, ×[32+(-1)2+22+22+0+(-2)2+(-2)2+0+(-2)2+0]=3, ×[(-3)2+(-1)2+(-2)2+(-1)2+0+(-1)2+12+22+22+32]=3.4. (2)答案一:由(1)可知,,甲、乙两人平均分相同,但甲发挥更稳定,所以可以派甲同学代表班级参赛. 答案二:由(1)可知,,甲、乙两人平均分相同,两人成绩的方差差距不大,但从10次测试成绩的增减趋势可以发现,甲的成绩总体呈下降趋势,乙的成绩总体呈上升趋势,说明乙的状态越来越好,所以可以派乙同学代表班级参赛. 规律方法　利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定. (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. [对点训练5]甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环): 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙只有1人能入选,则入选的最佳人选应是　　　　　,理由是　  　.  甲 甲、乙平均水平一样,但甲的方差更小些,说明甲发挥更稳定 解析 甲的平均环数为×(10+8+9+9+9)=9, 方差为×[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=; 乙的平均环数为×(10+10+7+9+9)=9, 方差为×[(10-9)2+(10-9)2+(7-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=. 因为两人的平均水平一样,但甲的方差更小些,说明甲发挥更稳定. $