14.1～14.2 全等三角形的性质判定 综合讲义 -2026--2027学年人教版八年级上册数学

本讲义聚焦全等三角形的性质判定综合，系统梳理全等三角形对应边和对应角相等的性质，详解SAS、ASA、AAS、SSS、HL五种判定方法，构建已知两边、一边一角、两角的判定思路支架，并融入连接公共边构造全等、三垂直模型等应用内容。 资料特色在于以例题和模型驱动，如“三垂直模型”例题通过直角条件转化角关系，培养几何直观与推理能力，动态问题（如点运动求全等条件）训练数学思维，练习题覆盖生活情境，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现用数学眼光观察、用数学思维分析的核心素养。

全等三角形的性质判定综合 |全等三角形的性质判定综合 | 知识解读 回顾 1.全等三角形的性质： (1)全等三角形的 相等； (2)全等三角形的 相等. 2.全等三角形的判定： (1)SAS: 和它们的 分别相等的两个三角形全等； (2)ASA: 和它们的 分别相等的两个三角形全等； (3)AAS: 分别相等且其中一组 相等的两个三角形全等； (4)SSS: 分别相等的两个三角形全等； (5)HL: 和一 分别相等的两个直角三角形全等. 回顾 3.判定三角形全等的基本思路： 找夹角→SAS (1)已知两边 找直角→HL 找另一边→SSS 若边为角的对边→找任意一角→AAS (2)已知一边一角 找这条边上的另一角→ASA 若边就是角的一条边 找这条边上的对角→AAS 找该角的另一边→SAS (3)已知两角 找两角的夹边→ASA 找其余任意一边→AAS 4.不能判定三角形全等的条件： (1) 角角角 (AAA) (2) 边边角 (SSA) 练1 如图, 已知AB∥CF, E为DF的中点, 若AB=13cm,CF=6cm, BD长为( ) cm. A: 6 B: 7 C: 12 D: 13 【答案】B 【解析】解: 已知AB//CF,E为DF的中点, ∴∠ADE=∠EFC, DE=EF, 在△ADE和△CFE中, ∴△ADE≌△CFE(ASA), ∴AD=CF=6cm, ∵AB=13cm, ∴BD=13-6=7(cm). 故选: B. 练2 如图,在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,连接BD、DE. 若AB=EB,AD=ED,∠A =70°,∠BDC=110°,则∠C的度数为 . 【答案】30° 【解析】解:∵∠A = 70°, ∠BDC = 110°(已知), ∴∠ABD =∠BDC-∠A =110°-70°= 40°, 在△ABD和△EBD中, ∴△ABD≌△EBD(SSS), ∴∠ABD =∠EBD =40°(全等三角形对应角相等), ∴∠C = 180°-∠EBD-∠BDC =180°-40°-110°=30°,则∠C的度数为30°, 故答案为: 30°. 练3 如图,点A, B,C, D在一条直线上, AE∥DF, AE= DF, AB=CD. (1)求证: △AEC≌△DFB. (2)若∠A =40°, ∠ECD = 145°,求∠F的度数. 【答案】 (1)证明:∵AE∥DF, ∴∠A=∠D, ∵AB=CD, ∴AC=DB, 在△AEC和△DFB中, ∴△AEC≌△DFB(SAS), (2)解: ∵∠ECD =145°, ∠A =40°, ∴∠E =105°, ∵△AEC≌△DFB, ∴∠F =∠E=105°. ∴△ AOB≌△COD (SAS), △AOD≌△COB (SAS), ∴AB=CD, AD=BC, ∴△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB (SSS). 例2 如图, AB=AC, AD=AE, AB、DC相交于点M, AC、BE相交于点N.∠DAB=∠EAC. 求证: (1) △ACD≌△ABE; (2) AM = AN. 【答案】 证明: (1) ∵∠DAB=∠EAC, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠EAB, 在△ACD和△ABE中, ∴△ACD≌△ABE (SAS); (2) ∵△ACD≌△ABE, ∴∠D=∠E, 在△ADM和△AEN中, ∴△ADM≌△AEN (ASA), ∴AM=AN. 练2.1 如图,已知点B、F、C、E在直线l上,点A、D在直线l的异侧,连接AB、AC、AE、BD、FD、ED,且AC//DF, AC=DF,∠ABC=∠DEF.证明: AE//BD. 【答案】证明: ∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE, 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC ≌△DEF(AAS); ∴AB=DE, 在△ABE和△DEB中, ∴△ABE≌△DEB(SAS), ∴∠AEC=∠DBF, ∴AE∥BD. |连接简单辅助线构造全等 | 知识解读 示例 如图, 已知AB=DC, AC=DB,求证: ∠A=∠D. 总结 全等条件三缺一，连公共边得全等. 例3 如图,若AB=AC、BD=CD,∠C=20°,∠A=80°,则∠BDC= °. 【答案】120° 【解析】连接AD，如下图 ∵AB =AC、BD=CD、AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC=120° 于是∠BDC =360°-120°×2 =120° 故答案为120°. 练3.1 已知: AC =BC,AD= BD,点M和N分别是AC和BC的中点,说明: DM = DN. 【答案】证明：连接CD. ∵点M和N分别是AC和BC的中点,AC=BC, ∴CM=CN. ∵AC =BC, CD=CD,AD= BD, ∴△ACD≌△BCD (SSS), ∴∠ACD=∠BCD, 又∵CM=CN,CD=CD, ∴△CMD≌△CND (SAS),∴DM = DN. 学科网（北京）股份有限公司 三垂直模型 |三垂直模型 | 知识解读 示例 (1)如图，已知直线l上有一点O，CO⊥DO，CO=DO，过点C向直线l作垂线，垂足为点A，过点D向直线l作垂线,垂足为点B. 证明: △CAO≌△OBD. (2)若其它条件不变，如下图，△CAO≌△OBD是否仍成立? 总结 线穿直角双垂线，全等三角必呈现. 例4 如图,∠BAC=90°,AB=AC,过点A作直线DE,且作CE⊥ED,BD⊥ED,若CE=2, BD=6, 则DE= . 【答案】8 【解析】解:∵AB=AC,∠BAC=∠D =∠E=90°, ∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠BAD =90°, ∴∠ACE=∠BAD, 故有 ∴△BDA≌△AEC (AAS), ∴AD=CE, BD= AE, ∵CE=2, BD=6, ∴DE=AD+AE=8. 故答案为：8. 练4.1如图，图书馆BE的左侧有一栋高度为12米的居民房AD，点C位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线.测得C点到D点的距离为28米，C点到E点的距离为12米，且∠ACD+∠BCE=90°,则图书馆 BE的高度为( ) A: 12米 B:16米 C:28米 D: 40米 【答案】C 【解析】解: 由 题 意 可 得: AD=CE=12米, CD=28米, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠ACD+∠DAC=90°, ∵∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠BCE, 在△ACD与△CBE中, ∴△ACD≌△CBE(ASA), ∴BE=CD=28米, 故选: C. 学科网（北京）股份有限公司 例5 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,CE⊥AE于点E, BD⊥AE于点D, DE=4cm,CE=2cm, 则BD = cm. 【答案】6 【解析】解: ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°, ∵BD⊥AE, ∴∠ABD+∠BAD=90°, ∴∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, ∵AE=AD+DE=CE+DE=2+4=6cm, ∴BD=6cm. 故答案为：6. 练5.1 小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m,∠BOC =90°,爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是( ) 学科网（北京）股份有限公司 A: 1m B: 1.5m C: 1.6m D: 1.9m 【答案】B 【解析】解:∵∠BOC=90°, ∴∠BOD+∠COE=90° ∵BD⊥OA, ∴∠BOD+∠OBD=90°, ∴∠OBD =∠COE, 在△OBD和△COE中, ∴△OBD ≌△COE(AAS), ∴OE=BD, OD=CE, ∵妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m, ∴OE=1.4m,OD=1.9m, ∴DE=OD-OE=1.9-1.4=0.5(m), ∵点B与地面距离为1m， ∴AD=1m, ∴AE=AD+DE=1+0.5=1.5(m), 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.5m. 故选: B. 例6 如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发, 以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒. (1)PC = cm;(用含t的代数式表示) 【答案】(10-2t) 学科网（北京）股份有限公司 (2)当t为何值时, △ABP≌△DCP? 【答案】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B =∠C =90°, 又∵AB=CD, ∴若BP =CP,则依据SAS判定可证明△ ABP≌△ DCP, 此时 ∵点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，运动时间为t秒， ∴2t =5,解得t =2.5, 即当t =2.5时, △ ABP≌△ DCP; (3)点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PCQ全等?若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由. 【答案】解：存在，求解过程如下： ①当BP =CQ, AB = PC时, △ ABP≌△ PCQ, ∵AB =6cm, ∴PC =6cm, ∴BP =10-6 = 4cm,可得2t =4, 解得: t =2, ∴CQ = BP =4cm,可得2v =4, 解得v=2; ②当BA =CQ, PB = PC时, △ ABP≌△ QCP, 由(2)知t = 2.5, CQ = AB =6cm, 可得2.5v=6,解得v = 2.4. 综上所述:当v =2或2.4时, △ABP与△PCQ全等. 练6.1 如图, AB=36米, CB⊥AB于点B, EA⊥AB于点A,已知CB=24米,点F从点B出发，以3米/秒的速度沿BA向点A运动(到达点A停止运动)，设点F的运动时间为t秒. (1)如图,S△BFC = ; (用含t的代数式表示) (2)点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值，使得△ AFD与△ BCF全等?若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 (1) 36t平方米; (2) 3或4. 【解析】解: (1) ∵BF=3t米,∠B=90°,CB=24米, (平方米). 故答案为：36t平方米； (2) 由题意可得,AD = xt米,BF=3t米. 当△ AFD与△ BCF全等时,分两种情况: ①如果△AFD≌△BCF, 那么AF= BC, AD= BF, ∴36-3t=24, xt = 3t, 解得x = 3; ②如果△AFD≌△BFC, 那么AF= BF,AD=BC, ∴36-3t=3t, xt=24, 解得t =6,x= 4. 故所求x的值为3或4. 第3讲 全等三角形综合 日积月累 1 如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是( ) A: ∠A=∠D,∠B =∠E, AB = DE B: ∠A=∠D,∠B =∠E, AC = DF C: ∠A=∠D,∠B =∠E,∠ACB=∠DFE D: BF = EC, AB = DE, AC = DF 【答案】C 2 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理( ) A: 2; SAS B: 4; ASA C: 2; AAS D: 4; SAS 【答案】B 3 如图，将两块大小相同的三角板(∠B =∠C=30°的直角三角形)按图中所示的位置摆放.若BE交CF于点D,交AC于点M, AB交CF于点N,则下列结论中: ①∠EAM =∠FAN;②△ACN≌△ABM;③∠EAF+∠BAC=120°;④EM = FN.正确的有( ) A: 1个 B: 2个 C: 3个 D: 4个 【答案】D 【解析】解: ∵△ABE≌△ACF, ∴∠B=∠C=30°, ∠BAE=∠CAF=60°, AE=AF, AB=AC,BE=CF, ∴∠EAM=∠FAN,故①正确; 在△ACN和△ABM中, ∴△ACN≌△ABM(ASA),故②正确; ∵∠BAE=∠CAF=60°, ∴∠EAF+∠BAC=∠BAE+∠CAF=120°,故③正确; 在△AEM和△AFN中, ∴△AEM≌△AFN(ASA), ∴EM = FN,故④正确; 综上所述，正确的有4个， 故选: D. 4 如图,点E, F分别在∠CAB的边AC, AB上,若AB=AC, AE=AF, BE与CF交于点D.给出结论: ①△ABE≌△ACF; ②BD=DE; ③△BDF≌△CDE; ④点D在∠BAC的角平分线上. 其中正确的结论有 (填写序号). 【答案】①③④ 【解析】在△CAF和△BAE中, .16442444 ∴△CAF≌△BAE(SAS), 即△ABE≌△ACF, ∴①正确; ∵根据已知不能推出BD =DE,∴②错误; ∵AC=AB, AE = AF, ∴CE=BF, 在△CED和△BFD中, ∴△CED≌△BFD(AAS), ∴③正确; 连接AD，如图所示： ∵△CED≌△BFD, ∴DE= DF, 在△EAD和△FAD中, ∴△EAD≌△FAD(SSS), ∴∠EAD=∠FAD,即D在∠BAC的角平分线上,∴④正确; 故答案为: ①③④. 5 如图,已知M在AB上,BC=BD,MC=MD,求证: AC=AD. 【答案】证明:在△ BCM与△ BDM中, ∴△ BCM≌△BDM (SSS), ∴∠CBA=∠DBA, 在△ACB与△ADB中 ∴△ACB≌△ADB (SAS), ∴AC=AD. 6 学科网（北京）股份有限公司 6 已知,如图AB=CD, BC = AD, ∠B =23°,则∠D =( ) A: 67° B:46° C: 23° D：不能确定 【答案】C 【解析】连接AC, ∵AB=CD, BC=DA (已知), AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SSS), ∴∠B=∠D=23°. 故选: C. 7 如 图 , AC=CE, ∠ACE=90°, AB⊥BD , ED⊥BD, AB=5cm ,DE=3cm,则BD等于 ( ) A: 6cm B: 8cm C: 10cm D: 4cm 【答案】B 【解析】解: ∵AB⊥BD, ∠ACE= 90°, ∴∠BAC+∠ACB=90°,∠ACB+∠DCE=90°, ∴∠DCE=∠BAC且∠B=∠D=90°,且AC=CE, ∴△ABC≌△CDE(AAS), ∴CD=AB=5cm, DE=BC=3cm, ∴BD =BC+CD=8cm. 8 如图, ∠ACB=90°, AC=BC, BE⊥CE, AD⊥CE, 垂足分别为E、D,AD=25, DE=17, 则BE= . 【答案】8 【解析】解: ∵∠ACB=90°, ∴∠BCE+∠ACD=90°, 又∵BE⊥CE, AD⊥CE, ∴∠E=∠ADC =90°, ∴∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠CBE=∠ACD, 在△CBE和△ACD中, Ego0068ChONON ∴△CBE≌△ACD(AAS), ∴BE=CD,CE=AD=25, ∵DE=17, ∴CD=CE-DE=AD-DE=25-17=8, ∴BE=CD=8; 故答案为：8. 学科网（北京）股份有限公司 9 如图,AB=18m,CA⊥AB,DB⊥AB,且AC=6m,点P从点B向点A以1m/s的速度运动，点Q从点B向点D以2m/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动 s后，△CAP与△PQB全等. 【答案】6 【解析】解:∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B, ∴∠A=∠B =90°, 设运动x秒钟后△CAP与△PQB全等; 则BP= xm, BQ=2xm, 则AP=(18-x)m, 分两种情况： ①若BP = AC,则x =6, ∴AP=18-6=12, BQ=12, ∴AP=BQ, ∴△CAP≌△PBQ(SAS); ②若BP = AP, 则18-x=x, 解得x = 9, ∴BQ =2x=18≠AC, 此时△CAP与△PQB不全等; 综上所述：运动6秒钟后△CAP与△PQB全等； 故答案为：6. 10 在△ABC中,∠ACB=90°, AC=BC. (1) 如图1,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N. 求证: MN= AM+BN; (2) 如图2,若过点C在△ABC内作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由. 【答案】 (1) 证明: ∵AM⊥MN,BN⊥MN, ∴∠AMC =∠CNB=90°, ∴∠MAC+∠ACM =90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠NCB+∠ACM=90°, ∴∠MAC=∠NCB, 在△AMC和△CNB中, 144006200000 ∴△ AMC≌△CNB(AAS), ∴AM=CN, MC= NB ∵MN=NC+CM, ∴MN= AM+BN; (2) 解: 结论为MN= BN-AM,理由如下: ∵AM⊥MN, BN⊥MN, 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠AMC =∠CNB =90°, ∠NCB+∠ACM =90°, ∠ACM+∠CAM =90°, ∴∠MAC =∠NCB, 在△ AMC和△CNB中, ∴△ AMC≌△CNB(AAS), ∴AM =CN, MC = NB, ∵ MN=CM-CN, ∴MN =BN-AM. 学科网（北京）股份有限公司 第3讲全等三角形综合 融会贯通 1 如图,在△ABC和△AED中,已知∠1=∠2, AC=AD,添加一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△AED,这个条件是( ) A: AB=AE B: BC=ED C: ∠C=∠D D: ∠B=∠E 【答案】B 【解析】∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB, 即∠CAB=∠DAE, A、加上条件AB=AE可利用SAS定理证明△ ABC≌△ AED; B、加上BC=ED不能证明△ ABC≌△ AED; C、加上∠C=∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED; D、加上∠B=∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED. 2 已知: 如图,AB=CD,BE=DF,AE=CF. 求证: EO=FO. 【答案】证明: 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SSS), ∴∠AEB=∠CFD, ∴180°-∠AEB=180°-∠CFD, 即∠AEO=∠CFO, 在△AOE和△COF中, 1444462-200 ∴△AOE≌△COF(AAS), ∴EO= FO. 3 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD, CE, 若BD=7cm, CE=5cm, 则DE= cm. 【答案】12 【解析】解: 在△ABC中,∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC =90°, 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BAD+∠EAC =90°,∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠EAC=∠ABD, ∵AB=AC, ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴AD=CE, BD= AE, ∴DE=AD+AE=CE+BD=12. 故答案为：12. 4 如图,∠ACB=90°,AC=BC. AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是 . 【答案】2 【解析】∵BE⊥CE, AD⊥CE, ∴∠E=∠ADC =90°, ∴∠EBC+∠BCE=90°. ∵∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠EBC =∠DCA. 在△CEB和△ADC中, (EVINENGALLOCAL ∴△CEB≌△ADC(AAS), ∴BE=DC=1,CE=AD=3. ∴DE=EC-CD=3-1=2 故答案为：2. 5 如图,已知长方形ABCD的边长AB =20cm,BC=16cm,点E在边AB上,AE =6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在 学科网（北京）股份有限公司 线段CD上从点C到点D运动.则当点Q的运动速度为 时，能够使△BPE与△CQP全等. 【答案】2或3.5cm/s 【解析】设运动的时间为 ts，分两种情况： ①当EB=PC, BP=QC时, △BPE≌△CQP, ∵AB=20cm, AE=6cm, ∴EB=14cm, ∴PC=14cm, ∵BC=16cm, ∴BP=2cm, ∴QC=2cm, ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t=2÷2=1 (s), ∴点Q的运动速度为2÷1=2 (cm/s); ②当BP=CP, BE=QC=14cm时, △BEP≌△CQP, 由题意得: 2t=16-2t, 解得: t=4 (s), ∴点Q的运动速度为14÷4=3.5 (cm/s); 综上,点Q的运动速度为2或3.5cm/s. 学科网（北京）股份有限公司 第3讲 全等三角形综合 抛砖引玉 1 如图,在△ABC和△ECD中, D、B、C三点共线, AB=CD, AC=DE,CE=BC，若已知∠ABC的大小，则下列哪个角的大小可知( ) A: ∠E B: ∠D C: ∠ACF D: ∠EFB 【答案】D 【解析】解:在△ABC和△CDE中, ∴△ABC ≌△DCE(SSS), ∴∠ABC=∠DCE, ∵∠EFB是△FBC的外角, ∴∠EFB=∠ABC+∠DCE=2∠ABC, ∵已知∠ABC的大小, ∴∠EFB的大小可知， 故选: D. 2 如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是( ) A: ∠1+∠2=180° 学科网（北京）股份有限公司 B: ∠1=∠2 C: ∠2=∠1+90° D: ∠2=2∠1 【答案】A 【解析】解：如图， 在△ABM和△DCN中, ∴△ABM≌△DCN(SAS), ∴∠ABM=∠1, ∵∠ABM+∠2=180°, ∴∠1+∠2=180°, 故选: A. 3 如图, AD,BC交于点O,且OA=OD,OB=OC,过O点的直线MN交AB于M,交CD于N.求证: OM=ON. 【答案】由SAS可证明△ABO≌△DCO,可得∠B=∠C (或∠A=∠D), 由ASA即可证明△BMO≌△CNO (或△AMO≌△ DNO),可得OM=ON. 4 如图,AB∥DE,AE与BD相交于点C. AC=EC,AB=8cm. 点P从点A出发,沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动,同时点Q从点D出发,沿D →E方向以1cm/s的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，当线段PQ经过点C时，点P的运动时间为( )s. 学科网（北京）股份有限公司 A: 2 B: 4 C: 6 D: 2或4 【答案】D 【解析】解: 当BP = DQ时,连接CP、CQ, ∵AB∥DE, ∴∠B = ∠D, 在△ACB和△ECD中, (TELCBEP/SC∠BCD. ∴△ACB≌△ECD(AAS), ∴AB = ED =8cm, BC = DC, 在△PCB和△QCD中, ∴△PCB≌△QCD(SAS), ∴∠PCB=∠QCD, ∴∠PCB+∠BCQ=∠QCD+∠BCQ=180°, ∴ P、C、Q三点三同一条直线上， ∴当BP = DQ时,线段PQ经过点C, 设点P运动的时间为 ts,则DQ= tcm, 当点P沿A → B方向运动时,则BP =(8-3t) cm, ∵BP =DQ, ∴8-3t = t, 解得t = 2; ∴△EAC≌△FCB(AAS), ∴AE=CF=2, BF=EC=3, ∴OF=1, ∴点B(1,3). 学科网（北京）股份有限公司 6 (1)猜想:如图1,已知:在△ABC中, ∠BAC=90°, AB= AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出； (2)探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢?如图2，将(1)中的条件改为：△ABC 中, AB=AC , D , A 、 E 三点都在直线 m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC =α(其中α为任意锐角或钝角)如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. 【答案】解: (1) DE=BD+CE, 理由如下:∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°, ∵BD⊥m,CE⊥m, ∴∠ADB=∠CEA=90°, ∴∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠ABD=∠CAE, 在△ADB和△CEA中, ∴△ADB≌△CEA(AAS), ∴BD=AE, AD=CE, ∴DE=AD+AE=BD+CE; (2) 结论DE=BD+CE成立, 理由如下:∵∠BAD+∠CAE= 180°-∠BAC , ∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB,∠ADB=∠BAC, ∴∠ABD =∠CAE, 在△BAD和△ACE中, ∴△BAD≌△ACE(AAS), ∴BD= AE, AD=CE, ∴DE=DA+AE=BD+CE; 1 学科网（北京）股份有限公司 $