第二节 两直线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两直线的位置关系”专题，依据新课标要求覆盖平行垂直判定、交点坐标求解、距离公式应用三大核心考点，通过知识清单系统梳理平行垂直充要条件、三种距离公式等基础内容，结合真题分布分析考点权重，归纳平行垂直判定、距离计算、对称问题等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点精讲+真题变式+素养提升”的复习策略，如平行垂直判定中通过学霸笔记总结斜率法与系数法避免讨论斜率，培养数学思维；距离问题结合点到直线公式和转化法强化运算能力。含2026年模拟题及教材改编题，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第二节　两直线的位置关系 1 新课标要求 真题分布 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 近几年未单独考查 2 知识清单 1.两条直线平行和垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔_________； ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. k1＝k2 3 (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ ____________； ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 剖析　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形． k1·k2＝－1 4 2．两条直线相交 (1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝B2y＋C2＝的公共点的坐标与方程组的解一一对应； (2)相交⇔方程组__________，交点坐标就是方程组的解； (3)平行⇔方程组无解； (4)重合⇔方程组有无数个解． 有唯一解 5 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ______________________． 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝_________． (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝________________． 6 (3)两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝________． 剖析　利用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式． 7 【常用结论】 1．两个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0； (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 8 2．与对称问题相关的六个结论 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)； (3)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)； (5)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 9 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) × × √ √ 10 2．(人教A版选修一P67习题T3改编)已知两点A(7，－4)，B(－5，6)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　) A．6x－5y＋1＝0 B．6x－5y－1＝0 C．5x－6y－1＝0 D．6x－5y＋5＝0 答案：B 解析：易知AB的中点坐标为(1，1)，kAB＝＝－，即AB的垂直平分线的斜率为，故所求直线方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.故选B. 11 3．(人教A版选修一P72练习T3改编)直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程为________． y＝x 解析：联立解得直线经过原点可设直线方程为y＝kx，则－k＝－2，解得k＝，故直线l的方程为y＝x. 12 4．(人教A版选修一P77练习T3改编)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝________． 5或15 解析：∵点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，∴＝1，解得C＝5或15. 13 命题点一　两条直线的平行与垂直 例1 (1)(2026·驻马店模拟)经过点(－2，1)且与直线x＋3y－2＝0垂直的直线的方程为(　　) A．3x－y＋5＝0 B．3x－y＋7＝0 C．3x＋y＋5＝0 D．x＋3y＋5＝0 答案：B 解析：设与直线x＋3y－2＝0垂直的直线方程为3x－y＋c＝0，将点(－2，1)代入，可得3×(－2)－1＋c＝0，解得c＝7，可得所求直线方程为3x－y＋7＝0，故B正确．故选B. 14 (2)(2026·长沙模拟)已知直线l1：(2a＋1)x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋ay＋2＝0，则“a＝1或a＝0”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 15 解析：直线l1，l2平行或重合的充要条件是(2a＋1)a＝(a＋2)a，所以a＝0或a＝1.将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x＋y＋1＝0，l2：3x＋y＋2＝0，易知l1∥l2；将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x＋1＝0，l2：2x＋2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去． 综上所述，“a＝1或a＝0”是“l1∥l2”的必要不充分条件．故选B. 16 学霸笔记： (1)过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种： ①先求斜率(斜率存在且不为零时)，再用点斜式求直线方程，此类问题要注意斜率不存在或者为0的情况． ②与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，再代入点A的坐标求出参数m即可； 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再代入点A的坐标求出参数m即可． 17 (2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论． 18 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P67T8(1))经过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程为________________． (2)(衔接·人教A版选修一P58T9)已知点M(2，2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为________________． 4x＋y－14＝0 (1，0)或(6，0) 解析：(1)经过点A(3，2)且与直线4x＋y－2＝0平行的直线的斜率为－4，所求直线方程为y－2＝－4(x－3)．即4x＋y－14＝0. (2)设P(x，0)，∴kMP＝，kNP＝，∵∠MPN为直角，∴kMP·kNP＝·＝－1，∴x＝1或x＝6，∴P(1，0)或(6，0)． 19 命题点二　距离问题 例2 (1)(2026·湛江模拟)在直角坐标系xOy中，点(2，0)到直线x－2y＋3＝0上动点的最小距离为(　　) A．1 B． C．2 D． 答案：D 解析：直线x－2y＋3＝0上的点(x，y)到点(2，0)的距离的最小值为点(2，0)到直线x－2y＋3＝0的距离d＝＝.故选D. 20 (2)若直线x－y－2＝0与直线x－y＋a＝0(a>0)之间的距离为2，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意知＝2，又∵a>0，∴a＋2＝4，解得a＝2.故选B. 21 学霸笔记： (1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行直线方程中x，y的系数化为相同的形式)． 22 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P80习题T14)已知A(－3，－4)，B(6，3)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　) A．－ B．－ C．－或－ D．或 答案：C 解析：由题意得＝，所以|3a＋3|＝|6a＋4|，所以27a2＋30a＋7＝0，解得a＝－或a＝－.故选C. 23 (2)(衔接·人教A版选修一P102复习参考题T4)平行于直线x－y－2＝0，且与它的距离为直线方程为__________________________． x－y＋2＝0或x－y－6＝0 解析：设所求直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，则直线l与直线x－y－2＝0间的距离d＝，由题意得＝2，解得m＝2或m＝－6.因此，与直线x－y－2＝0平行，且与它的距离为2的直线方程是x－y＋2＝0或x－y－6＝0. 24 命题点三　对称问题 考向1　中心对称 例3 直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是(　　) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0 答案：A 25 解析：∵直线l：y＝2x＋3，∴A(0，3)，B(－1，1)在此直线上，∵A(0，3)关于点P(2，3)的对称点为C(4，3)，B(－1，1)关于点P(2，3)的对称点为D(5，5)，∴C，D所在直线的斜率为k＝＝2，∴直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程为y－3＝2(x－4)，即2x－y－5＝0.故选A. 26 学霸笔记：方法1：在已知直线上取一点，求出它的对称点，再利用两对称直线平行求得． 方法2：在已知直线上取两点，求出它们的对称点，再利用两对称点坐标求得． 27 跟踪训练　直线3x－2y＝0关于点(a，0)对称的直线方程为3x－2y－2＝0，则a＝(　　) A．3 B． C．－3 D．－ 答案：B 28 解析：在直线3x－2y＝0上任取一点(2，3)，设点(2，3)关于点(a，0)对称的点坐标为(x0，y0)，则所以x0＝2a－2，y0＝－3，代入直线3x－2y－2＝0得a＝. 29 考向2　轴对称 例4 (1)直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程为(　　) A．7x－y－22＝0 B．7x＋y＋22＝0 C．6x－y＋22＝0 D．6x＋y＋22＝0 答案：B 30 解析：联立解得则交点坐标为P(－，－)．取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，设点A关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为A′(x′，y′)，则由kAA′·kl＝－1，且线段AA′的中点在直线l上， 31 得解得故所求直线过点P(－，－)，(－3，－1)．所以所求直线方程为y＋＝(x＋)，即7x＋y＋22＝0.故选B. 32 (2)已知两定点A(0，0)，B(2，－1)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A． B． C．3 D． 答案：D 33 解析：取点A关于直线x－y＋1＝0的对称点A′，设A′(m，n)，则解得即A′(－1，1)，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝＝，当且仅当A′，P，B三点共线时等号成立．故选D. 34 学霸笔记：(1)点关于直线对称， 若P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0，对称，则有其中B≠0，x1≠x2. 35 (2)直线关于直线对称． ①若直线与对称轴平行，则可在直线上取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用直线的点斜式方程求解； ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后取直线上一点，求该点关于对称轴的对称点，最后由直线的两点式方程求解． 36 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P68习题T13改编)一条光线从点P(6，4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋2＝0 答案：A 解析：由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2，0)和P(6，4)关于x轴的对称点M(6，－4)，其直线方程为＝，即y＝－x＋2.故选A. 37 1．若直线l1经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)，直线l2的倾斜角为，且l1∥l2, 则y＝(　　) A．－1 B．－3 C．0 D．2 答案：B 解析：因为直线l1经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)，所以直线l1的斜率为k1＝＝y＋2，因为直线l2的倾斜角为，所以直线l2的斜率为k2＝tan ＝－1，因为l1∥l2，所以k1＝k2，所以y＋2＝－1，所以y＝－3.故选B. 38 2．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(3，7)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：因为kAB＝，所以kAB·kAC＝－1，故 AB⊥AC，因此该三角形为直角三角形．故选B. 39 3．直线2x－4y－1＝0与直线x＋2y－1＝0一定(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 答案：D 解析：由直线2x－4y－1＝0得y＝，由直线x＋2y－1＝0得y＝－，因为k1≠k2，k1·k2≠－1，故两直线相交但不垂直．故选D. 40 4．(2026·南通模拟)若直线l1：x＋λy＋8＝0与直线l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，则λ＝(　　) A．－1 B．－1或3 C． D．3 答案：B 解析：因为两直线平行，所以⇒所以λ＝－1或λ＝3.故选B. 41 5．(2026·绵阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：x＋ky－3＝0垂直，则实数k的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案：A 解析：当k＝0时，得l2：x＝3，此时l1与l2不垂直；当k≠0时，若l1⊥l2，则2×＝－1，解得k＝2.故选A. 42 6．与直线x－2y＋4＝0关于y轴对称的直线的方程为(　　) A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0 答案：A 解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P(x，y)关于y轴对称的点为P′(－x，y)，可知点P′(－x，y)在直线x－2y＋4＝0上，可得－x－2y＋4＝0，即x＋2y－4＝0，所以所求直线方程为x＋2y－4＝0.故选A. 43 7．已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：4x－2y－3＝0，则l1与l2之间的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． 答案：D 解析：∵直线l1的方程即为4x－2y＋2＝0，直线l2的方程为4x－2y－3＝0，∴l1∥l2，设两条平行线间的距离为d，∴d＝.故选D. 44 8．已知点A(0，1)，点B在直线x＋y－3＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(－1，4) D． 答案：A 45 解析：当线段AB最短时，直线AB与直线x＋y－3＝0垂直，此时点B为直线AB与直线x＋y－3＝0的交点．因为直线AB与直线x＋y－3＝0垂直，所以kAB＝1，直线AB的方程为y＝x＋1，由得所以B(1，2)．故选A. 46 9．若点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为，则(　　) A．a∈Q B．a的最大值为2 C．a的最小值为－ D．a只有3个不同的取值 答案：ABC 47 解析：对于A，因为点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为，所以由点到直线的距离公式得，化简得6a－4a2＋1＝±3，解得a＝1，a＝2或a＝±，可得a∈则a∈Q，故A正确；对于BC，由题意得a的最大值为2，最小值为－，故BC正确；对于D，可得a有4个不同的取值，故D错误．故选ABC. 48 10．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0) C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，则 答案：ABD 49 解析：对于A，如果a＝0，则l1：y＝1，l2：x＝－1分别平行于x轴和y轴，显然l1⊥l2；如果a≠0，则＝－1，l1⊥l2恒成立，故A正确．对于B，对于直线l1，当x＝0时，y＝1恒成立，则l1过定点A(0，1)；对于直线l2，当y＝0时，x＝－1恒成立，则l2恒过定点B(－1，0)，故B正确．对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2方程知－ax－1－ax＋1＝－2ax，当a＝0时，－2ax＝0，则点(－ax－1，－x)在l2上，当a≠0，x≠0时，－2ax＝0不成立。 50 则点(－ax－1，－x)不在l2上，即l1与l2不一定关于直线x＋y＝0对称，故C错误．对于D，联立解得即M＝，即，故D正确．故选ABD. 51 11．点(1，2)关于直线x＋y＋m＝0对称的点在x轴上，则m＝ ______． －1 解析：设点(1，2)关于直线x＋y＋m＝0对称的点的坐标为(t，0)，所以解得t＝－1，m＝－1. 52 12．若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝______． 2 解析：已知l1⊥l2，可得k1·k2＝－1，又k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，可得k1·k2＝＝－1，解得b＝2. 53 13．(13分)在△ABC中，A(2，3)，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为x＋7y＋7＝0. (1)求直线AB的方程； (2)若AC＝BC，①求△ABC的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 54 解析：(1)由已知得直线AB的方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0. 故直线AB的方程为2x－y－1＝0. (2)①解方程组解得故B(0，－1)． 又AC＝BC，由中点坐标公式得D(1，1)，又高线CD的斜率为－， 55 故CD所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0， 所以CD所在直线的方程为x＋2y－3＝0. ②由解得 故顶点C的坐标为(7，－2)． 56 14．(15分)已知过点(2，3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上． (1)求直线l的方程； (2)若直线l3与直线l平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l3的方程． 57 解析：(1)设线段AB的中点为M(4y0＋1，y0)， 因为点M到l1与l2的距离相等， 故， 所以y0＝－1，则点M(－3，－1)． 所以直线l的方程为，即4x－5y＋7＝0. 58 (2)设直线l3的方程为4x－5y＋C＝0，C≠7， 令x＝0可得y＝，即直线与y轴的交点为， 令y＝0可得x＝－，即直线与x轴的交点为， 故直线l3与坐标轴围成的三角形的面积S＝＝10，解得C＝±20， 故直线l3的方程为4x－5y＋20＝0或4x－5y－20＝0. 59 15．(5分)已知三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10不能围成三角形，则a＝(　　) A．－1 B． C．－4 D．－1或或－4 答案：D 60 解析：三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10不能围成三角形，①若ax＋2y＋8＝0与直线2x－y－10＝0平行，则≠，解得a＝－4，经检验满足要求；②若ax＋2y＋8＝0与直线4x＋3y－10＝0平行，则≠，解得a＝，经检验满足要求；③若三条直线交于同一点，则联立得∴交点坐标为(4，－2)，代入直线ax＋2y＋8＝0，得4a－4＋8＝0，∴a＝－1.综上所述，a＝－4或a＝或a＝－1.故选D. 61 16.(5分)已知点M(2，0)，N(－2，－4)，有一点P在直线l：x＝2y－8上运动，当|PM|＋|PN|取得最小值时，则点P的坐标为________． (－2，3) 62 解析：易知M(2，0)，N(－2，－4)均在直线l的同侧；作出点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，交直线l于P，则|PM|＝|PM′|，所以|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|≥|M′N|，当M′，P，N三点共线时取等号，即M′，P，N三点共线时，|PM|＋|PN|最小． 63 设M′(a，b)，则解得即M′(－2，8)．因为N(－2，－4)，所以直线M′N为x＝－2，由得即P(－2，3)． 64 $