九年级数学上学期9月学情自测（新教材沪教版第27-28章，高效培优.强化卷）

**基本信息** 聚焦相似三角形与二次函数核心内容，通过桥拱模型、小球飞行等真实情境设计，分层考查抽象能力、推理能力与模型意识，适配九年级9月学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/24|相似图形判定、抛物线顶点与平移|基础概念辨析，如等边三角形相似判定| |填空题|11/44|黄金分割、相似三角形性质、抛物线图像|综合应用，如相似三角形角平分线比| |解答题|7/32|二次函数解析式、几何证明、动态探究|情境化设计，如桥拱抛物线模型；高阶思维，如矩形翻折动态几何|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-28章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形． 【详解】解：A、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意； B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； D、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意． 故选：A． 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 【答案】A 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 3．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个平位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】C 【分析】根据函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， ∴将函数的图象向左平移1个平位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移的性质是解题的关键． 4．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例的性质一一分析即可． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； B、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； C、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； D、根据平行线分线段成比例定理得故，故此选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法． 6．如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设以为对角线的小正方形的一个顶点为E，由，，得，设组成矩形的每个小正方形的边长都是m，则，，，由，，得，则，可证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设以为对角线的小正方形的一个顶点为E， ，， ， 设组成矩形的每个小正方形的边长都是m，则，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．抛物线的开口方向___________； 【答案】向上 【分析】根据抛物线的解析式中的符号，可以写出它们的开口方向． 【详解】解：抛物线中， 抛物线的开口方向向上． 故答案为：向上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的开口方向与的符号有关，当时，开口向上；当时，开口向下． 8．已知，，，则中最大角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 中最大角的度数为， 故答案为： 9．将抛物线向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规则：左减右加，上加下减，是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规则，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：新抛物线的解析式为； 故答案为：． 10．已知点P是线段AB上的黄金分割点，且，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握其定义是解题的关键．根据黄金分割点的定义：把一条线段分割为两部分，使其中较大部分与全长之比等于较小部分与较大部分之比．可以得到，设，则有，解出即可得到答案． 【详解】解：点P是线段AB上的黄金分割点，且， 设，则， 解得：或舍去， 故答案为： 11．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 12．已知二次函数图象上有两个不同点，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 13．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是___________m． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质配方找出顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 小球运动中的最大高度是m， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数性质的实际应用，解题的关键是配方化成顶点式． 14．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， 当时，或． 故答案为：或． 15．如图，已知，，，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ， 即， 解得：， 故答案为： 16．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，点，则关于的方程的解是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标，即可求解． 【详解】方程， 方程的解为二次函数与一次函数的图象交点坐标的横坐标的值， 二次函数与一次函数的图象交点坐标，点， 方程的解为：， 故答案为：， 17．如图，在矩形中，，点E在边上，且，点F是边上的一个动点，将四边形沿翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上，与边交于点O，当时，的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得∽，根据相似三角形的性质可求出，进而得出，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，利用同角的余角相等可证明，利用相似三角形的性质得出的长即可得答案． 本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质矩形的性质及勾股定理，解题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，并熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形，将四边形沿翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上， ，，，，， ， ∽， ， ， 解得：， ， ， ， ，， ， ， ∽， ，即， 解得：， 故答案为： 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 19．已知二次函数．    （1）将二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） ； （2）图像如图所示：    （3）－3＜x ＜1 【分析】（1）运用配方法进行变形即可； （2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x轴的两个交点，及其与y轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，； （3）根据所画出的图像得出结论即可. 【详解】（1） ； （2）由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：，开口向下， 当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点， （3）根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ，，， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）证明，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 21．如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1) (2) 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【详解】（1）解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）略 22．已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点. (1)求证：BD平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， 即， ∽， ， 即BD平分； (2) 证明：过点C作CMBE交BD延长线于点M， ∴∠M=∠EBF， ∵∠EBF=∠CBF， ∴∠M=∠CBF， ∴CM=CB， ∵CMBE， ∴△CFM∽△EFB， ∴， ∴， ． 【分析】（1）通过证明△ABD∽△DCB，从而得∠ABD=∠DBC，问题得证； （2）过点C作CM//BE交BD延长线于点M，由已知可推得CM=CB，再由CM//BE，可得△CFM∽△EFB，从而可得，通过等量代换再根据比例的性质即可得. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 23．已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的取值范围； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由，可得抛物线解析式，令即可求解； （2）根据题意得到抛物线的对称轴为，且开口向下，根据抛物线对称性可得抛物线经过，再根据抛物线的增减性得到的取值范围； （3）由点坐标求出的值为，求出直线，直线与抛物线的交点坐标，分类讨论，，三种情况，列不等式求解． 【详解】（1）解：当，时，， 令，则，解得，， 抛物线与x轴交点坐标为，； （2）解：， 抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， 将代入得， 抛物线经过， 由抛物线对称性可得抛物线经过， 时，随增大而减小，时，随增大而增大，且， ． （3）解：点A的坐标是， ， ， 时，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， ①当时，抛物线顶点在轴上，满足题意，解得（舍去）或； ②当时，若点在轴上或轴下方，点在轴上方满足题意， 则，无解； ③当时，若在轴上方，点在轴下方满足题意， ，解得． 综上所述，或． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与轴交点的坐标、解不等式组以及二次函数综合问题，掌握以上知识点是解答本题的关键． 24．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-28章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 3．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个平位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 4．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是　　 A． B． C． D． 6．如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．抛物线的开口方向___________； 8．已知，，，则中最大角的度数为______． 9．将抛物线向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为___________． 10．已知点P是线段AB上的黄金分割点，且，若，则______． 11．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 12．已知二次函数图象上有两个不同点，则__________． 13．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是___________m． 14．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 15．如图，已知，，，，那么______． 16．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，点，则关于的方程的解是__________． 17．如图，在矩形中，，点E在边上，且，点F是边上的一个动点，将四边形沿翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上，与边交于点O，当时，的长为______． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 19．已知二次函数．    （1）将二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 20．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 21．如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 22．已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点. (1)求证：BD平分； (2)求证：． 23．已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的取值范围； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 24．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C B D D 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．向上 8．/度 9． 10． 11． 12． 13． 14．或 15． 16．， 17． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．（本题10分） 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：；……………………5分 （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为……………………10分 19．（本题10分） 【详解】（1） ；……………………3分 （2）图像如图所示：   ……………………7分 （3）根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1.……………………10分 20．（本题10分） 【答案】(1) 证明：，， ，，， ， ；……………………5分 （2）解 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为．……………………10分 21．（本题12分） 【详解】（1）解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式；……………………6分 (2) 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱．……………………12分 22．（本题12分） 【答案】(1) 证明：， ， ， 即， ∽， ， 即BD平分；……………………6分 (2) 证明：过点C作CMBE交BD延长线于点M， ∴∠M=∠EBF， ∵∠EBF=∠CBF， ∴∠M=∠CBF， ∴CM=CB， ∵CMBE， ∴△CFM∽△EFB， ∴， ∴， ．……………………12分 23．（本题14分） 【详解】（1）解：当，时，， 令，则，解得，， 抛物线与x轴交点坐标为，；……………………4分 （2）解：， 抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， 将代入得， 抛物线经过， 由抛物线对称性可得抛物线经过， 时，随增大而减小，时，随增大而增大，且， ．……………………8分 （3）解：点A的坐标是， ， ， 时，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， ①当时，抛物线顶点在轴上，满足题意，解得（舍去）或； ②当时，若点在轴上或轴下方，点在轴上方满足题意， 则，无解； ③当时，若在轴上方，点在轴下方满足题意， ，解得． 综上所述，或．……………………14分 24．（本题14分） 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴……………………4分 （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为……………………9分 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或……………………14分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $