精品解析：广东深圳市桂园中学2026-2027学年第一学期九年级开学数学学情自测

2026-2027学年第一学期初三学情检测 数学试卷（9月） 考试时间：90分钟 说明：1、答题前，请将姓名、学校、试室号和准考证号用规定的笔写在答题卡指定的位置上． 2、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共4页，满分100分． 3、考生必须在答题卡上规定的区域作答；否则其答案一律无效． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该选项图形是中心对称图形，符合题意； C．该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示其解集． 【详解】解：解不等式， 得， 在数轴上表示为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的求解． 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意； B、，属于因式分解，故B符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，属于整式乘法，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 4. 如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】逐一对照四个选项所给条件，判断其是否满足平行四边形的判定依据（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分）． 【详解】解：A选项，两组对边分别平行，可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B选项，一组对边平行，另一组对边相等，可能为梯形，不能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； C选项，对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D选项，两组对边分别相等，可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意． 5. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意； B．时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C．时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D．时，，分式无意义，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下两个方面理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零，（2）分式有意义⇔分母不为零，是解题的关键. 6. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】如图所示， 根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB==5， ∴此菱形的周长为：5×4=20． 故选：C． 【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键． 7. 如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于为半径画弧，分别交于点； ②作直线，与边交于点； ③连接． 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，由作图知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键． 【详解】解：原分式方程可化为：， 去分母，得， 解得， 分式方程解是非负数， ，且， 的取值范围是：且， 故选：B 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【答案】4.9 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：， 是直角三角形， 是的中点，， ， 故答案为：4.9． 11. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式的交点问题的应用，掌握数形结合思想是关键． 12. 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先作，利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】解：过点作， ∵平分，， ∴， ∴， 故答案为5． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，过点A作， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3）解集在数轴上表示如下： （4） 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的步骤求出不等式①的解集； （2）根据解不等式的步骤求出不等式②的解集； （3）把两个不等式的解集表示在数轴上； （4）根据数轴上两个不等式解集的公共部分，找出不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 【小问2详解】 解：解不等式②，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由数轴可知，原不等式组的解集为． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）在图中将线段向右平移个单位长度得到线段，点在点的上方，连接； （2）点是平行四边形的边上一点，请你在边上找一点，使． 【答案】（1） 如图即为所求． （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）由（1）知四边形为平行四边形．连接相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．根据平行四边形的性质可证得，从而可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 17. 某书店在读书月期间决定购进“深圳故事”和“科技创新”两种系列图书．已知“科技创新”系列每套的进价比“深圳故事”系列贵60元，用3000元购进“深圳故事”系列和用3600元购进“科技创新”系列的套数相同． 请利用方程或不等式解决下列问题： （1）“深圳故事”系列和“科技创新”系列每套的进价各是多少元？ （2）已知每套“深圳故事”、“科技创新”系列图书的售价分别为330元和400元，若该书店购进这两种系列图书共200套，全部销售完后的利润不少于6800元，则至多购进“深圳故事”系列图书多少套？ 【答案】（1）“深圳故事”系列每套进价为元，“科技创新”系列每套进价为元． （2）至多购进“深圳故事”系列图书套． 【解析】 【分析】（1）设未知数后，根据两种图书购进套数相同的等量关系列分式方程，检验后得到两种图书的进价； （2）设购进“深圳故事”系列图书的数量，根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最大购进数量． 【小问1详解】 解：设“深圳故事”系列每套进价为元，则“科技创新”系列每套进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，  ， 答：“深圳故事”系列每套进价为300元，“科技创新”系列每套进价为360元． 【小问2详解】 解：设购进“深圳故事”系列图书套，则购进“科技创新”系列图书套， “深圳故事”每套利润为（元），“科技创新”每套利润为（元）， 根据题意，得， 解得， 答：至多购进“深圳故事”系列图书120套． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴ 19. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ （2）若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； （3）若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）2090 （3） 【解析】 【分析】（1）根据互为关于的“关联代数式”的定义判断即可； （2）计算，，根据A，互为关于的“关联代数式”得到，即，将化为，即可求解； （3）由得到，另，，根据A，B互为关于的“关联代数式”得到为定值或为定值，分两种情况讨论：①当为定值时，，，得到，不合题意，舍去．②当为定值时，，，得到，则，根据平方差公式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查分式的运算，整式的运算，平方差公式，完全平方公式，整式的运算中无关型，代数式求值，理解关于的“关联代数式”的定义是解题的关键． 20. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； （2）迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①； ②，理由如下： 由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠得为的垂直平分线，，连接得，故为等边三角形，在中得，由折叠得； （2）①由折叠得，正方形中，故．由折叠得，故．在和中，证全等，得．由（1）得，故，从而，解得． ②同①证，即可得； （3）设，由折叠得．当在靠近的一侧，由正方形边长为8及是的垂直平分线得，．由得，．由（2）中全等得，故．在中，由勾股定理列方程，解得．当在靠近的一侧，同理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可知，是的垂直平分线，， 连接，可得， ， 为等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，， ． 【小问2详解】 解：①由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可得， ， ②略 【小问3详解】 解：如图，当在靠近的一侧， 设， 由折叠可知，，是的垂直平分线， 在正方形中，，， ，， ， ， 由（2）可得，， ， ， 在中， ，即， 解得， 如图，当在靠近的一侧， 设， 同理可得，，，， 在中， ，即， 解得， 综上， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三学情检测 数学试卷（9月） 考试时间：90分钟 说明：1、答题前，请将姓名、学校、试室号和准考证号用规定的笔写在答题卡指定的位置上． 2、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共4页，满分100分． 3、考生必须在答题卡上规定的区域作答；否则其答案一律无效． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 6. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 7. 如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于为半径画弧，分别交于点； ②作直线，与边交于点； ③连接． 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式：____________． 10. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 11. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为___________． 12. 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）在图中将线段向右平移个单位长度得到线段，点在点的上方，连接； （2）点是平行四边形的边上一点，请你在边上找一点，使． 17. 某书店在读书月期间决定购进“深圳故事”和“科技创新”两种系列图书．已知“科技创新”系列每套的进价比“深圳故事”系列贵60元，用3000元购进“深圳故事”系列和用3600元购进“科技创新”系列的套数相同． 请利用方程或不等式解决下列问题： （1）“深圳故事”系列和“科技创新”系列每套的进价各是多少元？ （2）已知每套“深圳故事”、“科技创新”系列图书的售价分别为330元和400元，若该书店购进这两种系列图书共200套，全部销售完后的利润不少于6800元，则至多购进“深圳故事”系列图书多少套？ 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ （2）若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； （3）若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 20. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； （2）迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $