第21章 一元二次方程单元测试 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

一元二次方程单元测试卷 （华东师大版） 考试范围：九年级上册第21章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 3．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 6．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 7．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 8．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 9．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程； 【详解】解：设一元二次方程为，设两根分别为，， ∵，， 令，可得，，因此符合条件的一元二次方程可为（答案不唯一）； 12．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 13．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 14．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 15．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解； （3）先移项，再提公因式因式分解，即可求解； （4）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：． （2）解： ∵， ∴， ∴ （3）解 ∴或， 解得：． （4）解： ∴或， 解得：． 17．（6分）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）略 18．（8分）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 19．（9分）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 20．（10分）阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)， ， 或， 所以，； (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （3）解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 21．（10分）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 22．（12分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 23．（12分）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)能， 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． （3）解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程单元测试卷 (华东师大版) 考试范围：九年级上册第21章全部内容：考试时间：90分钟满分：120分 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是() A.x2-5x=1 B.3x+2y=1 c.x2-1=1 D.ax2+bx+c=0 2.x=4±y-4)-4x5x是下列哪个一元二次方程的根() 2×5 A.4x2+5x+1=0B.5x2-4x-1=0 C.4x2-5x-1=0 D.5x2-4x+1=0 3.将方程4x2+x=5化为一般形式后，a,b,c的值分别是() A.a=4,b=1,c=5 B.a=1,b=4,c=5 C.a=4,b=1,c=-5 D.a=4,b=-5,c=1 4.一元二次方程3x2-x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 5.若方程(x-3)=17的两根为a和b,且a>b,则下列结论中正确的是() A.a与b相等 B.a与b互为相反数 C.a-3是17的算术平方根 D.b-3是17的算术平方根 6.嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax+bx+3=0(a≠0)时，不小心将一次项系数写成了-b,解出其中一 个根是x=1,现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1： 乙：当α≠3时，原方程有两个不相等的实数根， 则下列判断正确的是() A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 7.用因式分解法解方程，下列方法正确的是() A.(2x-2)3x-4)=0,.2x-2=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1,.x+3=1或x-1=1 C.:(x-2)(x-3)=2×3,1x-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0,.x+2=0 试卷第1页（共8页） 8.如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为42m,宽为24m.院内从入口到出口的石板路宽度均相等， 若水池的占地面积为640m,求石板路的宽度.设石板路的宽度为m,根据题意所列方程为（) 42m 水池 24m 石板路通道 水池 A.(42-2x)(24-x)=640 B.(42-x)(24-2x)=640 C.(42-2x)(24+x)=640 D.(42-x)(24-x)=640 9.已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a-b)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果方 程有两个相等的实数根，则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 10.新定义：若关于x的一元二次方程+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一 个根的2倍，则称这样的一元二次方程为倍根方程.若关于x的一元二次方程x2-(2m+n)x+2=0是 “倍根方程，则代数式2m-”的值为() +2n A3或号 c.-39 1或2 D.-3毁9 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.若一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，请写出一个符合条件的方程一· 12.关于x的一元二次方程2x2+x-k=0无实数根，则k的取值范围为 13.有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入a=-2,则输出的x的值为 a>01 ax2-3x-5=0 输入a 输出x→ a<0 x2-3x-a=0 14.某种服装平均每天可售出50件，每件利润为40元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调 研发现，每件降价5元，则每天多售出10件.如果每天销售这种服装的总利润达到2100元，那么每件应降 价】 元 15.已知关于x的一元二次方程r+2-x+m=0的两个不相等的实数根a,B满足二+日=1，则m a B 的值为 试卷第2页（共8页） 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)用适当的方法解下列方程： (1)(2x+3)2-49=0: (2)2x2-7x-2=0: (3)(x+2)2=3(x+2): (4)x2-2x-3=0. 17.(6分)阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下： 解：x2+6x-4=0. x2+6x=4,① x2+6.x+9=4,..② (x+3)2=4,...③ X+3=±2..④ x+3=2或x+3=-2. 1=-1,x2=-5. 问题： (1)佳佳解方程的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 (2)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是 (3)请写出正确的解答过程。 试卷第3页（共8页） 18.(8分)某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）. 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场， 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场， 假设有x人报名参加比赛。 (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是： ·请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确： (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适， 只参加了4场比赛后就中途退赛.请直接写出此时x的值. 19.(9分)解决问题 探究 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 主题 探究 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造 背景 了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹等特色名片. 资料 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升.该养殖基地2024年大闸 蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨. 资料 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹.其中，某规格公蟹单只售 二 价40元，母蟹单只售价45元. 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ ②)若某游容计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公餐数量的}，怎样购买费用 最低，最低费用是多少？ 试卷第4页（共8页） 20.(10分)阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题. 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”.例如， 分解因式4x2-3y-y2. 方法如下：拆两头，4x2拆为4x,x,-y2拆为y,-y, 4x y 然后排列如下： 交叉相乘，积相加得-3xy,凑得中间项， 所以分解为4x2-3.y-y2=(4x+y)(x-y）. (1)用因式分解法解方程4x2-5x+1=0. 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：x=2- 发现数字◆印刷不清楚 x-3 3-x (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几？ 试卷第5页（共8页） 21.（10分)综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过，更是为了车辆安全、顺 利地转弯、停入和驶出车位.为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的 情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5~6.5米. 【数据收集】我市某小区地下车库分为A,B,C,D,E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩 形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米.另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元 时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金 额为y元 40米 【建立模型】 22米 停车位 x (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为 10125元？ 试卷第6页（共8页） 22.（12分)操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼完成了配方，用4个长为x+2, 宽为x,面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空 的小正方形面积得：(x+x+2)=4×24+22. x+2 24 24 x+2 22 x+224 24 x+2 图1 图2 【模仿实践】 (1)仿例题配方解x2+5x-14=0,先变形为 ,如图2，每个小长方形的长为 ,宽为 利用图形的面积关系得配方后的方程为】 ,解为 【深入探究】 (2)配方解2x2+5x=3,自己画图分析，写出解题过程. 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：x+5x+3=0,变形为x(x+5)=一3，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是(a+b)=4ab+(a-b)模型，于是有了另一种方法，设x=a,x+5=b, 「ab=-3 则有 a-b一5(a+b=4x(3)+(-5,(x+x+5-13,配方成功，从数到形，又从形回归到数. (3)请你用小聪的方法配方解x2-7x+2=0,写出解题过程. 试卷第7页（共8页） 23.(12分)综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒 材料：一张长为80cm,宽为60cm的长方形硬纸板， 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图 ②所示的有盖长方体收纳盒，EF和GH两边恰好重合且无重叠部分. 80cm E(G G A D A:-- 60cm F(H) D 25 F H B 15 B 20 图① 图② 图③ (I)任务一：若收纳盒的高BF为I0cm,求该收纳盒底面ABCD的两邻边AB和BC的长度： (2)任务二：若收纳盒底面ABCD的面积为400cm,求该收纳盒的高BF; (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为20cm,宽为15cm,高为25cm的长方体礼盒（如图③) 的方案，如果能，求设计方案中BF的取值范围；如果不能，请说明理由， 试卷第8页（共8页） 一元二次方程单元测试卷 （华东师大版） 考试范围：九年级上册第21章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 3．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 6．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 7．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 8．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 9．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 12．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 13．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 14．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 15．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 18．（8分）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 19．（9分）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 20．（10分）阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 21．（10分）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 22．（12分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 23．（12分）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $