第21章一元二次方程单元测试卷（基础）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 第21章一元二次方程基础单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过周瑜年龄、赵爽解题等文化情境和增长率、车位租金等生活问题考查核心素养，适用于单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|定义（第1题）、解法辨析（第2、4题）|以概念辨析和基础应用为主，培养抽象能力| |填空题|5题/15分|根与系数关系（第12题）、物理上抛问题（第13题）|考查知识迁移，发展模型意识| |解答题|8题/75分|解法综合（第16题四种方法）、车库车位问题（第20题）、赵爽解题（第23题）|分层设计，融合实际与文化，提升应用意识与推理能力|

第21章 一元二次方程单元测试卷（基础） 本卷满分120分，考试时间100分钟。 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（本题3分）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 4．（本题3分）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（本题3分）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 6．（本题3分）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 12．（本题3分）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 13．（本题3分）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 14．（本题3分）若实数，满足，则的值为________． 15．（本题3分）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 三、解答题（共75分） 16．（本题12分）解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 17．（本题9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 18．（本题9分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19．（本题9分）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 20．（本题9分）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 21．（本题9分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 22．（本题9分）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 23．（本题9分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第21章 一元二次方程单元测试卷（基础）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D B D B B A D 1．D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．B 【分析】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：班长：， 甲：两边同除以3，得，正确， 乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误， ∴开始出现错误的是对应选项为B． 3．A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 5．B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 6．D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 7．B 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为， 根据题意，可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程． 8．B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 9．A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 10．D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 11． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 12． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 13．2 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 14．8 【分析】本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 15． 【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围． 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 17．(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 19．(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 20．(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 21．(1)；； (2)或 (3) 解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）略 （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 22．(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 23．(1)；； (2)此方程的正根为1 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $