海南海口市海南中学2027届高三年级上学期第2次周考数学试题

命题人：刘玉珠杨菲 海南中学2027届高三年级第2次周考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 1.命题“x>1,x2-4x+6<0”的否定为（） A.3x>1,x2-4x+6≥0 B.3x≤1，x2-4x+6≥0 C.x≤1，x2-4x+6≥0 D.x>1,x2-4x+6≥0 【答案】D【详解】命题“x>1,x2-4x+6<0”的否定为“Vx>1,x2-4x+6≥0”. 2.下列函数中，既在其定义域上单调，又有奇偶性的是（) A.y=x2+1 B.y C.y=-xx D.y=√ 【答案】C【详解】A选项，f(x)=x2+1定义域为R,且f(-x)=(x)'+1=x2+1≠-f(), 故y=x2+1不是奇函数，A错误；B选项，y=的定义域为(m,儿U(0,+m),而y= 在(-n,0),(0,+0)上单调递减，故不在定义域上单调，B错误； C选项，g(x)=-x的定义域为R,且g(-x)=x寸=x=一g(x), 故g(x)=-为奇函数，且当x≥0时，g()=-x=-x在[0，+0)上单调递减， 所以g()在（仁”，0]上单调递减，故g(x)=-xx在定义域上单调递减，为单调函 数，C正确；D选项，y=√的定义域为[0，+o),不关于原点对称，故为非奇非 偶函数，D错误故选C. 3.双曲线4x2-y2=4a(a≠0)的渐近线方程为（) A.y=2 B.y=±2x C.y=±Vax D.y=±ax 【答案】B【详解】双曲线父上-1，故渐近线方程为y=士 x=士2x. a 4a 第1页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(c+2)=f(x).当2≤x≤3时， )=3-e,则() A.4 B.4-log2 5 C.3-10g2 5 D.2-10g25 【答案】B【详解】f(x)是偶函数，则f(x)=∫(-x),又满足f(x+2)=f(x). 则x+2)-f,令，得/》-)-3-1()45. 5.若a=0.50.7,b=0.7p5,c=1.11,则a,b,c的大小关系是() A.c>b-a B.a>b-c C.c>a>b D.a>c>b 【答案】A【详解】y=0.S在R上是减函数，0<0.50.7<0.505，y=05在0， 十∞)上是增函数，y=0.7在R上是减函数，∴.0.505<0.70.5<0.70=1，则0.50.7<0.70.5 即0<a<b<1.又y=1.1"在R上是增函数，.1.10.1>1.1°=1，即c>1,可知c>b>a 6.对于函数y=f(x),若存在，使f()+f(-)=0,则称，点(x,f(x)月是曲 线儿国的美点”已知因2，则商袋四的优美意个 数为() A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】C【解析】因f(0)=2≠0，故曲线f(x)的“优美点”个数，可转化为x<0 时的函数f(x)关于原点对称的函数图象，与y=2-x的图象的交，点个数， 由x<0可得f(x)=x2+2x,关于原，点对称的函数f(x)=-x2+2x,x>0, 联立y=-x+2和y=-x2+2x,解得x=1或x=2,则存在，点(1,1)和(2,0)为“优 美点”，另点(-1，-)和(-2,0)亦为“优美点”，曲线f(x)的“优美，点”个数为4. 第2页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 7.已知画数e)子a(ae取)，8)=r山，对出etm,xe[-1同， 使得f(x)=g(5)成立，则实数a的取值范围为（) A.(1,3) B.[13] C.(-∞，3] D.[L,+n) 【答案】B【详解】若x≥1，则x+1≥2,0<1，s tasa+1, r+12,可得a<2 所以函数f(x)在[1+∞)的值域为(a,a+1];若-1≤x≤V3,则0≤x≤3，可得 1≤x+1≤4，所以函数g(x)在[-1，VB的值域为[1,4]；因为对x∈[1，+∞)， x∈-1,5，使得f(s)=g(5)成立，则(aa+1][,4],可得 a≥1 a+1≤4，解得1sas3, 所以实数a的取值范围为1,3]. 8已知满国C若+茶-10>b>0的左、右然点分别为，5，P是C上一成， 且PF⊥E,H是线段P耳上靠近耳的四等分点，且Oi·P瓦=0，则C的离心 率为（) A.V6-2 B.√3-1 C.√2-1 D.3-1 2 【答案】C【解析】由题意，不妨设，点P在第一象限，如图. 固为阴，时名，P=2aC aa -P周为a哑网=0，对0性，可知 a2+c2 △PFE,∽△OFH,则 P-o7,即ae=a,整理得c2-2W5ac+d=0. FF HE 2c a 得e-25e+1=0,解得e=25±2=V5士1(e>1),所以C的离心率为V5-1, 2 第3页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分逃对的得部分分，有选错的得0分 9.已知ab=1,a>0且a≠1，函数y=-log。x与y=b的图象可能是（) B D 【答案】BD【详解】由ab=l且a>0,a≠1，可得b=】 所以y=bx=(a1)=a,y=-logax.当a>l时：函数y=d在R上单调递增，且过 点(0,1).函数y=l1og。x在(0，+w)上单调递增，所以y=-log。x在(0，+w)上单调递减， 且过，点1,0).选项B中，一条曲线过(0,1)且递增，另一条曲线过1,0)且递减，符合 当0<a<1,函数y=a在R上单调递减，且过，点(0,1).函数y=log。x在(0，+w)上单调 递减，所以y=-log。x在(0，+∞)上单调递增，且过，点(L,0).选项D中，一条曲线过 (0,1)且递减，另一条曲线过L,0)且递增，符合 10。高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称 号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数” 为：设x∈R,用表示不超过x的最大整数，则y=[x)称为高斯函数，例如： [-3.5]=-4,[2.1=2,则下列命题正确的是（) A.x∈[-1,0]，[x]=-1 B.x∈R,x<[x]+1 C.函数y=x-[x]的值域为[0,1) D.不等式：2[x-[x]-3≥0的解集为{xx<0或x≥2 【答案】BCD【详解】A:当x∈[-1，O)时[x]=-1,当xe{0}时[x]=0,错误； 第4页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 B、C:由定义知：x-[x]e[0,1),故[+1>x,正确； D:由2[-[3=(-30+)≥0，故[或≤-1，则x≥2或<0，所以 解集为{xx<0或x≥2}，正确故选：BCD 11.已知函数f(x)与8(x)的定义域均为R,且f(x+1)+8(x-2)=3,f(x-1)-8(-x)=1, 若g(2x-1)为偶函数，则（) 4,函载8的图象关于直线x=号对称 B.8(0)=1 2027 C.函数f(x)的图象关于点(L1,2)对称 D.日8W=2027 【答案】BCD【详解】A选项，g(2x-1)是偶函数，图象关于x=0对称，将8(2x-1) 的图象的横坐标放大为原来的两倍，得到8(x-1)的图象，则8(：-1)是偶函数，图 象关于直线x=0对称；将g(x-1)的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)的图象， 则g(x)的图象关于直线x=-1对称，A选项错误； B选项，由f(x+1)+8(x-2)=3,以x-2替换x得f(x-1)+g(x-4)=3, 由将-08r=2,令-得=23-l, 由于8(x)的图象关于直线x=-1对称，所以g(0)=g(-2)=1,B选项正确； C选项，由f(x-1)-8(-)=1,以-x+2替换x得f1-)-g(x-2)=1, f(x+)+8-2引3得f0+刘+f0-)=4,令x=0得2f0⑩=4f0=2,所以国 由f0-)-8x-2)-11 的图象关于，点1,2)对称，C选项正确；D选项，8(x)的图象关于直线x=-1对称， g(-2+)=g(-),由g(x-4)+g(-)=2,g(c-4)+g(x-2)=2,以x+4替换x得 g(x)+8(x+2)=2,所以g(x+2)+g(x+4)=2,8(x)=8(+4), 8(x)的周期为4,8(1)+8(2)+8(3)+8(4)=4，g(2)=g(-2)=1, 8)g0+8Q+86)+84<506+80+gQ+86)=4x506+2+1=2027,D王 正确.故选：BCD. 第5页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数y=a-26+2027（a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐 标为 【答案】(2026,2028)【详解】因为a>0,且a≠1，d=1, 则x=2026时，y=a°+2027=2028，函数y=a-2026+2027(a>0,且a≠1)的图象 恒过定点(2026,2028).所以，点P的坐标为(2026,2028). 13.直线ax-4y+12=0与圆x2+y2=16相交于A,B两，点，且∠A0B= 90°（0为坐标原点)，则a=一 【答案】±V2【解析】由∠A0B=90°，得|AB=V42+42=4V2, 知，点0到直线ax-4y+12=0的距离为 √42-(2v2)2=2V2, 112 12=22,得a=±2. 所以+2+16 故答案为：士√瓦 x+1x≤0 14.已知f(x)= hg寸x>0' 若方程f(x)-a=0有四个根x1,x2,x3,x4且 <x2<x3〈x4,则1+x3+x3+x4的取值范围是 【答案】 0【解折】由题意，作出函数f)= x+1x≤0 log3xx> 的图象，如图所 示，因为方程f(x)-=0有四个根x1,x,x3,x4 且x<x2<3〈x4，由图象可知x1+x2=-2, -log3x3=10g3x,可得xx=1,则 x1+x3+x3+x4=-2+x3+x4,设 1og3x3=-t,1og3x4=t,所以x3+x4=3+3,因为0<t≤1，所以1<3≤3，所以 4 4 2<3+330,所以0<-2+3+33即0<x+x+x+x即 x1+x2+x3+x4的取值范围是0， 故答案为： 第6页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 四，解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(13分)已知幂函数f(x)=xk+2k+3(k∈Z)是偶函数，且在(0，+o0)上 单调递增. ()求函数f(x)的解析式； (②求不等式f(3x+2)>f1-2x)的解集. 【详解】(1)因为幂函数f(x)=x+2+3(飞∈Z)在(0，+0)上单调递增. 则-k2+2k+3>0,即k2-2k-3<0,解得-1<k<3, 又k∈Z,所以k=0,1,2. 飞=0时，f(x)=x3为奇函数，舍去； k=1时，f(x)=x4为偶函数，合题意； k=2时，f(x)=x为奇函数，舍去； 故f(x)=x4,x∈R. 7分 (2)由(1)，偶函数f(x)=x,x∈R在(0，十0)上单调递增， 则由f(3x+2)>f(1-2x), 可得f(3x+2)>f(1-2x),(此处不写不扣分) 故有3x+2>1-2x, 两边取平方，整理得5x2+16x+3>0,解得x<3或> o, 所以原不等式的解集是(0，-3)U(-5+0): 13分 第7页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 16.（15分）已知，点P(m,2)在抛物线C:y2=2x(D>0)上，焦点为F,FP=2,经 过，点Q(1,1)的直线1交抛物线C于A,B两点. (I)求抛物线C的方程； (2)若AgB2=6,求直线1的方程. 【详解】（①由艳物线方程可知：焦点严号0，准线号， 2pL=4 由题意可知： m+2=2’解得 p=2 m=1, 2 所以抛物线的方程为y2=4x. 5分 (2)因为点Q(1,1)在抛物线内部，则直线1的斜率不为0，且直线1与抛物线必相 交，设直线1：x=t(y-1)+1，,A(5,),B(,), 联立方程x=t0-1)+1 y2=4x ，消去y可得少-4物+-4=0， y2=4x 则1+乃=4t,%=4t-4,可得 40 Bel=+t2:-1 +t22-14+12+y21 B 则AgBg=(1+t)4t-4-4t+1=3+3t=6,解得t=±1， 所以直线1的方程为x-y=0或x+y-2=0. …15分 第8页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 17.(15分)已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立， 且当x>0时，f(x)>1. (1)求f(0)的值； (2)证明：f(x)为R上的增函数； (3)解关于x的不等式：f+a-小1a风. 【答案】(1)令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,所以f(0)=1;2分 (2)证明：任取x,x2∈R,且x< f(:)-f(x)=f(x)-f(x-x+x) =f(x)-[f(x-x)+f(:)-1=1-f(x,-x), x<,x-x>0,f(x-x)>1,1-f(x-)<0 即f(x)-f(x)<0,∴f(x)<f(x)∴.f(x)为R上的增函数…8分 ()原不等式化为f÷+a-小f0,“f)为R上的端画数 ÷+a-1>0,即-(a->0,即(x-1[ar-(a-1订>0,10分 x-1 x-1 ①若a=0,x-1>0,不等式的解为x>1; 11分 ②诺a>0,11-分不等式的解为x1成<1-后 …13分 国考a0,11日，不华式的解为1x1 …15分 a 综上所述：a=0时，不等式的解为x>1;a>0时，不等式的解为x>1或x<1-； a<0时，不等式的解为1<x<1-上.（综上所述不写，此处不扣分） 第9页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 18(17分)设a>2,m∈Rk,t是不全为零的实数，椭国r:+ ，=1,E、F分 a24 别为厂的左、右两个焦，点，直线1：x+y+m=0与T交于A,B两，点，O为坐标 原点 (1)若k=0,t+m=0,且四边形ABEF为矩形，求T的离心率； (2)若t=0,且△FAB的周长的最大值为12，求T的方程； (3)若a=41=-l,直线Q1与0B的斜率之积为}，求△0AB的西积S. 【解析】由k三0，+m=0得，少=L,将y=1代入椭国方程得+41 解得士5a,则A=a,又四边形ABRR是矩形，则V5a=2C, 2 即r的离心率e=S=5 4分 2由0得，6x=,南A8上轴， VA 则AF+BF+AB≤AF+BF+AF+BF,=4a,当且仅当 AB过右焦点F,时等号成立，即△FAB的周长的最大值为4a, 即4=12，即a=3,则r方程为父+少=1 9”4 9分 (③)藏4任，B(),又点48均在T上，由a月得=} 4 y=kx+m 即+4y以，=0，又a=4t=-1,即直线：y=+m,由三+上=1 164 得1+4k2)x2+8x+4m2-16=0,应有△=4(4+16k2-m)>0 对1把x限，由+0 得xx3+4y2=xx3+4(K+m)k3+m)=0, 第10页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 -楼就w=0,-)6 +4m2=0, 化简整理得m2=8k2+2,此时△=4(4+16k2-8k2-2)=4(8k2+2)>0恒成立 4B=+x=+kx-4xx =V1+k2 -8km 4V2(1+) 1+4k2 4m-16_4+EV4+16-m 1+4k2-1+4k2 V1+4k3 又原点O到直线1的距离为d= V2(1+4k V1+k3 V1+k3 1 V21+42) 则S.0AB=2× 4V21+3 4. 17分 2 √1+4k2 V1+k2 19.(17分)三叉戟是希腊神活中海神波塞冬的武器，而函数y=4K+94>0,B>0 的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数f四)=心+二的图象，所以也称了)的图 象为牛顿三叉戟曲线。 (1)判断函数f(x)在(1，+0)上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m,n满足：f(m)=f(m),求证：n<l; (3)是否存在实数a,b,使得f(x)在[a,b]上的值域是[3a,3b]?若存在，求出所 有a,b的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)f(x)在1，+o)单调递增，证明如下： x,∈，+o),且￥<为， 有f)-f)=x2+马-(+3=x2-)+(2-3=(4-,汇s+)西-3， 1<x<x3,.-x3<0,￥+x3>2,xx2>1, (+x3)xx3>2,(1+x2)x1x3-2>0 ∴.f(x)-f(x)<0,即f()<f(x), “f(x)在A,+0)单调递增； 5分 第11页共12页 命题人：刘玉珠杨菲 (2)证明：由f0m)=fm)得：㎡+2=+2 化简得：m2-=2-2-2m-m nn nn 又m-n≠0，.wnm+)=2, 而m≠n,>0,n>0,.+n>2√n, .2=1m(0m+m>2(m)3, ∴.n<1 10分 (3)不妨设存在满足题意的实数a,b,因为函数f(x)的定义域为{xx≠0} 所以0[a,.a<b<0或0<a<b, 11分 ①当a<b<0时，易知f()在(-0,0)单调递减， 「f(a@=3b 2+2=3b [d+2=3ab lfb)=3a即： 即： b+2=3a 1b3+2=3ab’ .d+2=b+2,∴.a=b,矛盾； 13分 ②当0<a<6时，0<x≤1/=2x-2-2)≤0恒成立f)在0,1)递减， x2 f(x)在(0，+0)上最小值为f(I)=3, 故3a>3,.a>l,f(x)在[a,b]上单调递增， :[(@)-3a 6=3b,a,b是f田=3x在0，+o)的两根. 15分 由f(x)=3x,得x2+2=3x, 即：x3-3x2+2=0,(x-10(x2-2x-2)=0,解得x=1,x=1±V3 又b>心1，.a=1,b=V3+1, 综上所述，存在满足题意的正实数：a=1,b=V3+1.17分 第12页共12页命题人：刘玉珠杨菲 海南中学2027届高三年级第2次周考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.命题“x>1,x2-4x+6<0”的否定为（) A.3x>1,x2-4x+620 B.3x≤1，x2-4x+6≥0 C.x≤1，x2-4x+6≥0 D.x>1,x2-4x+6≥0 2.下列函数中，既在其定义域上单调，又有奇偶性的是（) A.y=x2+1 B.y=1 C.y=-刘 D.y=√E 3.双曲线4x2-y2=4a(a≠0)的渐近线方程为（) A.y=±二x B.y=+2x c.y=±ax D.y=±ax 2 4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x).当2≤x≤3时， f)3-1g,x,则f)() A.4 B.4-10g25 C.3-10g,5 D.2-1og25 5.若a=0.50.7,b=0.705,c=1.1.1,则a,b,c的大小关系是() A.c>b>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b 6对于函数y=f(x),若存在，使f()+f(-x)=0,则称点(x,f(x)月是 曲线f()的“优美点”.已知f(x)= x2+2x,x<0 ,则曲线f(x)的“优美 -x+2,x≥0 点”个数为（) A.1 B.2 C.4 D.6 第1页共4页 命题人：刘玉珠杨菲 7.已知函数)=+a(aeR),g(x)=+1,对x∈L+四)，ke[1, x+1 使得f(x)=g(x)成立，则实数Q的取值范围为（) A.(1,3) B.[1,3] C.（-0,3] D.[1,+o) 8巴知椭圆C怎+Q>6>0)的左、右焦点分别为马，乃，P是C上-点， 且PF⊥F,H是线段P耳上靠近耳的四等分点，且Oi·P瓦=0，则C的离心 率为（) A.6-v5 B.√3-1 C.√2-1 D.3-1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分逃对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知ab=1,a>0且a≠1，函数y=-log。x与y=b-x的图象可能是（) B D. 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称 号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数” 为：设x∈R,用[x表示不超过心的最大整数，则y=[x称为高斯函数，例如： [-3.5]=-4,[21]=2,则下列命题正确的是（) A.x∈[-1,0]，[x]=-1 B.VxER,x<[x]+1 C.函数y=x-[x的值域为[0,1) D.不等式：2[x灯-[x]-3≥0的解集为{xx<0或x≥2分 第2页共4页 命题人：刘玉珠杨菲 11.已知函数f(x)与8(x)的定义域均为R, 且f(x+1)+g(x-2)=3,f(x-1)-g(-x)=1,若g(2x-1)为偶函数，则（) A.函数g(田)的图象关于直线x=-1对称 B.g(0)=1 C.函数f(x)的图象关于点(1,2)对称 D. 宽g=2027 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数y=a-2026+2027（a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐 标为 13.直线ax-4y+12=0与圆x2+y2=16相交于A,B两点，且∠A0B= 90°(0为坐标原点)，则实数a= x+1x≤0 14.已知f(x)= 1g,刘t>0若方程f()a=0有四个根，七，光，E且 x<x<x3〈x4,则x+x2+x3+x4的取值范围是 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知幂函数f(x)=x+2k+3(飞∈Z)是偶函数，且在(0，+0)上 单调递增. (1)求函数∫(x)的解析式； (2求不等式f(3x+2)>f(1-2x)的解集. 16.(15分）已知点P(m,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，焦点为F,FP=2, 经过，点Q(1,1)的直线1交抛物线C于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若4QBQ=6,求直线1的方程. 第3页共4页 命题人：刘玉珠杨菲 17.（15分)已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1 成立，且当x>0时，f(x)>1. (1)求f(0)的值； (2)证明：f(x)为R上的增函数； ⑧关于x的不式：人1a小1a风. (7分)设a>2,m∈Rk,t是不全为零的实数，椭圆T:x+=山、F 分别为T的左、右两个焦，点，直线：x+y+m=0与T交于A,B两，点，O为 坐标原点。 (1)若k=0,t+m=0,且四边形ABFF为矩形，求T的离心率； (2)若t=0,且△FAB的周长的最大值为12，求T的方程； ③)若a=4I=-1,直线01与0B的斛率之叔为寻，求△018的西教S. 19.17分)三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，函数y=4r+B(4>0,B>0 2 的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数f(x)=x2+二的图象，所以也称f(x)的 图象为牛顿三叉戟曲线 (1)判断函数∫(x)在(L,十0)上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m,n满足：f()=f(n),求证：mn<1; (3)是否存在实数a,b,使得f(x)在[a,b]上的值域是[3a,3b]?若存在，求出 所有α，b的值；若不存在，说明理由. 第4页共4页