精品解析：江苏省泰州中学2026-2027学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

江苏省泰州中学2026-2027学年度秋学期高一第一次质量检测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把两个集合化为区间，再取它们的公共部分，并注意端点是否能取到． 【详解】由题意，，． 两集合的公共部分满足 ，所以 2. 全称命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定即可得解. 【详解】由全称量词命题的否定知“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得可为、，计算即可得. 【详解】由题意可得可为、， 即可为，即. 故选：B. 4. 已知非零实数，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，当时，，当时，，因此不能推出，充分性不成立， 反之，同理当时，，但当时，，因此不能推出，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 6. 已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 7. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 8. 已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按一次函数、二次函数分类，二次函数再分“重根在区间内”和“端点函数值异号（含端点验证）”两类讨论，最终合并所有符合条件的取值. 【详解】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即 ，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A，取特殊值判断BC，利用作差法判断D. 【详解】由不等式的性质知，，则，故A正确； 当时，，但，故B错误； 当时，，但，故C错误； 因为，， 所以，，所以，即， 故D正确. 故选：AD 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数图象可得，、，代入即可得A、B、C；D选项中可转化为，解出即可得. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为、， 故， 即、， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：可化为，即， 即，其解集为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，因为为正实数，，则， 当且仅当时取等号，故A选项正确； 对于B选项，， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； 对于C选项，因为，则， 故， 当且仅当时取等号，故C选项正确； 对于D选项，因为 ， 因为，所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出“”的一个必要不充分条件为______. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】若，则不一定有；若则， 所以是的必要不充分条件，即的一个必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知，，则a______b．(填“>”或“<”) 【答案】 【解析】 【分析】对进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果. 【详解】， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知实数、满足，则取值范围是_____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设目标式为参数，通过消元将条件转化为关于单变量的一元二次方程，利用方程有实根则判别式非负的性质求解取值范围. 【详解】设，则，代入，得， 整理得， 因为是实数，该一元二次方程必有实数解，所以判别式， 化简得，解得，即. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）若，求实数的值： （2）若，求实数的值. 【答案】（1）或3 （2）或或 【解析】 【分析】（1）由可求出，并分别验证即可； （2）由题意可知，分和两种情况讨论即可求. 【小问1详解】 ，， ∴或， ∴或2或3. 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意. 综上，或3. 【小问2详解】 ，∴， 当时，，符合题意； 当时，， ∴或4，∴或. 综上，或或. 16. 写出下列不等式的解集： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 ，； 不等式的解集为. 【小问2详解】 ，，即，解得； 不等式的解集为. 【小问3详解】 ，，即， 解得； 或. 不等式的解集为或. 17. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. （1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? （2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 【答案】（1）规划时，面积最少 （2）步道至少有7米. 【解析】 【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可； （2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可. 【小问1详解】 根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； 【小问2详解】 根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 18. 已知，函数． （1）当时，函数的图象与轴交于，两点，求； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入得到具体的二次函数表达式，由二次函数图象与轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，结合韦达定理得到和的值，利用立方和公式将化简为和的形式，代入计算即可； （2）先对不等式移项化简，整理为含参数的二次式大于0的形式；对的取值分类讨论：当时，代入不等式直接验证是否恒成立；当时，分析二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，求出函数在区间内的最小值，令最小值大于0，求解对应的的范围，最后合并不同情况的结果，得到的取值范围； （3）将转化为标准的一元二次不等式形式，并对不等式左边做因式分解；对的取值分类讨论：当时，直接求解；当时，先求出对应方程的两个根，再分和的情况，比较两个根的大小，根据一元二次不等式确定不等式的解集. 【小问1详解】 当时，. 的图象与x轴交于，两点， ，是一元二次方程的两根，则，. . 【小问2详解】 时，不等式恒成立，整理得. 当时， ，恒成立，符合题意； 当时，则或，解得或； 综上所述，，即的取值范围为. 【小问3详解】 由，得，即，得. 当时，，解得； 当时，由，得，解得或； 当时，，则由，解得或； 当时， 当，即时，由，解得； 当，即，由，即，解得； 当，即时，由，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 【答案】（1） 或或 （2） （3）证明:假设是“等差集”， 则存在,成立， 化简可得, 因为,所以, 所以与集合的互异性矛盾， 所以不是“等差集”． 【解析】 【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可； （2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可； （3）应用反证法证明集合不是等差集. 【小问1详解】 因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得， 则或或. 【小问2详解】 因为集合是“等差集”， 所以或或, 计算可得或或或， 又因为正整数,所以. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2026-2027学年度秋学期高一第一次质量检测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 全称命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零实数，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出“”的一个必要不充分条件为______. 13. 已知，，则a______b．(填“>”或“<”) 14. 已知实数、满足，则取值范围是_____________________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）若，求实数的值： （2）若，求实数的值. 16. 写出下列不等式的解集： （1） （2） （3） 17. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. （1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? （2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 18. 已知，函数． （1）当时，函数的图象与轴交于，两点，求； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $