第五章 2 一元一次方程的解法-【新课程能力培养】2026-2027学年七年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 七年级上册（北师大版） 一元一次方程的解法（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题我们知道可以利用天平的平衡原理解释等式的性质，下列等式变形能用如图所 示的天平平衡的事实解释的是() A.如果a=b,那么2a=2b B.如果=b,那么a=b 22 图1 图2 C.如果a=b,那么a+2=b+2 例题图 D.如果a=b,那么a2=b2 【分析】首先观察四个选项的等式变形是依据等式的哪条性质，再观察图1、图2中两 个平衡的天平托盘上物体和砝码之间的联系，发现图2的天平平衡是基于图1之上两边各加 了一个相同质量的砝码，该图示恰好可以形象地解释选项C的等式变形。 【解答】C 【点拨】本题考查等式的基本性质，解题的关键是理解等式基本性质的本质。 基础巩固飞达标闯关 1.如果6x=x+3,那么6x- =3,根据是 2.如果2(x-3)=4,那么x-3= 根据是 3.如果3g-号，那么3+1归 6 ,根据是 4.如图，天平中的物体a,b,c使天平处于平衡状态，则质量最大 @回O④⑥ 的物体是 5.等式2x+1-1=x的下列变形，依据等式性质2的是() ⑥⑥AA△y 3 第4题图 A.2x+1=x+1 B.2x+1-x=l 3 3 D.2x+1-3=3x 6.下列式子根据等式性质变形正确的是() A由}=子，得2 B.由3x-2=2x+2,得x=4 C.由2x-3=3x,得x=3 D.由3x-5=7,得3=7-5 94 一元一次方程 第五章 7.如图，两个天平都平衡，则与2个球质量相等的正方体的个数为 () A.5 B.4 nm C.3 D.2 8.关于x的一元一次方程2x2+m=4的解为x=1,则a+m的值为（) 第7题图 A.9 B.8 C.5 D.4 9.利用等式性质解下列方程： (1）4x-3=2x+5; 2)号41s4 能力提升睡综合拓展 10.小李编了一道题目：“我今年12岁，我叔叔比我大28岁，几年后叔叔的年龄是我 年龄的2倍？”同学们，请你算出小李叔叔的年龄是他年龄的2倍时，小李的年龄是多少。 中考链接©真题演练 11.(2022青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是() A.若0=b,则a=b B.若ac=bc,则a=b cc C.若2=b2,则a=b D.若-子=6，则x=-2 12.(2023·自贡)某校组织七年级学生研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有 座位；租用5辆，还空10个座位。求该客车的载客量。 口数学 七年级上册（北师大版） 一元一次方程的解法（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题解方程：2x-1=3。 【分析】移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解。 【解答】移项，合并同类项，得2=4。系数化为1，得x=2。 【点拨】此类无分母、无括号的一元一次方程只需移项、合并同类项，再把未知数系数化 为1，即可求解。 基础巩固L达标闯关 1.如果4x+6与-3x-7是相反数，则x+5的值为 2.若关于x的方程x+3a=3-2x的解为=-4，则a= 3方程45=2+子y的解为（) A.y=-12 B.y=-8 C.y=8 D.y=12 4.已知y=5x-8,y2=8x+1,当y1=y2时，x的值是() A.3 B.-3 c D-子 5.下列选项中，方程的解不同于其他三个方程的是() A.3x-2=7 B.5x-5=1+3x C.7-32 D.4x=5x-3 6.如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=( A.-10 B C.1o D.10 3 7.解下列方程： (1）-2x+3=7x; 2)+3-26 96 一元一次方程 第五章 (3)-5=6 0.1 (4){+31 3+4=2 8.已知y=-2x+3,y2=5x-6,若y1+y2=12,求x的值。 能力提升螂综合拓展 9.新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”。如 方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”。 (1)若关于x的方程3x-匹-0与方程2x-6-4是“友好方程”，求m的值。 (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n,求n的值。 吻 数学 七年级上册（北师大版） 10.【阅读材料】 把无限循环小数化为分数，可以借助方程的思想进行转化。 具体方法如下：以0.7为例，设0.7=x,由x=0.7=0.777…可知，10x=7.777…。 所以10=7。解方程，得=了。于是07=子。 99 【问题解决】 (1)请把无限循环小数0.68化为分数。 (2)我们把纯循环小数x(从有循环节小数分第一位开始的循环小数)循环节的数字 组成的数记作m,循环节的位数记作n(例如对0.68而言，m=68,n=2)。请你借助(1)的 解题思路，用含m,n的式子表示纯循环小数x。 中考链接©真题演练 -卡多多多 11.(2025·深圳)若关于x的方程x+a=5的解为x=1,则a= 12.(2025·遂宁)）已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a= 13.(2023德阳)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的小王同学参 加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三 16 个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角 7 线上的3个数之和分别相等，且均为m。小王同学抽取到的题目如图所示，他 4 运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则= 第13题图 98 一元一次方程 第五章 一元一次方程的解法（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题定义一种新运算：a①b=a-2b,比如：2①(-3)=2-2x(-3)=2+6-8。若(x-3)①(x+ 1)=1,求x的值。 【分析】依据新定义的运算列出方程，求出x的值。 【解答】根据题意，列出方程(x-3)-2(x+1)=1。 去括号，得x-3-2x-2=1。 移项、合并同类项，得=6。 【点拨】熟练掌握解一元一次方程的步骤，理解新的运算是列出方程的关键。 基础巩固L达标闯关 卡B多多E 1.若代数式2(4x-3)的值等于10，则x的值为 2.若关于x的方程2(x-1)-=0的解是3，则a的值为 3.若单项式5x2y与)y是同类项，则m的值为(） A.2 B.3 C.4 D.5 4.若多项式2x-3y+4+3hx+2y-k合并同类项后的结果不含y项，则k的值为() A号 B.0 c D.4 5.解下列方程： (1)2(x-1)+1=0; (2)5(y-1)-2(y-3)=0: (3)1-3(8-x)=-2(15-2x): (4)(2x-1)-3(x+2)=2(2x-9)。 6.代数式5(2y-7)的值比2(3y+4)的值小3，求y的值。 99 数学 七年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 7.某校积极推进“阳光体育”工程，在七年级11个班中开展篮球单循环比赛（每班需进 行10场比赛)。比赛规定：每场比赛必须分出胜负，胜一场得3分，负一场得-1分。某班完 成所有比赛后只得14分，那么该班胜、负场数分别是多少？ 8.(1)x取何值时，代数式2x+3(2x-1)与(x+1)-16的值互为相反数？ (2)k取何值时，关于x的方程2(2x-3)=1-2x与8-k=2(x+1)的解相同？ 9.观察下列一组具有特殊形式的方程的解和方程各项系数之间的联系： x+号0的解为=7，而-号分1：2+号0的解为=子，而-号身-2…。 若设这种类型方程的一般形式为ac+b=0(a,b为常数，且a≠0)。 (1)请依据发现的方程的解和方程各项系数之间的关系，写出方程ax+b=0(a≠0)的解。 (2)我们将上述类型的方程x+b=0定义为“和谐方程”。请继续探究下列问题： ①方程-3x号-0是不是“和谐方程？请说明理由。 ②若a=-1,有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明 理由。 中考链接©真题演练 10.(2024·新疆)解方程：2(x-1)-3=x。 @ 一元一次方程 第五章 一元一次方程的解法（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 解方程：5x--2=1+2x 3 2 【分析】依据解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化 为1求解即可。 【解答】去分母，得2(5x-1)-12=3(1+2x)。 去括号，得10x-2-12=3+6x。 移项、合并同类项，得4x=17。 系数化为1，得子 【点拨】去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项。一般 地，如果分子是多项式，要把分子作为一个整体加上括号。 基础巩固)达标闯关 1.代数式-】2my2与3xy34是同类项，则m,n的值分别为 2.在公式S=】(a+b)h中，已知S=16,=3,h=4,则b= 3解方程号2。学，下列去分母后变形正确的是() 2 A.2x-2x-1=6-3(x+1) B.2x-(2x-1)=6-3x-1 C.2x-2x+1=1-3x-3 D.2x-2x+1=6-3x-3 4.已知方程5+L-7x+5-1和关于x的方程2x-0的解相同，则a的值是() 23 A.2 B.3 C.4 D.8 5.解下列方程： I)分111 (2)y1=3-42 2 5 9 0 口数学 七年级上册（北师大版） 能力提升钟综合拓展 6.已知关于x的方程”=+弩与号-3x-2的解互为倒数，求m的值。 3 2 7.定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”。 例如：方程2x-1=2和2x-1=0互为“成双方程”。 (1)请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否互为“成双方程”。 (2)若关于x的方程}+骨与方程3-2=4互为“成双方程”，求m的值。 (3)若关于的方程20-D与205413+6互为成双方程”，求关于y的方程 20250+2)+1=3y+k+6的解。 1 中考链接©真题演练 -:多 8.(2023衢州)小张在解方程7=4-1+1时，第一步出现了错误： 3-6 解：2x7x=(4x-1)+1, (1)请说明小张的错误之处。 (2)写出你的解答过程」 @数学 七年级上册（北师大版） 点，N是线段BP靠近点B的三等分点，MP号AP ∠B0C=91°。1.解：(1)45°(2)a(3) 8,P号Bn2.M-MP-P=6。(2)MN的长不会 45°(4).∠AOC=∠AOB+∠B0C,∠A0B=Q,∠B0C= B,.∠A0C=Q+B。OM是∠AOC的平分线， 发生改变。理由：设点P表示的有理数是a(a>-6且 a≠3)。当-6<a<3时（如图1），AP=a-(-6)=+6,BP ∠A0M=∠C0M=号(aB)。∠M0B=∠A0B-∠A0M= 3-a。M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段 BP靠近点B的三等分点，Mn号A严号(a+6,Nn &-9_E。0N平分∠B0C,∴.LB0N=号∠B0C 22 子号3-a小，N=MP=6.当3时（如图 B.∠0N=∠M0B+∠B0N=34空-a。(5 ∠M0N的度数始终是∠A0B度数的一半。12.20° 2),AP=a+6,BP=a-3。M是线段AP靠近点A的三 13.C 等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，MP= 2角（第3课时） 子AP子a+6),MP-号BP号a-3).=MP-Np 1.∠+∠B或∠a-∠B2.B3.D4.解：如图 所示，∠y就是要作的角。 6。综上所述，点P在射线AB上运动（不与点A,B 重合)的过程中，MN的长为定值6.13.414.解： (1)点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32，A, B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30。AB=2- (-4)=6,AC=32-(-4)=36,.线段AB与AC的比值为 6:36=1:6。(2)由数轴得，DF=12-0=12,:当点A 与点D上下对齐时，点B,C恰好分别与点E,F上下 对齐，：DE与DF的比值等于AB与AC的比值，.DE= 第4题答图 1DF=2。:x=2。 3多边形和圆的初步认识 2角（第1课时) 1.多边形同一线段封闭平面2.无数一 条弧和经过这条弧的端点的两条半径3.D4.D.5 1.2307243202.18045901353.B 67.5°，112.5°。6.5个。四边形可分割成2个三角形 4.B5.A6.D7.解：(1)以点B为顶点的角 即(4-2)个三角形，五边形可分割成3个三角形，即 有∠ABC,∠ABD,∠DBC,共3个。(2)以射线BA (5-2)个三角形，六边形可分割成4个三角形，即 为边的角有∠ABE,∠ABC。(3)以D为顶点、DC (6-2)个三角形，图4中的七边形可分割成(7-2)个 为一边的角共2个，分别是∠BDC,∠EDC。(4)不 是同一个角，因为这两个角的顶点不同，∠ABC的顶 三角形，据此可归纳出n边 点是B,∠ACB的顶点是C。组成角的两条射线也不 形可分割成(n-2)个三角 同，∠ABC的两边为射线BA,BC,∠ACB的两边为 形。7.解：到点A的距离 射线CB,CA。8.解：(1)由题意得∠B0N=76°， 小于2cm,且到点B的距离 ∠C0N=46°，∴.∠B0C=∠B0N+∠C0N=122°。： 不小于2cm的所有点如图所 ∠A0B=32°，.∠A0C=∠B0C-∠A0B=90°。(2)： 示。 8.240° 9子8 ∠A0N=∠A0C-∠C0N=90°-46°=44°，∴.射线0A在北 第7题答图 10.C 偏东44的方向上。9.解：(1)图1中有2条射 第五章 一元一次方程 线，则角的个数为2x(2-1)=1(个)：图2中有3条射 2 1认识方程 线，则角的个数为3x(31=3(个)：图3中有4条射 1.4x-3=22.(1+3.5)x=270(或4.5x=270)3 2 3x+17=1884.D5.B 线，则角的个数为4x4-山=6（个）。(2)由前三问 6. 2 (1)=18 (1)3(2x-1)=3x+1 类推，角内有n条射线时，则共有(n+2)条射线，则 (2)x= 4 (2)4(x+2)=5(x-2) 角的个数为m+l+2个。10.108°11.C12.A 3 (3) 2x+1_5x-1=1 (3)x=-3 3 6 2角（第2课时） 1.252.50°3.1354.10°或130°5.B6.C 7.解：设安排x名工人生产镜架，则(20-x)人 7.B8.A9.解：：∠AOD=∠AOB+∠BOC+ 生产镜片，根据题意得方程2×40x=60(20-x)。8.C ∠C0D,∠A0B=35°，∠B0C=50°，∠C0D=21°，. 9.B ∠A0D=35°+50°+21°=106°。0E平分∠A0D, 2一元一次方程的解法（第1课时） ∠A0E=∠D0E=7∠A0D=53.10.解：∠1+∠2= 1.x等式性质1[或等式两边都加（或减）同一 90°，∠2=44°，∴.∠1=46°。又：∠A0E=180°， 个代数式，所得结果仍是等式]2.2等式性质2 ∠B0D=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°。又.0C平分 [或等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的 ∠B0D,∠B0C=1∠B0D=45°。LA0C=∠1+ 数)，所得结果仍是等式]3.4等式性质2[或等 2 式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所 参考答案与提示 得结果仍是等式]4.a5.D6.B7.A8.C9. (1)x=4(2)y=610.解：设小李的年龄为x岁时， 36m=}。7解：（①不是互为“成双方 小李叔叔的年龄是他年龄的2倍，则28+x=2x。解得 程”。理由：解方程4x-(x+5)=1,得x=2。解方程-2y- x=28。答：小李的年龄是28.11.A12.解：设该 y=3,得y=-1。.x+y=2+(-1)=1≠2，.∴.方程4x-(x+5)= 客车的载客量为x,根据等量关系，列出方程，得4x+ 1与方程-2y-y=3不是互为“成双方程”。(2)解方程 30=5x-10。方程的两边都分别加上+10，-4x,得30+10= 1 5x-4x。解得-40。答：该客车的载客量为40人。 +号-l,去分母，得3+2m6。解得x-6-0。解 3 2一元一次方程的解法（第2课时) 方程3x-2=4,得x=3。:关于x的方程号x+胥1与 1.62.53.A4B5.C6.D7.(1)3 方程3x-2=x+4互为“成双方程”，.6-2m+3=2。解得 3 （2)=6(3)11(4)y=号8.解：由题 m=号。(3)解方程2025-1-0，得-2025。 9 意，得-2x+3+5x-6=12。移项，得5x-2x=12-3+6。合 并同类项，得3x=15。系数化为1，得x=5.9.解： 2025-10与2025+1=3+k互为“成双方程”， (1)）解方程2-6=4，得x=5。关于x的方程3x-受 2025+1=3xW的解为x=2-2025=-2023。~关于y 1 0与方程2x-6=4是“友好方程”，.关于x的方程3x- %=0的解为x=-5.3x(-5)-%=0。m=-30。(2) 的方程202+2)+1=3y6+6可变形为202+2+ 1=3(0+2)+h,令y+2=z,则原方程转化为关于z的方 :某“友好方程”的一个解为n,.“友好方程”的另 程：2025+1-3：林。依据已知可得，方程2025+1 1 一个解为-n,:n-(-n)=6或-n-n=6。∴.n=3或n=-3。 *10.解：(1)设0.68=x,0.68=0.686868…,∴x= 0.686868…。方程两边同乘100，得100x=68.686868 3+格与2025-1=0互为“成双方程。：方程205 ，100t-x=68。解得X-8。于是0.6868 99。(2)根 -1-0解为-205，方程20+1=3影+6的解：= 据题意，得方程10x-x=m。解得x=10° 11.4 -2023。y+2=-2023,即y=-2025。∴.关于y的方程 12.213.39 2025Gy+2)+1=3)+6+6的解为y=-2025.8.解： 1 2一元一次方程的解法（第3课时） (1)去分母时，常数项漏乘了。(2)去分母，得2× 7=(4x-1)+6。去括号，得14x=4x-1+6。移项、合并 1.22.43D4.C5)=7 (2)y= 同类项，得10=5。系数化为1，得x= (3)x7(4)x=号6解：由题意得52 3一元一次方程的应用（第1课时）】 7)=2(3y+4)-3。去括号得10y-35=6y+8-3。移项、合 并同类项，得4y=40。系数化为1，得y=10.7.解： 34 1.28m,15m2. 4-】3C4.解： 设该班胜x场，则该班负（10-x)场。3x-(10-x)=14。 设小的地块面积为xm2,则x+3x=20。解得x=5.3x= 解得x=6.10-x=4。答：该班胜6场，负4场。8. 15。答：小杨的爷爷开垦的两块地的面积分别为5m2 解：(1)由题意，得2x+3(2x-1)=-[(x+1)-16]。去 和15m2。 括号，得2x+6x-3=16-x-1。移项、合并同类项，得 5.解：设能加工成这种圆钢xm,则200 8 9x=18。系数化为1，得x=2。(2)将方程2(2x-3)=1- 2x去括号、移项、合并同类项，得6=7。系数化为1， =94。解得19。答：约能加工成这种圆 得x=名。关于x的方程2(2-3)=1-2x与8-6-2+ 钢199m。6.解：设天头长为6xcm,地头长为4xcm. 则左、右边的宽为xcm。根据等量关系，列出方程， ）的解相同，8-=2x名+。解得=号。9解： 得100+(6x+4x)=4×(27+2x)。解这个方程，得x=4。进 30 而6=24。因此，边的宽为4cm,天头长为24cm。 ()x=b-a。(②)①方程-3x号-0是“和谐方程。 7.解：由于倒置前、后瓶子中水的体积不变，所以 可得等量关系：倒置后瓶子中水的体积（即倒置前瓶 理由：方程-3x-9=0的解为=-3。 39 2.-2 子中水的体积)+倒置后空瓶部分的体积=1256cm3。 21 设倒置后水的高度为xcm(因为瓶子形状上小底大， (-3),方程-3x-号-0是“和谐方程”。②若=-1， 所以x>15),则4·T15+42·T·(30-x)=1256。解得 x≈20。答：这时水的高度约为20cm。8.解：(1) 没有符合要求的“和谐方程”。理由：假设若a=-1, 第5节套管的长度为50-4×(5-1)=34(cm)。(2)第 有符合要求的“和谐方程”，那么-x+b=0为“和谐方 10节套管的长度为50-4×(10-1)=14(cm)。设每相邻 程”，则方程-x+b=0的解为x=b-(-1)=b+1。而方程-x+ 两节套管间重叠的长度为xcm,根据题意，得(50+ b=0的解为x=b。显然假设不成立。.当a=-1,没有 46+42+…+14)-9x=311,即320-9x=311。解得x=1 符合要求的“和谐方程”。10.解：去括号，得2x- 答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm。9.解： 2-3=x。移项，得2x-x=2+3。合并同类项，得x=5。 (1)第一次操作后，剩余长方形的两边长分别为， 2一元一次方程的解法（第4课时】 2-a。(2)1<a<2,∴.心2-a。.第二次操作后剩余的 1.0,22.53.D4.A5.(1)x=10(2) 长方形的两边长分别为2-a,2a-2,由题意知，这两