第三章 3 探索与表达规律-【新课程能力培养】2026-2027学年七年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

整式及其加减 第三章 探索与表达规律（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题观察下列关于自然数的等式： 32-4x12=5,① 52-4x22-9,② 72-4×32=13,③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92-4× 2= (2)写出你猜想的第n个等式。（用含n的代数式表示） 【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始的连续奇数的平方，减数是从1开始的 连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可。 【解答】(1)第四个等式：92-4×42=17。 (2)第n个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1。 【点拨】此题考查探索与表达含有数字的一系列等式的变化规律，关键在于找出每一组 等式的左边和右边代数式与自然数n之间的联系，并用含n的代数式表示。 基础巩固飞达标闯关 L按规律排列的一系列数：号，手，各，片。，则第以个数是 (用含n的 代数式表示)。 2.按规律排列的一系列单项式：y2,-2xy3,3y4,-4y,…，则第2025个单项式为 3.仔细观察下列等式：第一个：22-1=1x3;第二个：32-1=2×4；第三个：42-1=3×5；第 四个：52-1=4×6；第五个：6-1=5×7；…；这些等式反映出自然数间的某种运算规律。设 n(n≥1)表示自然数，则第n个等式可表示为 4.如图是由等边三角形组成的一组有规律的图案，第1个图案中有6个等边三角形，第 2个图案中有10个等边三角形，第3个图案中有14个等边三角形，…。按此规律，第n个 图案中有 (用含n的代数式表示)个等边三角形。 第1个第2个 第3个 第4个 第4题图 71 数学 七年级上册（北师大版） 5.如图所示，各正方形的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，“◆”位置的数是 第5题图 6.以下是一组按规律排列的多项式：a+b,+b2,a+b3,a+b4,d+b5,…,其中第n个 多项式是（) A.a"tb" B.a+b" C.a2+bm D.2+b 7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍， 第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍，…， 按此规律拼下去，第9个图案用的木棍根数是() A.41 B.44 C.45 D.51 图1图2 图3 图4 0AA2 第7题图 第8题图 8.如图，数轴上O,A两点的距离为3，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A,O的中点A2处，第3次从A2点跳动到 A,0的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,·,An(n≥3，n是整数) 处，那么线段OAn的长度为() A是 c多 D.、3 能力提升睡综合拓展 9.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形拼接而成的。 第1个图案有4个等边三角形和1个正方形；第2个图案有7个等边三角形和2个正方 形；第3个图案有10个等边三角形和3个正方形； 图1 图2 图3 图4 第9题图 (1)依此规律，第n(n为正整数)个图案有多少个正方形和等边三角形？（用含n的 代数式表示) (2)当n=2026时，正方形和等边三角形的个数共有多少个？ 整式及其加减 第三章 (3)若正方形和等边三角形的边长为1，求第10个图形中所有线段长度的和。 中考链接©真题演练 -上ss 10.(2025·河南)观察2x,4x2,6x3,8x4,…,根据这些式子的变化规律，可得第n个 式子为 11.(2024.雅安)如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠 放在一起后的总高度H与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字 母)：①杯子底部到杯沿底边的高h,②杯口直径D,③杯底直径d,④杯沿高a。请选用适 当的字母表示H与n之间的关系： ●●● ●●●●● 图1图2 图3 图4 第11题图 第12题图 12.(2025·重庆)按如图所示的规律拼接图案，其中第1个图中有4个圆点，第2个图 中有8个圆点，第3个图中有12个圆点，第4个图中有16个圆点，…，按照这一规律，第 6个图中圆点的个数是() A.32 B.28 C.24 D.20 13.（2025·绵阳)观察下列单项式：-y,xy3,-xy,xy2,…,探究发现其中的规律， 你认为从左到右第15个单项式是() A.-x5y27 B.-x15y2 C.x7 D.x329 14.(2025·乐山)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图1~4是这类物质 前四种化合物的分子结构模型图，第1种化合物中有4个氢原子，第2种化合物中有6个氢 原子，第3种化合物中有8个氢原子，第4种化合物中有10个氢原子，…，按照这一规律， 第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是() ●碳原子 ○氧原子 。氢原子 图 图2 图3 图4 第14题图 A.18 B.20 C.22 D.24 内 数学 七年级上册（北师大版） 探索与表达规律（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题任意写一个四位数，这个数能否被9整除，只要看这个数各个数位上的数字之 和能否被9整除，请你说明其中的道理。 【分析】不妨设四位数为1000a+100b+10c+d,由题设知要看这个数各个数位上的数字之 和能否被9整除，故我们需要将这四位数表示为含有9的倍数的整式与(a+b+c+d)的代数式 的形式，因为9的倍数的整式一定能被9整除，所以只要判断含有(a+b+c+d)的项能否被9 整除，问题即可解决。 【解答】设这个四位数千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,则 这个四位数可表示为1000a+100b+10c+d,1000a+100b+10c+d=(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+ d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)。 因为9(111a+11b+c)一定能被9整除，所以只要(a+b+c+d)能被9整除，这个四位数就一 定能被9整除。 【点拨】此题给出了判断任意整数能否被9（或3）整除的一般方法，即只要将该数的各 个数位上的数字相加，看其和能否被9（或3）整除。 基础巩固达标闯关 1.若一个正有理数除以5余2，那么这个正有理数可表示为 2.下列各式是个位数字为5的整数的平方运算：152=225；252=625；352=1225；452= 2025:552=3025;652=4225;·。观察这些数的规律，试利用该规律直接写出99952的运算 结果： 3.取一个自然数，若它是奇数，则乘3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则，经 过若干步的计算最终可得到1。这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的。 例如：取自然数5，最少经过下面5步运算可得1，即53+1162824222 1。如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的最小值为 4.如图，某链条每节长为2.8cm,每两节 2.8cm I cm 链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按 ⊙⊙ ⊙6⊙.⊙⊙⊙-⊙⊙ 1节 2节 50节 这种连接方式，50节链条总长度为 cm. 第4题图 5按一定规律排列的式子：一号：羊，若，营，后…，则第n个式子为() x A.-2 B C.(-1)nx n D-I)罗 74 整式及其加减 第三章 能力提升螂综合拓展 6.如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始 按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…。 (1)“17”在射线 上。 (2)请任意写出三条射线上数字的排列规律。（可以用数字在射线上排列的位置来表 示数字的排列规律，例如：数字7排列在射线OA的第2个位置，即可用适当的含有2的等 式表示数字7) B (3)数字“2026”在哪条射线上？在这条射线上的第几个位置上？ C 八612 10 D 第6题图 7.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算 小方格中的数据是由 其所对的两个数相乘 方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘 得到的，如2=1×2 法和简单的加法运算。淇淇受其启发，设计 20▣ 4+9=13, 25☐ 了如图1所示的“表格算法”，图1表示 满十进一 132x23,运算结果为3036。图2表示一个 三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据 图1 图2 被墨迹覆盖，根据图2中现有数据规律，请 第7题图 你推断出图2中表示的这个三位数与两位数相乘的运算结果。（运算结果用含α的代数式表示） 中考链接©真题演练 -。g多 8.(2025·安徽)对于正整数n,根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整 数m:若余数为0，则m=号；若余数为1，则m=2m;若余数为2，则m=n+1。这种得到m的 过程称为对n进行一次“变换”。对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此 类推。例如，正整数=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的 数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除 以3的余数为0，由9：3=3知，对4进行三次变换得到的数为3。 (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为 (2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 75数学 七年级上册（北师大版） 式=82+6x,当x=-2时，原式=8×(-2)2+6×(-2)=20。 2原式=，当3，-1时，原式=分月 (-1)23 。 8.解：原式=-6x2-xy2,当x=-2,y=-3时， 原式=-6×(-2)2-(-2)×(-3)2=-6.9.解：原式=-92， .22=(-2)2,.计算结果仍然正确。10.解：.(x2-2x 15)-(2-2x-8)=x2-2x-15-x2+2x+8=-7<0,.∴x2-2x-15< x2-2x-8.11.解：(1)s=700(a-1)+(881a+2309)= 1581a+1609。(2)a=11时，s=19000.12.解：由 题意得m+n=2,mn=-3,原式=6(m+n)-11mn=45。 13.解：B公司。理由：第一年年薪：A公司为50000 元，B公司为25000+25250=50250（元）；第二年 年薪：A公司为51000元，B公司为25500+25750= 51250(元)；第n年年薪：A公司为[50000+ 1000(n-1)]元，B公司为[25000+500(n-1)]+ [25000+500(n-1)+250]=[50250+1000(n-1)] (元)。：[50250+1000(n-1)]-[50000+1000(n-1)] =250(元)，B公司的年薪永远比A公司多250元 14.解：(1)根据题意，得这套住房的总面积是 (2+4+5)×a+(5-1+1)×b+(3+2)×(4-1)=(11a+5b+15)m2 答：这套住房的总面积是(11a+5+15)m2。(2)当 a=5.b=4时，11a+5b+15=11×5+5×4+15=55+20+15=90 (m)。答：小王家这套住房的具体面积为90m。(3) 选择乙公司比较合算。理由：甲公司的总费用：4a× 240+(5a+5b)×220+9x220+2ax180+6×150=960a+1100a+ 1100b+1980+360a+900=(2420a+1100b+2880)元： 乙公司的总费用：(11a+5b+15)×210=(2310a+1050b +3150)元。2420a+1100b+2880-(2310a+1050b+ 3150)=110a+50b-270,a>b>2,.50b>100,110a> 220。.110a+50b-270>0。∴.选择乙公司比较合算。 15.y2-116.1617.C提示：x-y-z-m-n=x-y-z-m- ,故说法①正确。要使其运算结果与原多项式之和为 0,则运算结果应为-x+y+z+m+n,由x>y>z>m>n可知， 无论怎样添加绝对值符号，结果都不可能出现-x+y+z+ m+n,故说法②正确。当添加一个绝对值时，共有4 种情况：lx-y-z-m-n=x-y-z-m-n,x-y-z-m-n=x-y+ z-m-n,x-y-k-ml-n=x-y-z+m-n,x-y-z-lm-nl=x-y- z-m+n；当添加两个绝对值时，共有3种情况：x--k- ml-n=x-y-z+m-n,lx-yl-z-lm-nl=x-y-z-m+n,x-ly-zl- lm-nl=-y+-m+n。以上7种情况中，有两对运算结果 相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不正确。 2整式的加减（第3课时）】 12r2h25+4a-33子y2462 7x+25.-16.C7.B8.D9.C10.C11.解： 原式=-6ab+3a-3b=-6ab+3(a-b),当ab=-1,a-b=4时， 原式=18.12.解：任务1：①乘法对加法的分配律 ②第二步开始出现错误，原因是去掉括号时，括号 里的第二项没有变号。任务2：原式=15xy+4xy2 (4xy2+12x2y)=15x2y+4xy2-4xy2-12x2y=3.x2y。当x=-2,y= 3时，原式=3×(-2)×3=36.13.解：(1)依题意 得(2a+3b)-(a-b)=2a+3b-a+b=(a+4b)m。(2)护栏 的总长度为2(a+4b)+(2a+3b)=(4a+11b)m。答：护栏 的总长度是(4a+11b)m。(3)由(2)知，护栏的 总长度是4a+11b,当a=30,b=10时，所需费用为 80(4a+11b)=(4×30+11×10)×80=18400(元)。答：建 此车场所需的费用是18400元。14.解：(1)(1， 1 -2,3)(2)依题意，得有序实数对(a,2,-1)的 附属多项式为a2+2x-1,有序实数对(-3，-2,4)的 附属多项式为-3x2-2x+4,则(ax2+2x-1)-(-3x2-2x+4) =x2+2x-1+3x2+2x-4=(a+3)x2+4x-5。·.两个多项式的差 中不含二次项，.a+3=0,即a=-3.15.解：第1次 操作后得到整式串m,n,n-m;第2次操作后得到整 式串m,n,n-m,-m；第3次操作后得到整式串m, n,n-m,-m,-n;第4次操作后得到整式串m,n, n-m,-m,-n,-n+m；第5次操作后得到整式串m, n,n-m,-m,-n,-n+m,m;第6次操作后得到整式 串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n;第7次操作 后得到整式串m,n,n-m,-m, -,-n+m,m,n; n-m。归纳得以上整式串每6次一循环，而每6个整 式和为m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0。第2025次 操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,…, m,n,n-m,共2027个整式。2027÷6=337…5， ∴.第2025次操作后得到的整式串之和等于最后五项 之和，即m+n+(n-m)+(-m)+(-n)=n-m。16.3456 17.解：【理解定义】不是【建模推理】(1)b c=a(2)能被11整除。设一个“极差数”为abc (a,b,c为正整数)，..b-c=a,b=a+c。..abc=100a+ 10b+c=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c= 11(10a+)。a,b,c为正整数，.10a+c为正整数， .11(10a+c)能被11整除。 3探索与表达规律（第1课时）】 2 1.2n+3 2.2025x20y20m3.(n+1)2-1=n(n+2) 4.(4n+2)5.1586.B7.D8.C9.解：(1) 观察所给图形可知，第1个图案中正方形的个数为1， 等边三角形的个数为4=1×3+1；第2个图案中正方形 的个数为2.等边三角形的个数为7=2×3+1：第3个图 案中正方形的个数为3，等边三角形的个数为10=3× 3+1:…:.第n个图案中正方形的个数为n,等边三 角形的个数为(3n+1)。(2)当n=2026时，n+3n+1= 4×2026+1=8105(个)。(3)：正方形和等边三角形 的边长为1，根据图形的变化规律，我们可以推出各 个图形的长度如下：第1个图形中线段的长度之和为 1×8+4=12;第2个图形中线段的长度之和为2×8+4= 20;第3个图形中线段的长度之和为3×8+4=28；…； ∴.第n个图形中线段的长度之和为(8n+4)。当n=10 时，8n+4=8×10+4=84.10.2nx11.H=h+an 12.C13.B14.B 3探索与表达规律（第2课时）】 1.5n+2(n为正整数)2.999000253.34. 91 提示：排列规律为2.8+(2.8-1)(n-1)。5.C6 解：(1)OE(2)射线OA上数字的排列规律：6n- 5:射线OB上数字的排列规律：6n-4；射线OC上数 字的排列规律：6n-3；射线OD上数字的排列规律： 6n-2;射线0E上数字的排列规律：6n-1;射线0F上 数字的排列规律：6n。(3)在六条射线上的数字规律 中，2026÷6=337…4，则“2026”在射线0D上。 当6n-2=2026时，n=(2026+2)÷6=338,.2026 在射线OD上的第338个位置上。7.解：设这个三 位数与两位数分别为100x+10y+z和10m+n,则由图2， 得mz=20,nz=5,y=2,nx=0,由此推出z=5,n=1, m=4,y=2,=。20左边的数是8,20右边的“口”表 示4，..a上面的数应为4a。..运算结果是(4a+1)a25 且这个运算结果用代数式可以表示为1000(4a+1)+100a+ 参考答案与提示 20+5=4100a+1025.8.(1)2(2)11提示：：由：两点之间，线段最短。6.解：方法不唯一。作 第二次变换后的结果为1，通过反向推导可知，第 法：①作射线OF;②在射线OF上截取OA=2a;③在 次变换后的结果可能为0，分，3，而由题意知，三 线段OA上截取AB=b;线段OB就是所求。作图略。 7.解：(1)(2)(3)如图所示。(4)长短相等。 种情况的变换得到的结果均为正整数，0，弓不符合 8.解：点N为PB的中点，NB=14cm,PB= 2NB=28cm。又AB=80cm,∴AP=AB-BP=80-28=52 题意。第一次变换后，得到的数一定是3。综上所 (cm)。9.解：(1)如图所示，线段AB,AC即为 述，当号-3时，n9符合题意；当2n=3时，=号（不， 所求。(2)AB=a+b,AC=b-a,M,N分别是AB, 符合题意)；当n+l=3时，n=2符合题意。.符合题意 AC的中点，4=4B,AN=子4C。MN=7(4C+ 的n的值是9或2。 ★问题解决策略：归纳 AB)-](atb+b-a)-b. 解：1)3×4x5x34x5-3×45-10 公路1 P B 10.2)aa+1x7n(a+1)-2aa+1D。(3) A C D 号ada+1x2aa+1xa(a+1)=2atl)月。 第5题答图 第7题答图 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线（第1课时） 7 A 1.64射线AC、射线BC、射线BA、射线CA 第9题答图 32.无数条射线3.2经过两点有且只有一条直 线4.D5.如图所示。6.如图所示。7.解： AM七B M B C (1)A,B,P三点共线。(2)A,B,C三点不共线。 图1 图2 (3)点D是直线AB外一点。(4)点C在直线PD上 第10题答图 或直线PD过点C。(5)点P在线段DC的延长线上。 (6)直线DC与直线AB相交于点P。(7)线段AC与 10.解：如图1，当点C在线段AB上时，AB= 线段BD相交于点F或直线AC与直线BD相交于点 8cm,BC=4cm,.AC=AB-BC=4cm.又.·点M为AC F。8.解：(1)最少1个，交点的最多个数为1+2= 的中点，AM=4C=2cm如图2，当点C在线段AB 3。(2)1+2+3=6。(3)1+2+3+4+5=15;1+2+3+…+ 的延长线上时，AB=8cm,BC=4cm,·∴AC=AB+BC= (n-l)=7nm-I0。 12cm。又点M为AC的中点，AM=AC=6cm 综上所述，AM的长为2cm或6cm。11.解：(1)》 ①2②2(2)2(3)线段MN的长度仍然等于2。 理由：如图，设B0的长度为a,N0=2B0=号。又 (1) (2) (3) AB=4,A0=AB+B0=4+a。点M为A0的中点， 第5题答图 M0=740=45,MN=W0-N0=-2.12解：D V ①若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6,BP= A BC D B/ D 3。:M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP /c B C 靠近点B的三等分点，：MP=名AP=4,NP=2BP=2。 3 1条 4条 6条 .MN=MP+NP-6。 第6题答图 A M B N O 9.解：(1)6(2)mm-1 理由：设线段上 2 第11题答图 有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m-1)+(m- 2)+(m-3)+…+3+2+1,所以倒序排列有x=1+2+3+…+ A M -6 0 (m-3)+(m-2)+(m-1)。所以2x=m(m-1)。所以x= 图1 m四-山。(3)28理由：把8名同学看作直线上的 2 M 8个点，每两名同学之间的一场比赛看作一条线段， BN P -6 0 3 直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数， 图2 因此一共要进行比赛8x(8-山-28（场）。 2 第12题答图 1线段、射线、直线（第2课时） ②6提示：若点P表示的有理数是6（如图2）， 1.3.52.13.C4.D5.解：如图所示。理 则AP=12,BP=3。.:M是线段AP靠近点A的三等分