第二章 3 有理数的乘除运算-【新课程能力培养】2026-2027学年七年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

有理数及其运算 第二章 有理数的乘除运算（第1课时) 自主导学Q典例精析 - 例题在数-5,1，-3,5，-2中任取三个数相乘，其中最大的积是a,最小的积是b。 求a,b的值。 【分析】求出任意三个数的积，找出最大的积和最小的积，即可求出α，b的值。 【解答】共有以下10种情况： (-5)×1x(-3)=15,(-5)×1x5=-25, (-5)×1×(-2)=10,(-5)×(-3)×5=75, (-5)×(-3)x(-2)=-30,(-5)x5x(-2)=50, 1×(-3)×5=-15,1×(-3)×(-2)=6, 1x5×(-2)=-10,(-3)×5×(-2)=30 最大的积是75，最小的积是-30，即a=75,b=-30。 【点拨】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是求出符合条件的10种情况，然后再 比较10个乘法算式的积的大小，从而确定积的最大值和最小值。 基础巩固)达标闯关 1.几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由 决定。当负因数有 个时，积为负：当负因数有 个时，积为正。 2.在横线上填上适当的数。 -1号x 2)0x1号x(-24) (3)(-2)×()=-1; (4)(-3)×(-2)×()=-6: 3.已知a与6互为倒数，其中=2x(-3)×3, 则3a-2b的值为 4.如图，数轴上A,B两点所表示的两数的() 才十0十十含→ A.和为正数 B.和为负数 第4题图 C.积为正数 D.积为负数 5.如果口x}1,则口”内应填的数为() A多 B号 c-号 6.四个有理数的积是负数，则这四个有理数中负因数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 33 口数学 七年级上册（北师大版） 7.下列说法正确的是() A.0和1的相反数都是它本身 B.2026的倒数是2026 C2026的相反数是2026 D.2026的倒数是-2026 8.计算： )(-16x2翠： 2)×x-g: 3)x1.2x24 (4)(-125)x-9x(-4): (5)(1-2)×(2-3)×(3-4)×…×(19-20)。 能力提升坤综合拓展 一P多 9.某品牌的太阳能热水器在夏季的一天中午12点时水的温度是55℃，下午每小时下降 0.8℃，求18点时水的温度。 10.一个数的倒数是-号，另一个数比这个数小？，求这两个数的积。 有理数及其运算 第二章 11.小张以每件32元的价格在批发市场购进30件T恤衫，在夜市利用三个晚上就销售 一空。针对不同的顾客，30件T恤衫的售价不完全相同。她计划以平均每件47元的价格售 出，将每件超过47元的钱数记为正，每件不足47元的钱数记为负，小张的记录结果如下表： 售出件数 售价1（元/件）》 ×3 +2 +1 请你帮小张计算出她售完这30件T恤衫后是赚了还是赔了，赚（或赔）了多少钱。 12.若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab,如2*3=4×2x3=24。 (1)求3*(-4)的值。 (2)求(-2)*(6*3)的值。 13.在1，-2,3，-4，-5中任取两个数相乘，最大的积是a,最小的积是b。 (1)求ab的值。 (2)若lx-al+ly+bl=0,求(-x-y)y的值。 中考链接©真题演练 -多 14.(2025·南通)计算(-2)×(-3)，正确的结果是() A.-5 B.5 C.-6 D.6 15.(2025·烟台)1-31的倒数是（) A.3 B C.-3 D.-1 3 35 口数学 七年级上册（北师大版） 有理数的乘除运算（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 数学课上，孙老师给同学们出了一道计算题：19×(-9)。 下面是小方、小杨两名同学的解法： 小方：原式=-359×9=-3231=-359=-1791 18 18 2 小杨：原式-11x(-9)-19x0-x9-171-7-171-8号-1792 181 。 (1)两名同学的解法中，谁的解法较好？ (2)请你写出另一种更好的解法。 【分析】(1)观察小方、小杨的解法，小杨先将19口转化为整数与分数和的形式，再 18 利用乘法对加法的分配律进行计算，从而使计算比小方的方法简便。 (2)把1)拆分成20-8，然后利用乘法对加法的分配律进行计算。 【解答】(1)小杨的解法较好。 (2)原式-208x-9)-20x(-9-8x(-9)-180+号-19 【点拨】本题考查利用乘法对加法的分配律进行乘法运算，将算式中的带分数恰当地拆 分成整数与真分数之差或之和的形式是解题的关键。拆分的原则是将整数部分尽可能凑成 10的倍数，真分数部分的分子尽可能小。 基础巩固达标闯关 1.若lal=5,b=-3,且a>b,则ab的值为 2观彩组数：2，-号一子号.名，“其中第50个数是 ,这50 个数的积是 3.利用简便方法计算： (1)(-4)×8×(-2.5)x0.1×(-0.125)×10: 1_2+0.4 (2)(-30)×23 6 有理数及其运算 第二章 (3)-69l5x8: 16 4-号+ 能力提升蹄综合拓展 一多与 4.下面是小李同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算。 逆用乘法分配律解题： 我们知道，乘法对加法的分配律是a(b+c)=ab+ac,反过来ab+ac=a(b+c)。这就是说，当 ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法对加法的分配律得到ab+ac=a(b+c),进而可使运 算简便。例如：计算-冬×23冬×7，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有冬，因 8 8 此逆用乘法分配律可得名23-×7=×23+17)=8×40=-25，这样计算就简便得多。 计算： (1)-29x588+28×588-9x588。 (2)-2026x号+2026x-9+2026x号 9 5.如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中A,B两点之间的距 离为2，B,C两点之间的距离为1。设点A,B,C所对应的数之和是m,点A,B,C所对应 的数之积是n。 (1)若以B为原点，写出点A,C所对应的数，并计算m的值。 (2)若以C为原点，计算m的值。 (3)若原点O在图中数轴上点A的右边，且A,O两点之间的距离为2.5，求m,n的值。 B C 第5题图 面 数学 七年级上册（北师大版） 6.某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量 与计划量相比有出入，下表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个）： 星期 二 三 四 五 六 日 产量 +10 -6 -8 +15 -12 +18 -9 (1)根据记录，求出前三天共生产多少个。 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (3)该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部 分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资。那么该厂员工这一周的 工资总额是多少？ 7.观察下列两个等式：5+}=5x}+4,6+号=6x号4。依据这两个算式的特征我们给出 一个新的定义如下：若对于数对(a,b),使等式a+b=ab+4成立，则称数对(a,b)是“4相 关数对”，则数对5，和6，号都是“4相关数对”。例如：2+(-2)=2x-2)44,所以数对 (2,-2)是“4相关数对”。 (1)判断数对(4,0)，(1,1)是不是“4相关数对”。 (2)一名同学在数对(m,n)和(-m,-n)都是“4相关数对”的条件下，得到下面两 条结论： 结论一：m和n互为相反数； 结论二：m和n互为倒数。 请你判断上述两条结论是否正确，并说明理由。 38 有理数及其运算 第二章 有理数的乘除运算（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1km,气温大约降低6℃。 若该地的地面温度为21℃，高空某处的温度为-39℃，求此处的高度是多少千米。 【分析】根据题意，此处的高度等于此处高空的温度与地面的温度之差除以每千米降低 的温度。 【解答】高度每增加1km,气温大约降低6℃，某地的地面温度为21℃，高空某处的 温度为-39℃，.该处的高度为(-39-21)：(-6)×1=10(km)。 【点拨】本题考查了有理数的混合运算在实际生活中的应用。根据题意列出算式是解题 的关键。此外，有理数乘除运算是同级运算，只含有乘除的运算时，按从左到右的顺序进行。 基础巩固达标闯关 L.用“>”或“<”填空。 (1)若a>0,b<0,c<0,则b+ 0 a 2)若a<0,b>0,c>0,则-_0。 2.下列说法中正确的个数是() ①0除以任何数都得0②倒数等于它本身的数是1③互为倒数的两个数的积的相 反数是-1④绝对值和倒数都等于它本身的数是1和-1⑤一个数与它的倒数之积是1 ⑥一个数与它的相反数之商是-1 A.1 B.2 C.3 D.4 3.-4的倒数与4的相反数的商为（) A.5 B.-5 c D.- 4.计算： (1)(-8)÷-4: (2)(-12.5):0.25; 3)(-6-号-专： (4)72×(-8)÷(-12); 39 口数学 七年级上册（北师大版） 5)3号2号-3g÷(-075: 5 (6)(-22.5)÷(-18)÷(-0.25); 0)1日名+86： 8)60+号-号(-2 5.下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。 计算：(-48)-36x-)。 解：原式=(-48)÷(-4)…第一步 =12。…第二步 问题：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出错？请说明理由。 (2)写出本题的正确解答过程。 6.某冷冻厂的一个冷冻室现在的温度是-2℃，王老师有一批食品需要在-28℃冷冻，并 且8h后食品不放入-28℃的冷冻室将会变质，如果冷冻机每小时能将冷冻室降温4℃，那么 王老师的这批食品是否会变质？为什么？ 西 有理数及其运算 第二章 能力提升螂综合拓展 7若a,6都是非零的有理数，那么品+片治的值是多少y 8,数学老师布置了一道思考题：“计算0号品+石号的值。”小杨和小李两名 同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题。 小杨的解法：原式-0号+石}-0+号0各号-0兮0 小李的解法：先求原算式的倒数号。名号引：0的值。 号06号÷0-号06号x-0=-203-5+12-0. 0号06号0 (1)你觉得准的解法更好？ 2)游你用自已客欢的方法计算：6号-号引。 中考链接©真题演练 一卡多多 9.(2025·天津)计算(-21)÷(-7)的结果等于() A.-3 B.3 c方 10.(2025·自贡)若(-4)×□=8，则口内的数字是() A.-2 B.2 C.4 D.-4 40参考答案与提示 轴上表示数x和-3的两点之间的距离为x-(-3)=x+ 为-3.5,5.5。 3。(2)ab6-a(3)原式=1+}号+ 3有理数的乘除运算（第1课时）】 1.负因数的个数奇数偶数2.(1)1(2)0 片++202s261-0号0。 11 (3)号(4)-13.-54.D5.D6.D7.B (4)①画出数轴如图1所示。利用数形结合思想方法可 知，当表示数x的点在-2与3之间移动时，x的最小 8.(1)-92(2)14(3)-35(4)-300 7 7 值为-2，最大值为3，x+2≥0，x-3≤0。.x-3+lx+ (5)-19.解：.0.8×6=4.8（℃），.55-4.8=50.2 2=x+2+[-(x-3)]=x+2+3-=5。.x-3引+lx+21的值是一个 (℃)。答：18点时水的温度是50.2℃。10.解：：一 固定的值5。②.x-3l+lx+21=7,由①结论可知表示x 的点不可能在表示-2和0的点之间，.表示x的点在 个数的倒数是-号，“这个数是-子。又：另一个数 表示-2点的左边。x-3引是表示x的点与表示3的点 的距离，x+21是表示x的点与表示-2的点的距离，如 比这个数小宁，另一个数是-子了。 。这两 图2可知，在表示-2点的左边，且满足lx-3引+lx+21=7 时.x=-3.10.39.99≤L≤40.0111.D 个数的积为训-×品 11.解：7×3+6x2+ 3×1+5×0+4×(-1)+5×(-2)=22(元)，.30×47-30×32+ lx+21→十一bx-31→ 22=472(元)。.赚了，赚了472元。12.解：(1) -3-2-10x1234 3*(-4)=4×3×(-4)=-48。(2)(-2)*(6*3)=(-2)* (4x6×3)=(-2)*(72)=4×(-2)×72=-576.13.解：(1) 图1 根据题意，知a=(-4)×(-5)=20,b=3×(-5)=-15,:.ab= 61 20×(-15)=-300。(2)由题意知x-201+y-151=0,则 x-20=0且y-15=0。.x=20,y=15。.(-x-y)y=(-20- -5-4 -3 -2-1012 3 4 5 15)×15=-35×15=-525.14.D15.B 图2 3有理数的乘除运算（第2课时）】 第9题答图 1.-152-6-513.(山-10(2)-7 2有理数的加减运算（第5课时） (3)-597 (4)-64.解：(1)原式=588×(-29+ 1.-42.213.D4.C5.(1)8(2)-1 3)12④)-106)52)-183)-4 289)-580.2)原式-2026x-号马号2026x 4)号 (-1)=-2026.5.解：(1)若B为原点，那么数轴 7.解：不能。理由：设向上爬行为正，向 上点A,C所对应的数分别是-2,1，m=-2+0+1=-1。 下滑行为负，则可得算式为(+0.5)+(-0.1)+(+0.42)+ (2)若C为原点，则点A,B所对应的数分别是-3， (0.15)+(+0.7)+(-0.15)+(+0.75)+(-0.2)+(+0.55)+ -1,m=(-3)+(-1)+0=-4。(3)原点0在点A的 (+0.48)=2.8(m)。2.8<3,蜗牛不能爬出井口。 右边，A,B两点之间的距离为2，B,C两点之间的 8.解：(1)29(2)方法1：周一比上周日的变化 距离为1，A,0两点之间的距离为2.5，.原点0在 量为4-0=4，周二比周一的变化量为-3-4=-7，周三比 B,C之间且到点B,C的距离都为0.5。..数轴上点 周二的变化量为-5-(-3)=-2，周四比周三的变化量为 A,B,C所对应的数分别为-2.5,0.5,0.5。m= 14-(-5)=19,周五比周四的变化量为-8-14=-22，周 (-2.5)+(-0.5)+0.5=-2.5,n=(-2.5)×(-0.5)×0.5=0.625 六比周五的变化量为21-(-8)=29，周日比周六的变化 6.解：(1)100×3+10-6-8=296（个）。答：前三天 量为-6-21=-27；∴.本周每天实际销售量比前一天的变 共生产296个。(2)18-(-12)=18+12=30（个)。答： 化量分别为+4，-7，-2，+19，-22，+29，-27。 产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个。(3) 方法2：星期一实际销售100+4=104(kg),星期二实 这一周多生产的总个数是10-6-8+15-12+18-9=8 际销售100-3=97(kg),星期三实际销售100-5=95 (个)，10x700+12×8=7096(元)。答：该厂工人这一 (kg),星期四实际销售100+14=114(kg),星期五实 周的工资总额是7096元。7.解：(1)对于数对 (4,0),4+0=4×0+4,.(4,0)是“4相关数对”； 际销售100-8=92(kg),星期六实际销售100+21=121 对于数对（1,1)，.1+1≠1×1+4，.(1,1)不是“4 (kg),星期日实际销售100-6=94(kg),本周每天实 相关数对”。(2)结论一正确，结论二错误。理由： 际销售量比前一天的变化量分别为+4，-7，-2，+19， 由(2)可知，m+n=m×n+4,-m+(-n)=(-m)×(-n)+4= -22,+29,-27。(3)由题意，列式为+4-3-5+14- mxn+4,则m+n=-m+(-n)=-(m+n),即m+n与它的相 8+21-6=17(kg)。答：本周实际销售总量与计划总量 反数-(m+n)相等，∴m+n=0。m和n互为相反数。 相比，具体增加了17kg。9.解：(1)2(2). mn≠1。m和n不是互为倒数。故结论一正确，结 表示-1的点与表示3的点重合，且两点之间的距离为 论二错误。 4,表示-1的点与折痕所经过的点之间的距离是2。 3有理数的乘除运算（第3课时）】 .折痕经过表示1的点。①.1-(5-1)=-3，.点D表 1.(1)<(2)>2.B3.C4.(1)32(2) 示的数为-3。②.数轴上A,B两点之间的距离为9」 表示1的点到点A的距离与表示1的点到点B的距离 50 (3)-10(4)48(5)-63 (6)-5 相等，都等于4.5，点A表示的数为1-4.5=-3.5，点 B表示的数为1+4.5=5.5。.A,B两点表示的数分别 (7）-11 (8)-石5.解：(1)第一步开始出错。 数学 七年级上册（北师大版） ·,·该算式是有理数的乘除混合运算，而乘、除运算是 15.216.D17.A 同级运算，运算按从左到右的顺序依次进行，.(-48) 16 36x号应先计算除法，再计算乘法。(2)(48)片 4有理数的乘方（第2课时）】 1.8.16×102.3.6×103.400000004.1.496 36x号}=48×6×-)-分。6解：这批食品不 5.3.75×1036.C7.B8.A9.解：2.3×10°￥ (2.5×103)=2300000×2500=5750000000=5.75×10 会变质。理由：依题意，得[-28-(-2)]÷(-4)=6.5 (kg)。答：胡夫金字塔总重约为5.75×10°kg。10, (h)。6.5<8,.这批食品不会变质。7.解：当a> 解：(1)9600000×150000=1440000000000=1.44× 0,b0时，合+合+曲=111=3：当a0,b0 a 102(t)。答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当 于燃烧1.44×102t煤所产生的能量。(2)1.44×102× 时，合++墙1-11-山：当0,60时，日+ a.b 8000=11520×10P=1.152×106(kWh)。答：(1)中 所得数量的煤大约可发出1.152×106kWh电。11. 岛l1-1=-l:当a0,b0时，员+岛+岛1 2.75×10412.C13.C 5 11=-1。综上所述，品+治+瑞的值为3或-1.8 有理数的混合运算（第1课时） 1.-18273.B4D5.)-196(2)4 解：（①）小李的解法更好。(2)先求原算式} 6音号号的倒数合品号号引的值。 (3)-7④)名(5)-30(6)136解： (1)7※(-3)=(7+2)x2-(-3)=9×2+3=21。(2)不相 1-3+2_2.-1-1_3+22 61474264+37×-42)=-7+ 等。理由：9※(-5)=(9+2)×2-(-5)=11×2+5=27 (-5)※9=(-5+2)×2-9=-6-9=-15,27≠-15。.9※(-5) 1 9-28+12=-14,故原式=409B10.A 与(-5)※9的值不相等。7.解：(1).+1lk2.5 1+1.4<2.5,101<2.5,-2.6>2.5,-21<2.5,.合格茶叶 4有理数的乘方（第1课时） 的袋数为2+3+3+1=9（袋），9÷10×100%=90%。.茶叶 1.-742.①③3.20262-20252=40514.D 的合格率为90%。(2)2×1+3×1.4+3×0+1×(-2.6)+1× 5.A6.B7.D8.C9.A10.(1)-216(2) (-2)=2+4.2+0-2.6-2=6.2-4.6=1.6(g),∴500×10+1.6= -3.375(3)256 5001.6(g)。答：这10袋茶叶的总质量为5001.6g。 625 (4)-725-16)号 11.解：(1)由题意可知，第1天截取后木棍剩余长 8解：（①原式%石-27=号-27=}。（2) 度为1了方(m):第2天裁取后木棍剩余长度为 2 [(-943y(-9)1小=}[(-9+27)(-9)]=2-[18 2 之号×宁分空(m:第3天截取后木程利余长度 (-9]3(-2)=号。931060C-ABD 为空之×空士×1号}3(m:第4天裁取后术 提示：30+10+20=60(min);观察表格中的数据，节目 A,C的演出人数相同，节目A彩排时长比节目C长 假利余长度为空了×空-×1-引女(am:第5 因此节目C排在节目A前面，节目B,D的彩排时长 相同，节目B的人数比节目D的多，因此节目B排在 天发取后木程利余长度为女分×空宁×1号分 ↓ 节目D前面，即当23位演员的候场时间之和为(10+ 2+1)×20+(2+1)×30+1×10=360(min)时候场时间最 (m。裁取的所有木棍总长度为1--员》(m。 小。 3232 11.解：原解题步骤从第一步开始出现错误。正 (2)由()可推出第n天截取后木棍剩余长度为m, 确的解答过程如下：原式=(-6)x了+(-6)x号-(-6× 第0天拔取后发取的所有木程总长度为1士 =-3-4+5=-2。 6 (m)。12.解：(1)①正确，理由：根据乘方的定 5有理数的混合运算（第2课时） 义，200个2相乘等于20。②正确，理由：2= 1.键盘显示器2.输人的数据计算的结果 2,22=4,2=8,2416,2=32,…,2"的个位数在2， 3.B4.(1)9x9+7=88;98×9+6=888;987×9+5=8888; 4,8,6四个数循环。200：4=50，.220的个位数字是 9876×9+4=88888;98765×9+3=888888。(2)1× 6。③正确，理由：.10是60个10相乘，即20个 9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5= 103相乘，也就是20个1000相乘，由乘方的定义 11111;12345×9+6=111111。(3)发现(1)中算 可得1000”。，22m是200个2相乘，也就是20个20相 式的规律为：若第一个乘数是n位数，最后结果就是 乘，即20个1024相乘，..220=10242°。.1024>1000， 888:(2)中算式的规律为：若第一个乘数是n位数 210.13.解：(1)①②③(2)原式=144÷ (+I个8 川号号×[川】 最后结果就是11…1。 (4)987654×9+2=8888888, (+)个1 123456×9+7=1111111 [号号}33144(-3x-2) 第三章整式及其加减 （-32÷3=149x-2)-3÷34=-288-1=289。 14. 1代数式（第1课时） 99 9 1.(7m+5n)2.(3y+12)3.100c+10b+a