第二章 1 认识有理数-【新课程能力培养】2026-2027学年七年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 七年级上册（北师大版） 第二章 有理数及其运算 知识网络 正整数 解决简单的实际问题 [加法 →减法 零 整数 负整数 交换律 有理数 有理数的运算 结合律 分配律 正分数 分数 负分数 绝对值 有理数大小比较 乘法 →除法 相反数 数轴 乘方 认识有理数（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题把下列各数填在相应的集合内：-23,0.25，-5.18,18，-38,10，+7,0，+12。 正数集合：{ …}; 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}。 【分析】根据有理数的定义判定即可。 【解答】正数集合：{0.25,18,10，+7，+12，…： 整数集合：{-23,18，-38,10，+7,0，+12，…； 分数集合：{0.25，-5.18，…}。 【点拨】本题主要考查有理数的概念，解题的关键是知道有理数包括整数和分数，整数 包括正整数、零、负整数，分数包括正分数（小数）和负分数（小数）。对有理数进行分类 时，要确定分类标准，做到不重不漏。 基础巩固达标闯关 1.如果向东运动5m记作+5m,那么向西运动3m应记作 2.篮球队得10分，与其具有相反意义的量是 一，它们可分别用正、负数表示为 14 有理数及其运算 第二章 3.下列各数：-6,34，+221,21,0,1,01，-号，+2，其中正数有 负数有 个。 4.下列结论正确的是() A.0既是正数，又是负数 B.0是最小的整数 C.0是最大的负数 D.0既不是正数，也不是负数 5.下列说法错误的是() A.有理数可分为整数和分数 B.正有理数可分为正整数和正分数 C.有理数可分为正整数和负分数 D.有理数可分为正有理数、0和负有理数 6.下列语句错误的是() A.存在最小的自然数 B.存在最小的正有理数 C.不存在最大的正有理数 D.不存在最大的负有理数 7把下列各数填在相应的集合内：42,1，-2，-3,031,0，号，-6 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …} 非负数集合：( …小}。 能力提升睡综合拓展 -,s多多 8.甲地海拔高度是31m,乙地海拔高度是10m,丙地海拔高度是-8m, 地最 高， 地最低，最高的地方比最低的地方高m。 9.“一只闹钟一昼夜误差不超过±12s。”这句话的含义是 0 10.一艘潜水艇所在的高度是-50m,一条鲨鱼在潜水艇上方15m处，鲨鱼所在的高度 是多少？ 11.测量一座楼的高度，七次测量的数据分别是79.6m,80.4m,80.8m,79.3m, 80m,79.4m,80.5m (1)这七次测量的平均值是多少？ (2)以平均值为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，它们对应的数 据分别是什么？ 数学 七年级上册（北师大版） 12.将下列各有理数填入表示它所在集合的圈里。 5,-1,+2024,-010101,27,098%,-17,-g 整数集合 正数集合 负数集合 分数集合 第12题图 13.如图，这是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻 度与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘 三次。例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是 5,再顺时针旋转2个小格记为“-2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁 可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，-2，+3”，此时标记线对准哪个 数？如果一组开锁密码为“-16，+10，-4”，要想打开锁，应该如何转锁盘？ 第13题图 锁打开时标记线对准哪个数？ 中考链接©真题演练 - 14.(2025·辽宁)在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量0.02g记 作+0.02g,那么低于标准质量0.01g记作 go 15.(2025·武汉)在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物 质是 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点℃ 1535 -117 -218 0 16.(2025·河南)在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失 3个球记作() A.+3个 B.-3个 C.+4个 D.-4个 17.(2025·广东)某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g,如果一只乒乓球的质量 高于标准质量0.02g记作+0.02g,那么低于标准质量0.02g记作() A.-0.02g B.+0.02g C.-0.04g D.+0.04g 18.(2025·德阳)下列数是正数的是() A.1 B.0 C.-1 D.-2 16 有理数及其运算 第二章 认识有理数（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，检测4个足球（单位：g),其中超过标准质量的克数记为正数，不足标 准质量的克数记为负数。从轻重的角度看，最接近标准的是() -3.5 +2.5 +0.7 -0.6 0 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数，即1-0.61<+0.71< 1+2.5<-3.51,故-0.6最接近标准0，这个球的误差最小。 【解答】D 【点拨】本题主要考查绝对值的概念，理解正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的 关键。本例是正数和负数在生产和生活中应用的范例，要掌握这类问题的数学依据，体会它 的应用价值。 基础巩固飞达标闯关 1.-5= ；--21= 2. 的相反数是-2.1，-6的相反数是 绝对值等于3.5的数是 3.在有理数中，绝对值最小的数是 d 4.比较下列各组数的大小。 品 -0.2731;(2)-35 36 79 5.已知lxl+ly=0,那么x= ,y= 6.一个数的绝对值是它本身，则这个数必为( A.正数 B.0 C.正数和0 D.负数 7.一个有理数的相反数是它本身，则这个数() A.可能是负数 B.必为正数 C.必为非负数 D.必为0 8.一批食品，标准质量为每袋454g。现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量 的克数用正数表示，不足的克数用负数表示。那么，最接近标准质量的是() A.+7 B.-5 C.-3 D.10 口数学 七年级上册（北师大版） 9.计算： (1)1-21++231--201; (2)1-2lx1+681; (3) 引。 10.填写下表。 原数 -5 3-13 0 1.35 -0.15 2 相反数 绝对值 能力提升螂综合拓展 -B多多 11.如图是一个正方体的两个展开图，请你分别在两个展开图中未标注有理数的四个正 方形内填人适当的数，使这两个展开图折成正方体后相对的面上标注的两个数互为相反数。 24 第11题图 12.正式比赛的篮球的质量有严格的规定。已知两个篮球，超过规定质量的记为正数， 不足规定质量的记为负数。为了选一个篮球用于比赛，裁判对两个篮球进行了称量，记录如 下：甲篮球+10g,乙篮球-20g。你认为应选哪个篮球用于这次比赛呢？为什么？ 中考链接©真题演练 13.(2025.无锡)1-31= 14.(2025山西)下列各数中比-3小的数是() A.-4 B.-2 C.-1 D.3 15.(2025·泸州)下列各组数中，互为相反数的是() A.7和-7 B.3和-2 C2和号 D.-0.1和10 18 有理数及其运算 第二章 认识有理数（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在数轴上点M,N,P,Q分别表示不同的有理数，请写出表示最大的有 理数与最小的有理数的点。 N MQ P 【分析】由数轴上的点表示的有理数的特点，右边的数总比左一2-10123 边的数大。 例题图 【解答】点P表示的有理数最大是2，点N表示的有理数最小是-2。 【点拔】本题考查数轴上的点表示有理数，掌握利用数轴比较有理数大小的方法，以及 运用数形结合的思想是解答此题的关键。 基础巩固飞)达标闯关 1.数轴上点A对应的数是-2，那么将点A向右移动7个单位长度，此时点A表示的数 是 2.数轴上表示5和-4的两点之间的距离是 ,表示-1和-5的两点之间的距离是 3.数轴上表示点A的数是最大的负整数，则与点A相距3个单位长度的点表示的数是 4.小李同学在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示-5的点重 合；若该数轴上的两点A,B之间的距离为7(A在B的左侧)，且A,B两点经上述折叠后 恰好重合，则A点表示的数为 5.若数轴上的点A到原点的距离是5，则点A表示的数为() A.-5 B.5 C.5或-5 D.2.5或-2.5 6.如图，数轴上的点A,B分别对应数a,b,下列结论正确的是() A.a+b<0 B.a-b>0 B a 0 6 C.ab>0 D.-ab>O 第6题图 7.在数轴上到表示-3的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是() A.1 B.4或-4 C.-7 D.1或-7 8.分别写出数轴上点A,B,C,D,E表示的有理数。 A B C D E 第8题图 数学 七年级上册（北师大版） 9.画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“<”将它们连接起来： 3,-345,0,-153 能力提升坤综合拓展 10.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④四部 分，点A,B,C对应的数分别是a,b,c,且a+b=0。 (1)请说明原点在哪一部分。 (2)若点A与点C的距离是6个单位长度，点B与点C的距离是4个单位长度，求c 的值。 ① ②③ ④ A ⊙ 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025山东)如图，数轴上表示-2的点是() A.M B.N C.P D.Q 3210234 第11题图 第12题图 12.(2025·吉林)如图，点A表示的数是1。若将点A向左移动3个单位长度得到点 A',则点A'表示的数为() A.-3 B.-2 C.2 D.4 13.(2025·河北)从-5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（) 10] 10 10 10℃ 5 0 01 1-10 i-10 -101 A B C D 14.(2025·湖北)数轴上表示数a,b的点如图所示，下列判断正确的是() A.a<b B.a>b a 0 C.b<0 D.a>0 第14题图 20参考答案与提示 参考答案与提示 第一章丰富的图形世界 图所示，三角形、长方形。9.如图所示。10.12 1生活中的立体图形（第1课时） 144提示：先用2个图2的纸板卡拼成一个长为 1.①⑧③⑦④⑥②⑤2.(1)圆柱(2) 3、宽为2、面积为6的长方形，则6个这样的长方形 长方体(3)圆锥(4)四棱柱(5)三棱柱 拼成一个面积为36的正方形，此时正方形的边长为 3.A4.C5.①-d②-c③-e④—b⑤-a 6,则需图2的纸板卡的个数为12。同理用2个图4 6.解：至少还需要19个。理由：堆成大立方块至少共 的直角砖块拼成长、宽、高分别为4,3,2的长方体 需要小立方块3个，即27个，现在这个几何体中有8 用4×3=12（个）这样的长方体拼成一个长、宽均为 个小立方块，所以至少还需要27-8=19（个）。7.C 12,高为2的长方体，再用6个这样的长方体可以拼 1生活中的立体图形（第2课时）】 成长、宽、高均为12的正方体，此时需要2×12×6= 144(个)图4的直角砖块。 1.点动成线线动成面2.圆柱3.B4.B 5.C6.B7.解：(1)6个面。3个面。有平面也有 曲面。相对的面完全相同。圆柱相对的面也完全相同。 (2)2条。曲的。(3)8个。3条。相互垂直。 8.解：由如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的几何 体由三个圆柱组成，有7个面，其中4个是平面，3 个是曲面。9.B 第7题答图 第8题答图 2从立体图形到平面图形（第1课时） 1.22.153.后面、上面、左面4.B5.B 6.A7.解：答案不唯一，如最上方格填0：中间四 格填1,3,4,2；最下方格填5。 8.解：答案不唯一，如图所示 7个角 8个角9个角 10个角 是一种情况。9.解：乙、戊两 同学是正确的，甲同学的图形不 第9题答图 能折叠，丙同学6和4重合，丁 同学6和1重合，己同学6和5 第8题答图 2从立体图形到平面图形（第4课时） 1.①②④2.D3.如图所示。4.如图所示 重合。10.将该正方体表面展开图折叠回正方体后， 可知“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是相 5.解：如图所示，共有10箱皮鞋，10×12=120 (双)。6.(1)如图所示。（答案不唯一）(2) 对面，因此要使图2中几何体能看得到的面上数字之 n=8,9,10,11.7.D8.C9.A 和最小，最上面的那个正方体所能看到的5个面的数 字为1,2,3,4,5，最右边的那个正方体所能看到 的4个面的数字为1,2,3,5，左下角的那个正方体 所能看到的3个面的数字为1,2,3，所以该几何体 能看得到的面上数字之和最小为11+15+6=32.11. 解：涂成绿色一面的对面是黄色，涂成红色一面的对 从正面看从左面看从上面看 从正面看从左面看 面是黑色。理由：由图可知，共有黑、绿、白、红 第3题答图 第4题答图 蓝、黄六种颜色，由图1和图3知与白色相邻的面的 颜色有黑、绿、黄、红，所以白色的对面是蓝色，由 图1和图2知与绿色相邻的面的颜色有白、黑、蓝、 43 红，所以绿色的对面是黄色，同理红色的对面是黑色。 11 综上所述，涂成绿色一面的对面是黄色，涂成红色 ① ② ③④ 面的对面是黑色。12.A13.B 第5题答图 第6题答图 2从立体图形到平面图形（第2课时） 1.9七边形212.棱 第二章有理数及其运算 柱和圆柱3.长方体4.A 1认识有理数（第1课时） 5.C6.(1)圆锥(2)三 1.-3m2.答案不唯一，如失20分+10分和 棱柱(3)五棱柱(4)圆 -20分3.534.D5.C6.B7.整数集合：{1， 柱7.如图所示。 8.D 第7题答图 9.D10.A -2,0,-6…归分数集合42,3,031，号，…日 2从立体图形到平面图形（第3课时）】 1.圆、长方形、三角形2.长方体、五棱柱、圆 负数集合：{42,2，写，6，…非负数集合： 锥3.圆柱4.C5.D6.A7.如图所示。8.如 数学 七年级上册（北师大版） 1,031,0,号，…。8甲丙399.一只周 3.-14.C5.D6.(1)-182(2)9(3)70 钟一昼夜快或慢不超过12s10.鲨鱼所在的高度是水 (④1(5)28(6)-67.解：b=4,b1=2, 平面以下35m处。11.解：(1)(79.6+80.4+80.8+ ∴.a=±4，b=±2。a叶b的绝对值与它的相反数相等，即 79.3+80+79.4+80.5):7=80(m)。答：这七次测量的平 la+b=-(a+b),∴.a+b≤0。，.a=-4,b=±2。当a=-4,b= 均值是80m。(2)以80m为这座楼的标准高度. -2时，a叶b=-6;当a=-4,b=2时，a+b=-2.8.解： 那么这七次测量的数据对应的数据分别是-0.4,0.4， (1):点B表示的数为-4，相邻两点之间的距离m=2, 0.8，-0.7,0,-0.6,0.5。 .点C,D,E,F表示的数分别为-2,0,2,4..点F 12. 表示的数是4，原点在点D的位置。(2)①：点B 表示的数是-4，点F表示的数是8，.点B与点F之间 5,+2024 的距离为-4+8=12，.相邻两点之间的距离m=12÷4= 0.98% 3,即m=3。②m=3,点A,B,C,D,E,F表 示的数分别为-7，-4，-1,2,5,8，数轴上这六个 点表示的有理数之和=(-7)+(-4)+(-1)+2+5+8=3，即 整数集合 正数集合 =3.9.答案不唯一，中间位置的数可以是0或-2 或2。理由：中间位置的数是0时，算式：1+0+(-1)= 7 0.101001, 2 2 0,2+0+(-2)=0:中间位置的数是-2时，算式：1+(-2) -1.7,-6 +0=-1,2+(-2)+(-1)=-1:中间位置的数是2时，算 0.98% 式：(-1)+2+0=1，(-2)+2+1=1.10.B11.D … … 2有理数的加减运算（第2课时） 负数集合分数集合 1.02.号或号3A4.C50)95 (2) 第12题答图 -70 13.解：开锁密码为“+5，-2，+3”时，此时标 (3)0(4④76解：原式-2026+号] 记线对准有理数6：开锁密码为“-16，+10，-4”时， 先按顺时针方向旋转16个小格，再逆时针旋转10个 +-2++[202+号]+4045+号-2026t 小格，再顺时针旋转4个小格：锁打开时标记线对准 有理数30.14.-0.0115.液态氧16.B17.A (-2+(-202)+40451+-++号+号] 18.A 5+0-号 289 7.解：(1)5+(+2)+(-4)+(-3)+ 1认识有理数（第2课时）】 (+10)=10(km)。答：接送完第5位考生后，该驾驶 1.5-22.2.1-6±3.53.04.(1)> (2)>5.006.C7.D8.c9.(1)5(2) 员在家的东边10km处。(2)(5+2+-4+-3+10)× 0.2=24×0.2=4.8(L)。答：在这个过程中共耗油4.8L。 136 ③)710.相反数依次为5，号，号，0，-135， (3)「10+(5-3)×1.81+10+「10+(4-3)×1.81+10+「10+ (10-3)×1.8]=68(元)。答：在这过程中该驾驶员为5 015,2绝对值依次为5，号，号，0,135,015， 位考生共节省了68元车费。 211.略12.解：.+10l<-20l,..选甲篮球用于比 2有理数的加减运算（第3课时）】 赛。因为甲篮球质量与标准质量更接近。13.314. 1.(1)-1(2)2(3)-27(4)42.(1) A15.A 16(2)(-1)(3)37(4)(-44)3.-4 1认识有理数（第3课时） 4.135.>6.-5-5-47.251℃8.C9.D 1.52.943.2或-44.-5.55.C6.D 10.(1)-29(2)21(3)-3(4)-5(5)-24 7.D8.解：数轴上点A,B,C,D,E表示的有理数 11.第一行：12；第二行：14,32；第三行： 分别为-5,25，弓，2,45.9解：用数轴上的点 11,13,-1612.解：(1)由题意，得x+121=0,y+ 7=0,l2-91=0,∴x=-12,y=-7,=9。(2)x-y-8=-12 表示这6个有理数如下图，用“<”将它们连接起来： (-7)-9=-14.13.614.B15.D16.A -3<-1.5<0<；<3<45.10.解：()点A和点B 2有理数的加减运算（第4课时） 1.(1)-1.25(2)-12(3)-1(4)4 对应的数是a和b,且a+b=0,:.a和b互为相反数。 点A和点B在原点的两侧，且到原点的距离相等。 (5)12 5 (6)2.42.(1)(-98.8) (2)0.25 原点在第②部分。(2)：点A与点C的距离是6 个单位长度，点B与点C的距离是4个单位长度，： (3)23 ④3)3A4C5.B6()-4 点A与点B的距离是2个单位长度。又.a+b=0, (2)-9.2 .a=-1,b=1。.c=1+4=5.11.A12.B13.B14.A (3)6(4)是7.()-1(2) 420246 -6子8解：()-12km+11km-18km 第9题答图 (2)0.5+2.5-1.2+1.1-1.8=1.1(km)。答：飞机离地面 2有理数的加减运算（第1课时） 的高度是1.1km。(3)2.5×5+1.2×3+1.1×5+1.8×3=27 1.(1)-7(2)3(3)-2(4)12.7 (L)。答：一共消耗了27L燃油。9.解：(1)数