4.1认识三角形(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 1+4+5=50。解得=14。所以标有8元的小球有14个， ∠PCB=90°，所以90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°。所 则标有2元的小球有27个。从袋中任意摸出一个球， 以∠ABP+∠ACP+∠A=90°，即∠ABP+∠ACP=90°- 所有可能的结果有50种，且每种结果出现的可能性相 ∠A。 14.30°15.D16.B 同，摸出标有50元、8元、2元小球的结果共有45 1认识三角形（第2课时） 个，所以（获得奖品）费号：只摸出标有8元小球 1.3<c<72.15cm3.D4.C5.C6.A7. 解：共有3种。分别是：3cm,4cm,5cm;4cm, 的结果有14个，所以P(获得8元奖品)=4=7 50-250 5cm,7cm;3cm,5cm,7cm。8.解：因为AB= 5,BC=2,根据三角形三边之间的关系，得5-2<AC< (2)设需要把y个标有2元的小球改为8元，则标有 5+2,所以3<AC<7。因为AC为奇数，所以AC=5。所 8元的小球有+14)个。由题意，得-号。解 以△ABC的周长=5+5+2=12。因为AC=5,AB=5,所以 得y=6。所以需要把6个标有2元的小球改为8元的 AB=AC。所以△ABC是等腰三角形。9.解：如图， 连接AC,在△ACD中，AD=1,DC=3,根据三角形三 小球。11.解：由图形知，可将转盘分为12等份， 边之间的关系，得3-1< 1 D 每份扇形圆心角为30°，则打九折区域的扇形圆心角 为90°，为3份，打八折区域的扇形圆心角为60°，为 AC<3+1,所以2<AC<4。 在△ABC中，因为AB= 2份，不打折区域的扇形圆心角为210°，为7份，因 1,所以AC+AB<5,AC- 为这12个扇形的大小相同，转动的转盘又是自由停 AB>1。根据三角形三边 止，所以指针指向每个扇形的可能性相等。(1)所 之间的关系，得AC-1< 以八打九折是子，所以P打人折品名。(2) x<AC+1,所以1<x<5。 所以x可能的值为2或3 200×80%=160(元)，200×90%=180（元），200+160= 或4。 第9题答图 360(元)，180×2=360（元），所以他们获得优惠的情 10.解：AB+ 况分为两种：①一个不打折，一个打八折：②都打九 AC>BP+CP。理由：在△ABD和△PDC中，因为AB+ 折。12.解：因为取出9张红桃、10张黑桃、11张 AD>BD,CD>CP-PD,所以AB+AD+CD>BD+CP-PD 方块，所以共有30张，所以取出扑克牌的所有可能结 因为AC=AD+DC,BP=BD-PD,所以AB+AC>BP+CP 果有30种，且每种结果出现的可能性相同。(1)抽 11.B12.B 出扑克牌是红桃的结果有9种，所以（抽出一张是红 1认识三角形（第3课时） 桃)-0品2)①因为半件~再拍出的这张牌是方 1.212.62°3.104.25.7或36.B7.C 8.D9.C10.A11.解：因为∠BED+∠AEB= 块”为必然事件，则剩下的牌中只有方块，所以当m 180°，∠BED=40°，所以∠AEB=180°-∠BED=140°。 为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事 又因为∠BAD+∠AEB+∠ABE=180°，∠BAD=25°，所 件。②因为事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事 以∠ABE=180°-∠AEB-∠BAD=15°。因为BE平分 件，所以剩下的牌中有黑桃和方块。因为>6，所以 ∠ABC,所以∠ABC=2∠ABE=30°。因为AF为△ABC 当m为9,8,7时，事件“再抽出的这张牌是方块” 的高，所以∠AFB=90°。所以∠BAF=90°-∠ABF=90° 为随机事件，这个事件概率的最小值为04 30°=60°。12.解：(1)因为AE是△ACD的中线， DE=4,所以DC=2DE=8。因为AD是△ABC的中线， 13.}14.号15.B 所以BC=2DC=16。(2)因为AD是△ABC的中线， 所以BD=DC。因为△ABD与△ACD的周长差为3，所 第四章三角形 以(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=3。所以AB-AC=3. 1认识三角形（第1课时）】 因为△ABC的周长为37，BC=12,所以AB+AC=37- 12=25。所以AC+3+AC=25。所以AC=11.13.如图 1.△ABC AB,BC,AC∠A,∠B,∠C2. 80°3.钝角4.90°直角5.C6.C7.D8.A 所示。 9.C10.(1)Rt△ABC,AB;Rt△ACD,AC; Rt△BCD,BC。(2)∠BCD。(3)∠B,∠ACD。 11.解：在△ABC中，因为∠A+∠B+∠ABC=180°， ∠A=30°，∠B=37°，所以∠ACB=113°。因为∠DCE= ∠ACB,所以∠DCE=113°。又因为BD∥EF,所以 ∠DCE+∠E=180°。所以∠E=67°。 12.解：由题 意，得DB∥AE,∠BAE=40°，∠CAE=10°，所以 ∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°.∠DBA=∠BAE=40°。因 为∠DBC=85°，所以∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°。因为 ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，所以∠ACB=180° ∠BAC-∠ABC=85°。13.解：(1)因为∠A=50°， ∠ABC+∠ACB+∠A=180°，所以∠ABC+∠ACB=130° B 因为∠P-90°，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，所以∠PBC+ ∠PCB=90°。因为∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= 第13题答图 ∠ACB-∠PCB,所以∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB (∠PBC+∠PCB)=130°-90°=40°。 (2)结论： 14,解：(1)画图略。Sac=AC~BC=)×5x12= ∠ABP+∠ACP-90°-∠A。理由：因为（∠PBC+∠ABP) +(∠PCB+∠ACP)+∠A=180°，即（∠PBC+∠PCB)+ 30(cm2)。 (2)因为3AB-CD=BCC1,所以 (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°。由(1)知∠PBC+ 数学 七年级下册（北师大版） 13-CD-60。所以CD-9(cm)。 15.解：有2条角 AD=BE,所以AD+BD=BE+BD,即AB=DE。在△ABC 和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,所以 平分线，其中AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE △ABC≌△DEF(SSS)。(2)因为∠A=55°，∠E= 的角平分线：有2条中线，其中BE是△ABC的中线 45°，△ABC≌△DEF,所以∠A=∠FDE=55°，所以 DE是△ADC的中线；有I条高线，EG分别是△BDE ∠F-180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°）=80° △BEG,△BEC,△DEC,△DEG,△CEG的高线， 3探索三角形全等的条件（第2课时）】 16.解：(1)在△ABC中，因为∠A+∠ABC+∠ACB= 1.∠B=∠D∠C= 180°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A。在△BCP中， ∠E2.△EDB ASA或 因为∠P+∠PBC+∠PCB=180°，所以∠P=180°- AAS3.C4.如图所示。 (∠PBC+∠PCB)。又因为PB,PC分别是∠ABC和 5.解：因为AB∥DE, LACB的平分线，所以LPBC=号∠ABC,∠PCB= 所以∠B=∠DEF。因为 AC∥DF,所以∠ACB=A B 3∠ACB。所以∠P-I80-分LABC+∠ACB= ∠F。又因为AB=DE,所 以△ABC≌△DEF(AAS)。 第4题答图 180P-(∠ABC+∠ACB)=180-7(180-∠A)。所以 所以BC=EF.即BE+EC=FC+EC。所以BE=CF。6. 解：(1)因为CF∥AB,所以∠ADF=∠F,∠A= LP-90+号LA。 (②)不成立。结论为∠P=∠A。 ∠ECF。在△ADE和△CFE中，因为∠A=∠ECF ∠ADE=∠F,DE=FE,，所以△ADE≌△CFE(AAS)。 (3)∠P-90P-3LA。1n.10°18.C19.B (2)因为△ADE≌△CFE,所以AD=CF=4。所以 BD=AB-AD=5-4=1.7.解：因为∠BAC=∠EAD 2全等三角形 所以∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC。所以∠BAE= 1.35°2.105°3.64.120°5.A6.B7.D ∠CAD。在△ABE和△ACD中，因为∠ABD=∠ACD 8.C9.解：因为△ABC≌△DEF,所以∠ACB= AB=AC,∠BAE=∠CAD,所以△ABE≌△ACD ∠DFE。所以BC∥EF。I0.解：因为△ABD≌△ACE, (ASA)。所以BE=CD。因为BD=8,DC=5,所以ED= 所以AD=AE,AB=AC。所以AD-AC=AE-AB,即CD=BE。 BD-BE=BD-CD=8-5=3.8.解：(1)因为∠B4E+ 11.解：(1)因为△ABC≌△DEB,BC=3,所以BE= ∠AEB+∠ABE=180°，∠BED+∠AEB=180°，所以 BC=3。所以AE=AB-BE=6-3=3。(2)因为△ABC≌ ∠BED=∠BAE+∠ABE。因为∠BAC=∠BAE+∠CAF △DEB,所以∠ABC=∠DEB。因为∠A=25°，∠C=55°， ∠BED=∠BAC,所以∠ABE=∠CAF。同理，得 所以∠DEB=∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-25°-55°= ∠BAE=∠ACF。在△ABE和△CAF中，因为∠ABE= 100°。所以∠AED=180°-∠DEB=180°-100°=80°。 12. ∠CAF,AB=AC,∠BAE=∠ACF,.△ABE≌△CAF 解：（1)AC⊥AB。理由：因为CE⊥DE,所以 (ASA)。(2)EF+CF=BE。理由：因为△ABE≌ ∠CED=90°。所以∠AEC+∠BED=90°。因为△ACE≌ △CAF,所以AE=CF,BE=AF。因为AE+EF=AF,所 △BED,所以∠ACE=∠BED。所以∠ACE+∠AEC=90°。 以CF+EF=BE。9.解：(1)成立。理由：因为 所以∠A=180°-（∠ACE+∠AEC)=180°-90°=90°。所以 BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠AEC=9O°。所以 AC⊥AB。(2)AB=AC+BD。理由：因为△ACE≌ ∠BAD+∠ABD=90°。又因为∠BAC=90°，所以∠BAD+ △BED,所以AC=BE,AE=BD。所以AB=BE+AE=AC+ ∠CAE=90°，所以∠ABD=∠CAE。又因为AB=AC,所 BD。13.解：(1)因为∠B=50°，∠BAE=70°，∠B+ 以△ABD≌△CAE(AAS)。 (2)BD=DE+CE。由 ∠BAE+∠AEB=180°，所以∠AEB=60°。因为∠AEF= (1)知△ABD≌△CAE,所以AD=CE,BD=AE。因为 60°，∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，所以∠FEC=60°。因 AE=AD+DE,所以BD=DE+CE。(3)BD=DE-CE 为∠C=50°，∠FEC+∠C+∠EFC=180°，所以∠EFC= (4)BD=DE-CE。10.解：在△AOC和△BOD 70°。(2)因为△ABE≌△AFE,∠BAF=100°，所以 中，因为∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,AC=BD,所以 LBAE=∠EAF=7∠BAF=50°。因为∠B+∠BME+ △AOC≌△BOD(AAS)。11.解：(1)在△ABC 和△BAD中，因为∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB, ∠AEB=180°，所以∠AEB=180°-50°-50°-80°。(3)当 AB=BA,所以△ABC≌△BAD(AAS)。(2)因为 △ABE≌△ECF时，EC=AB=2.5。因为BC=6,BE=BC- ∠DAB=70°，∠D=90°，所以∠DBA=90°-70°=20°。由 EC6-2.5=3.5。当△ABE≌△FCE时，BE=CE。因为 (1)知△ABC≌△BAD,∴.∠CAB=∠DBA=20°。 BC=6=BE+CE,所以BE=CE=BC=3。综上所述，BE 3探索三角形全等的条件（第3课时）】 的长为3或3.5.14.100°15.C 1.SAS2.EA=BC3.B4.解：因为BD=CE 3探索三角形全等的条件（第1课时） ∠CBD=∠ECB,BC=CB,所以△BCE≌△CBD(SAS) 所以∠ACB=∠ABC。5.解：因为∠ABD=∠CBE, 1.①与③，②与④ 所以∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,即∠ABE= 2.三角形具有稳定性 ∠DBC。又因为AB=DB,BE=BC,所以△ABE≌ 3.B4.解：如图所示。 b △DBC(SAS)。6.如图所示。 5解：在△ABC和△ADE B a 中，AB=AD,AC=AE, BC=DE,所以△ABC≌ 第4题答图 △ADE(SSS)。所以∠C=∠AED。又因为∠EAC=180° -∠AEC-∠C,∠DEB=180°-∠AEC-∠AED,所以 ∠EAC=∠DEB。6.解：(1)因为AF=DC,所以 AF-CF=DC-CF,即AC=DF。又因为AB=DE,BC=EF. 所以△ABC≌△DEF(SSS)。所以∠A=∠D。所以 ABDE。(2)成立，理由略。7.解：(1)因为 第6题答图 80口数学 七年级下册（北师大版） 认识三角形（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平 分线，若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。 【分析】在△ABC中，由三角形内角和定理可求得∠BAC,由角平 分线的定义可求得∠CAE,再利用直角三角形的性质可求得∠CAD,进 例题图 而可求得∠DAE。 【解答】因为∠B=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°。 因为AE平分∠BAC,所以∠CAE=?∠BAC-40。 因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°。 所以∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°。 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-30°=10°。 【点拨】本题主要考查直角三角形两个锐角互余，理解三角形高线和角平分线的概念是 解题关键。 基础巩固达标闯关 1.如图，已知AD为△ABC的中线，AB=10cm,AC=7cm,△ACD的周长为18cm,则 △ABD的周长为 cm。 2.如图，在△ABC中，BD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，∠ABC=80°， ∠DBE=12°，则∠A的度数是 E 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AD分别是 个三角形的高。 4.如图，在△ABC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S△M=8cm,则阴 影部分的面积为 cm2。 5.若AD是△ABC的高，且BD=5,CD=2,则边BC的长为 6.直角三角形两个锐角的平分线相交形成的钝角等于() A.120° B.135 C.145° D.150° 76 三角形 第四章 7.下列说法正确的是() A.三角形的角平分线是射线 B.过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线 C.锐角三角形的三条高交于一点 D.三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部 8.如图，在△ABC中，AC边上的高BE画得正确的是（) A D 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E是AC上两点，且AE=DE,BD平分∠EBC,下 列说法不正确的是（) A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1=∠2=∠3 第9题图 D.BC是△BDE的高 10.在△ABC中，AB<AC,D,E是BC边上的两点，且BD<BE,有下列四个推断： ①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线；②若AD是△ABC的中线，则AE不 可能是△ABC的高；③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线；④若AD 是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线。上述推断中，所有正确结论的序号是() A.①②2③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 11.如图，在△ABC中，AD,AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线。 若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小。 第11题图 ⑦ 口数学 七年级下册（北师大版） 12.如图，在△ABC中(AB>AC),AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线。 (1)若DE=4,求BC的长。 (2)若△ABC的周长为37，BC=12,且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长。 第12题图 能力提升坤综合拓展 -。多 13.计划在一块三角形的土地上种四种不同的农作物，要求面积相同。请你帮助设计至 少三种不同的划分方案。 第13题图 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm。 (1)在已知图形中画出AB边上的高CD,并求△ABC的面积。 (2)求出AB边上的高CD的长。 第14题图 15.如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD=∠CAD,E是AC的中点，BE交AD 于点F,点G在BC上，且∠BGE=90°。图中有几条线段是三角形的角平分线、中线和高线？ 请具体说明它们分别是哪个三角形的角平分线、中线和高线。 第15题图 ® 三角形 第四章 16.有△ABC。 (1)如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线BP,CP的交点，试说明∠P-90+1∠A。 (2)如图2，若CP变为∠ACB的邻补角的角平分线，其余条件不变，(1)中的结论还 成立吗？若不成立，直接写出猜想的结论，不必说明理由。 (3)如图3，若BP,CP均变为∠ABC,∠ACB的邻补角的角平分线，其余条件不变， 会有什么结论？请直接写出猜想的结论，不必说明理由。 图1 图2 图3 第16题图 中考链接©真题演练 17.(2024·凉山)如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高， AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 第17题图 第18题图 第19题图 18.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的中 点，连接AE,则图中的直角三角形共有(） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 19.(2024·德州)如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4,S△4=12，则BE的 长为() A.1.5 B.3 C.4 D.6 内