第二章一元二次方程单元测试2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合利润计算、几何面积等真实情境，考查方程定义、解法及应用，适配单元复习，培养数学建模与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、配方法、根的判别式|结合毕业留言情境，辨析基础概念| |填空题|5/15|方程求解、新运算、三角形周长|融入图形规律问题，考查知识迁移| |解答题（一）|3/21|一般形式转化、解方程、根与系数关系|基础技能训练，强调规范表达| |解答题（二）|3/27|利润问题、“理想方程”新定义、图形规律|创设超市销售情境，培养建模意识| |解答题（三）|2/27|苹果销售利润最大化、封面设计方案|综合应用方程与二次函数，体现数学眼光与创新意识|

第二章一元二次方程单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 3．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 9．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A．24或 B．24 C． D．或24 10．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．一元二次方程的解为_________． 12．若代数式的值为3，则代数式的值为_____． 13．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 14．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 15．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为___________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 17．解下列方程 (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． (1)设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） (2)超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到实惠，每件商品应降价多少元？ 20．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．(1)关于的方程是理想方程，求的值；(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 21．用黑、白两种颜色的小正方形拼成如图所示的图案．    (1)图4中有黑色正方形_______个，图n中有黑色正方形________个； (2)是否存在图n，使得白色正方形比黑色正方形多2023个，若存在，求n，若不存在，请说明理由． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．某公司以3元/千克的价格收购2000千克苹果后，一部分直接销售，另一部分加工成苹果干销售，并全部售出，现有如下信息：直接销售苹果的销售价格 （单位：元/千克）与销售数量x（单位：千克）之间的函数关系是 ，且直接销售的苹果不少于总量的 ． 加工成苹果干的总加工费用（单位：元）与加工数量t（单位：千克）之间的函数关系是 ，且加工成苹果干后质量会损耗，苹果干的销售价格为70元/千克. 设直接销售的苹果有x千克，请完成下列问题： (1)①用含x的代数式表示下列各量：直接销售的利润为 ，加工后销售的利润 为 ； ②直接写出x 的取值范围是 ． (2)若直接销售的利润比加工后销售的利润多1400元，求x的值； (3)如何安排两种销售方式能让总利润最大? 最大利润是多少? 23． 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A D B D C B B 11．， 12．9 13．16 14． 15． 16．(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 17．(1)，； (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 18．(1) 证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 19．(1)， (2)每件商品应降价5元 【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每件商品降价x元，用x表示出平均每天的销售量与每件商品的利润； （2）利用总利润=每件商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要让顾客得到更多实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是件，每件商品的利润是元． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让顾客得到更多实惠， 答：每件商品应降价5元． 20．(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 21．(1)17， (2)存在，23 【分析】（1）根据图形算出前几个图形中含有黑色正方形的个数，找到规律可求解； （2）由（1）的规律求出第n个图形中黑色和白色正方形的个数，然后根据白色正方形比黑色正方形多2023个，列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：图1中有黑色正方形个； 图2中有黑色正方形个； 图3中有黑色正方形个； 图4中有黑色正方形个； …… 图n中有黑色正方形个； 故答案为：17； （2）解：存在， 根据题意得：图1中有白色正方形个； 图2中有白色正方形个； 图3中有白色正方形个； …… 图n中有白色正方形个； ∴由题得： 解得：或（舍去）， 即存在图，使得白色正方形比黑色正方形多2023个． 【点睛】本题考查了图形的变化类及一元二次方程的应用，找到变化规律是解题的关键． 22．(1)，； (2)； (3)直接销售数量为，加工数量为时利润最大，最大为元． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用等知识点， （1）①用销售收入减去收购支出即可得到，先算出加工费用，再算出加工后的数量，进而即可得到，②由直接销售的苹果不少于总量的，即可得出x的取值范围； （2）根据（1）问所列式子即可得到关于x的方程，解方程即可得解； （3）列出二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得解； 熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程的应用并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵直接销售收入，收购支出， ， ， ， ∵加工后的苹果干数量为， ， 直接销售的苹果不少于总量的， ， ， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， ， ∴， ， ； （3）解：由题意得， ， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时，最大，最大利润， ∴， ∴直接销售数量为，加工数量为时利润最大，最大为元． 23．（1）； （2）上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）设中央矩形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 上、下边衬的宽均为， 左、右边衬的宽为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据题意可得：封面的长宽之比为，则中央矩形的长宽之比也是，设中央矩形的长、宽分别是，，即可求解； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，由题意可得：中央矩形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解； （3）设中央矩形的长为、宽为，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解． 【详解】解：（1）封面长，宽， 封面的长宽之比为：， 中央矩形的长宽之比也是：， 设中央矩形的长、宽分别是，， 上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为， 四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央矩形的面积是封面总面积的， ， 整理得：， 解得：，， 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，不符合实际意义； 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，符合实际意义； 综上所述，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）略 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $