第2章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 2026年北师大版数学九年级上册一元二次方程单元培优检测，90分钟100分，以核心素养为导向，覆盖方程定义、解法、应用等，融合文化传承与现实情境，梯度设计适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、根的判别式、根与系数关系|基础巩固，如第2题结合等腰三角形周长考查根的应用| |填空题|5/15|新定义（二阶行列式）、动点问题|能力提升，第13题“同族二次方程”考创新思维| |解答题|7/61|解法、应用（增长率/利润）、新定义（间隔方程/衍生点）、文化探究（赵爽几何法）|综合创新，19题融合古代数学文化，20题“衍生点”培养模型意识，体现数学思维与表达|

2026年北师大版数学九年级上册 一元二次方程 单元检测（培优） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简得，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的最高次数为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．等腰三角形两边长是方程的两个根，那么这个三角形的周长（   ） A．10 B．11 C．12 D．10或11 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，利用因式分解法求出方程的解得到x的值为3或4，分两种情况考虑：当3为腰，4为底边时，求出周长；当3为底，4为腰时，求出周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 当3为等腰三角形的腰时，4为底边，此时三角形三边分别为，能构成三角形，故周长为； 当4为等腰三角形的腰时，3为底边，此时三角形三边分别为，能构成三角形，故周长为，综上，这个三角形的周长为10或11． 故选：D． 3．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根得出判别式是解题关键．注意分类讨论，避免漏解．关于的方程有实数根，那么分两种情况：①当时，方程一定有实数根；②当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围． 【详解】解：分类讨论： ①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根； ②当，即时，此时方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． ∴的取值范围为． 故选：A． 4．有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始1个细胞，一次分裂后细胞数为x， ∴ 二次分裂后细胞数为． 又∵ 二次分裂后共得225个细胞， ∴． 故选A． 5．若，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．或2 【答案】A 【分析】先将等式变形为，再由十字相乘法解一元二次方程可得． 【详解】解∶， 解得或， 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，十字相乘法解一元二次方程，整体的数学思想是解题的关键． 6．和是关于x的方程 的两个实根，且满足 则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方根与系数的关系，解不等式组等知识，先根据根的判别式求出m的取值范围，然后根据根与系数的关系并结合可得出，，解之即可． 【详解】解：∵x的方程有两个不同的实根， ∴， ∴或， 由一元二次方程根与系数的关系， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， ∴， 故选：B． 7．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，且由根与系数的关系可得， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把代入得：， 所以的值为． 8．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 10．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 11．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 12．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 13．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算和配方法求最小值问题，解决此题的关键是正确理解题目中新定义；由题中新定义得到的值，再把配方得到最小值即可； 【详解】解：∵一元二次方程与是“同族二次方程”， 即一元二次方程与是“同族二次方程”， 由新定义可知：此两个方程是一样的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴代数式的最小值是2025． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解：原方程两边同乘以4，得 ． 15．（1）解方程：； （2）如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即，第三步 由此可得，第四步 所以，．第五步 ①在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； ②请写出正确的解答过程． 【答案】（1），（2）① 三，配方错误； ② 解：， ， ， ， 即， ， ∴，． 【分析】本题考查解一元二次方程．熟悉利用因式分解法（十字相乘法）和配方法解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程：用十字相乘法分解为的形式，进而求解． （2）配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移项至等式右边，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． 【详解】（1）解：， ， 或, ∴，； （2）略 16．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设这个增长率为，由题意得到，利用直接开平方法求解即可得到答案； （2）设矩形空地的宽为米，则的长为米，从而得到方程，利用因式分解法求解，再根据取值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 则由题意得， 解得（负值不合题意，舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设矩形空地的宽为米，则的长为米， 则由题意得矩形面积为， 即， 整理得， ， 解得，， 米， ，则， 取，则米， 答：矩形空地的宽为米． 17．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 18．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”． (1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)已知关于x的方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”． (3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值． (4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2) 证明：由题意得， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 解得，， ∵ 方程是“间隔方程”； (3) (4)关于x的一元二次方程存在间隔点，此时． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确理解“间隔方程”的定义是解题的关键． （1）分别解四个方程求出对应方程的解，再根据“间隔方程”的定义逐一判断即可； （2）根据判别式即可判断方程的根的情况；利用因式分解法解方程得到方程的解，再根据“间隔方程”的定义判断即可； （3）设方程的两个实数根为，且满足，则，把点M坐标代入直线解析式中推出，根据题意可得不论为何值，等式一定成立，则，则可求出，，再由根与系数的关系可得答案； （4）假设关于x的一元二次方程存在间隔点，解方程得到，则，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， 解得或 ∵， ∴方程不是“间隔方程”； ②∵， ∴， 解得或， ∵， ∴方程是“间隔方程”； ③∵， ∴， 解得， ∵， ∴方程不是“间隔方程”； ④∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴方程是“间隔方程”； 故答案为：②④； （2）略 （3）解：∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上， ∴可设方程的两个实数根为，且满足， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上， ∴不论为何值，等式一定成立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， 假设关于x的一元二次方程存在间隔点， ∴原方程有两个不相等的实数根， 解方程得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程存在间隔点，此时． 19．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】(1)③ (2)，， (3)，3，1或3 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 20．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①衍生点的坐标为；②；（3）有， 【分析】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）①因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ②当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 试卷第18页（共18页） 试卷第17页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学九年级上册 一元二次方程 单元检测（培优） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．等腰三角形两边长是方程的两个根，那么这个三角形的周长（   ） A．10 B．11 C．12 D．10或11 3．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 4．有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．或2 6．和是关于x的方程 的两个实根，且满足 则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 8．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 10．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 11．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 12．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 13．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．解方程： (1)； (2)． 15．（1）解方程：； （2）如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即，第三步 由此可得，第四步 所以，．第五步 ①在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； ②请写出正确的解答过程． 16．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 17．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 18．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”． (1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)已知关于x的方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”． (3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值． (4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 19．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 20．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 试卷第2页（共5页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $