精品解析：贵州遵义市南白中学2026-2027学年高二上学期暑期作业学情评价数学试卷

遵义市南白中学2026-2027-1暑期作业学情评价 高二年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.所有题目答案均写在答题卡上，填写在试卷、草稿纸上无效. 3.选择题、判断题用2B铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题；在规定区域以外的答题不给分. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，” “是” “成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知， ， ，则 的值为（ ）． A. 25 B. 7 C. 5 D. 1 5. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲投篮一次投中的概率为，每次投篮是否投中相互独立，若甲连续投篮两次，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“两次均投中”与“恰好投中一次”为互斥事件 B. 事件“两次均未投中”与“至少投中一次”为对立事件 C. 恰好投中一次的概率为 D. 至多投中一次的概率为 10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 在区间上单调递增 B. 不是的一个周期 C. 当时，的值域为 D. 的图像关于轴对称 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正实数 满足：，则的最小值为_____. 13. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_________. 14. 记的外心为点O，且，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知，，． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 17. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 19. 在中，角A，，对应的边分别为，，，． （1）求角A； （2）法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2026-2027-1暑期作业学情评价 高二年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.所有题目答案均写在答题卡上，填写在试卷、草稿纸上无效. 3.选择题、判断题用2B铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题；在规定区域以外的答题不给分. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果． 【详解】因为； 故． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式直接计算. 【详解】. 3. 在中，” “是” “成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理完成边角互化，分别证明充分性与必要性，判定两个命题的等价关系. 【详解】在中，因，，则, 先证充分性： 等价于，由正弦定理得，化简得. 再证必要性： 由可得,由正弦定理得，即，进而可得. 综上，“” 是“ ”成立的充要条件. 4. 已知， ， ，则 的值为（ ）． A. 25 B. 7 C. 5 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 . 所以 . 5. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设及两角和的正切公式可得答案. 【详解】 6. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 8. 已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲投篮一次投中的概率为，每次投篮是否投中相互独立，若甲连续投篮两次，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“两次均投中”与“恰好投中一次”为互斥事件 B. 事件“两次均未投中”与“至少投中一次”为对立事件 C. 恰好投中一次的概率为 D. 至多投中一次的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义判断AB；利用相互独立事件的概率及互斥、对立 事件的概率公式计算判断CD. 【详解】对于A，事件“两次均投中”与“恰好投中一次”不能同时发生，是互斥事件，A正确； 对于B，事件“两次均未投中”与“至少投中一次”不能同时发生，但必有一个发生，是对立事件，B正确； 对于C，恰好投中一次的概率为，C错误； 对于D，两次均投中的概率为，所以至多投中一次的概率为，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 在区间上单调递增 B. 不是的一个周期 C. 当时，的值域为 D. 的图像关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过举反例取，得出单调递减；对于B，根据周期的定义，即可判断；对于C，由得出的解析式，设，即可得出值域；对于D，由奇偶函数的定义判断出为偶函数，即可判断D． 【详解】因为是上的偶函数，所以， 对于A： 当时，，设， 则，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以在单调递减，故A错误； 对于B： ，故B错误； 对于C： 当时，， 设， 则， 因为， 所以，故C正确； 对于D： 定义域为， 因为， 所以为偶函数，图像关于轴对称，故D正确； 故选：BCD． 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由重心的性质即可判断选项；由向量的线性运算即可判断选项；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点的位置，结合图象，及面积公式即可判断选项；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项． 【详解】解：对于，设的中点为，若， 则点是的重心，故正确； 对于，若，即有，即， 则点在边的延长线上，故错误； 对于，若，且， 由图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确； 对于，因为，所以， 即， 所以， 因为，所以点在的角平分线上， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正实数 满足：，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】 根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解. 【详解】，当且仅当 时取等号． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 13. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调性求解即可. 【详解】由， 得， 又因为， 所以，， 即，， 解得， 所以的取值范围为. 14. 记的外心为点O，且，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的三边分别为，利用三角形的外心的性质推得，根据向量数量积的运算律将待求式化成二次函数，利用其性质即可求得最小值. 【详解】 如图，设的三个内角所对的边分别为，因点是的外心， 过点分别作于，于，则. 于是，， ， 故（*）， 因即，也即， 代入（*），可得， 因，故当时，取得最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）7； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据终边上一点由三角函数的定义可求得的值，代入已知式可求值；（2）先利用余弦的和差角公式及诱导公式化简，再求值. 【小问1详解】 因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， 所以． 代入已知式得. 【小问2详解】 . 16. 已知，，． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】（1）解析式为；最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期； （2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值． 【小问1详解】 由，， 则， 所以的最小正周期为． 【小问2详解】 由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 17. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 【答案】（1），中位数为； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由频率分布直方图的性质计算可得，进而可得中位数； （2）先由分层抽样确定两层所抽取的人数，再按古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得. 本次联考该校数学成绩在的频率为， 在的频率为，在的频率为. 因为，， 所以中位数在之间，设为，则，解得. 所以本次联考该校数学成绩的中位数为. 【小问2详解】 因为成绩在的频率与成绩在的频率之比为， 所以成绩在的人数与成绩在的人数之比为， 因此按分层抽样抽取的人中成绩在的有人，成绩在的有人， 假设成绩在的人分别记为，， 成绩在的人分别记为，，，. 随机抽取两人的样本空间为： 共个， 两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含： 共个，所以. 因此抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率为. 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【小问1详解】 因为， ． ，． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． 【小问3详解】 在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 19. 在中，角A，，对应的边分别为，，，． （1）求角A； （2）法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明：设， 因为， 当且仅当，即共线时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立； ②最大值为3，当且仅当时，等号成立； ③ 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出A. （2）①设，根据数量积的性质和坐标运算分析证明；②令，根据题意结合①中不等式分析求解；③将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ①略 ②令， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 且，可得， 所以的最大值为3，当且仅当时，等号成立； ③. 又， 所以. 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以即，则. 令，则 因为，解得，当且仅当时等号成立. 所以.则. 令，则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $