第25章一元二次方程题型训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心，以“概念-解法-性质-应用”为逻辑主线，通过梯度化题型覆盖知识网络，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|8题|定义辨析、解的代入、一般形式转化|从概念本质出发，夯实二次项系数、常数项等基础要素| |解法|8小题|配方法、因式分解、公式法综合应用|承接概念，训练降次策略选择与运算能力| |根与系数关系|4题|判别式应用、代数式求值、新定义问题|深化方程性质，构建根与系数的逻辑关联| |实际问题|4题|几何面积、经济利润、日历规律建模|回归现实，培养用数学语言表达问题的模型意识|

2026-2027学年数学人教版九年级上册 第25章一元二次方程题型训练 题型汇总 题型1：一元二次方程的概念 题型2：降次——解一元二次方程 题型3：一元二次方程的根与系数的关系 题型4：实际问题与一元二次方程 课后巩固 题型1：一元二次方程的概念 1．（2026•濮阳模拟）一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．3 2．（2026•武威一模）若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2025秋•丹徒区期末）将关于x的一元二次方程x（x﹣1）＝3化为一般形式为（　　） A．x2﹣x＝3 B．x2﹣x+3＝0 C．x2﹣x﹣3＝0 D．x2+x﹣3＝0 4．（2026春•朝阳区校级期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣5＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≠0 5．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 6．（2026•靖江市校级三模）已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　 ． 7．（2026•长沙二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2026＝0（a≠0）的一个解，则1﹣2a﹣b的值为　 　 ． 8．（2025秋•陇南期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 题型2：降次——解一元二次方程 9．（2026•北京校级开学）解方程： （1）x2﹣2x﹣6＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 10．（2025秋•武侯区校级期末）解方程： （1）2x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 11．（2025秋•柘城县期末）解方程： （1）x2﹣6x＝7； （2）3x（2x﹣1）+1﹣2x＝0． 12．（2025秋•深圳期末）用适当的方法解下列方程： （1）x（x﹣2）＝4（x﹣2）； （2）3x2+5（2x+1）＝0． 题型3：一元二次方程的根与系数的关系 13．（2025秋•赛罕区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 14．（2026春•成武县期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围．； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求a的值． 15．（2026春•栖霞市期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+2m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 16．（2025秋•白塔区校级期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是 　 　 ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 题型4：实际问题与一元二次方程 17．（2026•武进区校级一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为31m，宽为17m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为275m2，求停车场内车道的宽度． 18．（2026•虹口区三模）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价＝每吨售价×年产量） 19．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为　 　 ，最大的数可用x表示为　 　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 20．（2025秋•象州县期末）学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边AB，另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值． 2026-2027学年数学人教版九年级上册 第25章一元二次方程题型训练 参考答案与试题解析 1．（2026•濮阳模拟）一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．3 【解答】解：由题意得，3x2﹣4x﹣2＝0， ∴常数项为﹣2， 故选：C． 2．（2026•武威一模）若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0中，得2×12﹣5×1+a＝0， 解得a＝3， 故选：A． 3．（2025秋•丹徒区期末）将关于x的一元二次方程x（x﹣1）＝3化为一般形式为（　　） A．x2﹣x＝3 B．x2﹣x+3＝0 C．x2﹣x﹣3＝0 D．x2+x﹣3＝0 【解答】解：∵x（x﹣1）＝3， ∴x2﹣x＝3， x2﹣x﹣3＝0， 即将关于x的一元二次方程x（x﹣1）＝3化为一般形式为x2﹣x﹣3＝0， 故选：C． 4．（2026春•朝阳区校级期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣5＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≠0 【解答】解：由题意得，m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 5．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 6．（2026•靖江市校级三模）已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　　 ． 【解答】解：将x＝a代入原方程得：a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴原式（a2﹣2a）5． 故答案为：． 7．（2026•长沙二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2026＝0（a≠0）的一个解，则1﹣2a﹣b的值为　﹣1012　 ． 【解答】解：由条件可知4a+2b﹣2026＝0， ∴2a+b＝1013， ∴1﹣2a﹣b＝1﹣（2a+b）＝1﹣1013＝﹣1012． 故答案为：﹣1012． 8．（2025秋•陇南期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 9．（2026•北京校级开学）解方程： （1）x2﹣2x﹣6＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0， x2﹣2x＝6， x2﹣2x+1＝6+1， （x﹣1）2＝7， ， x﹣1或x﹣1， ∴，； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2， 3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0， ∴，x2＝1． 10．（2025秋•武侯区校级期末）解方程： （1）2x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 【解答】解：（1）2x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 则x， 即x1，x2； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， 整理得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， 即（x﹣2）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝2，x2＝5． 11．（2025秋•柘城县期末）解方程： （1）x2﹣6x＝7； （2）3x（2x﹣1）+1﹣2x＝0． 【解答】解：（1）x2﹣6x＝7， x2﹣6x﹣7＝0， （x+1）（x﹣7）＝0， 则x+1＝0或x﹣7＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝7； （2）3x（2x﹣1）+1﹣2x＝0， 3x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（3x﹣1）＝0， 则2x﹣1＝0或3x﹣1＝0， 所以． 12．（2025秋•深圳期末）用适当的方法解下列方程： （1）x（x﹣2）＝4（x﹣2）； （2）3x2+5（2x+1）＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣2）＝4（x﹣2）， x（x﹣2）﹣4（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4； （2）由题意得，3x2+10x+5＝0， ∵a＝3，b＝10，c＝5， ∴Δ＝102﹣4×3×5＝100﹣60＝40， ∴， ∴． 13．（2025秋•赛罕区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（k﹣2）＝﹣4k+12， ∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根， ∴﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣2， ∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1， ∴k﹣2﹣2+1＝﹣1， ∴k＝2． 14．（2026春•成武县期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围．； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求a的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根， a≠0，Δ＝[2（a+1）]2﹣4a（a﹣1）＞0， 解得， ∴a的取值范围是且a≠0． （2）由题意可知， ，． 由 （x1+x2）2﹣2x1x2＝8可得： 28， 解得：a1，a2＝2， 经检验，a1，a2＝2是方程的解． ∵a的取值范围是且a≠0． ∴a＝2． 15．（2026春•栖霞市期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+2m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+2m﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（2m﹣1）≥0， 解得：m， ∴m的取值范围为m； （2）∵m为符合条件的最大整数， ∴m＝1，此时原方程为2x2﹣3x+1＝0， 即（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得：x1，x2＝1， ∴方程的解为x1，x2＝1． 16．（2025秋•白塔区校级期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是 x2﹣3x+2＝0　 ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 【解答】解：（1）一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”． 理由如下： 当x＝1时，4x2﹣11x+7＝0，则x＝1为方程的解， ∴一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”； （2）∵ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”， ∴a﹣3+c＝0， 把x＝2代入ax2﹣3x+c＝0得4a﹣6+c＝0， 解得a＝1，c＝2， ∴这个“黄金方程”为x2﹣3x+2＝0； 故答案为：x2﹣3x+2＝0； （3）∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”， ∴3﹣m+n＝0， 即n＝m﹣3， ∵m是此方程的一个根， ∴3m2﹣m2+n＝0， 即2m2+m﹣3＝0， 解得m1，m2＝1， 即m的值为或1． 17．（2026•武进区校级一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为31m，宽为17m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为275m2，求停车场内车道的宽度． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（31﹣x）m，宽为（17﹣x）m的矩形， 根据题意得：（31﹣x）（17﹣x）＝275， 整理得：x2﹣48x+252＝0， 解得：x1＝6，x2＝42（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为6m． 18．（2026•虹口区三模）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价＝每吨售价×年产量） 【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（20，70），（100，30）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+80； （2）根据题意得：x（﹣0.5x+80）＝2400， 整理得：x2﹣160x+4800＝0， 解得：x1＝40，x2＝120（不符合题意，舍去）． 答：该产品的年产量为40吨． 19．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为x+8　 ，最大的数可用x表示为x+16　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【解答】解：（1）∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7， ∴中间的数可用x表示为x+1+7＝x+8， 最大的数可用x表示为x+2+14＝x+16； 故答案为：x+8；x+16； （2）设最小数为x，最大数为x+16， 根据题意可列一元二次方程：x（x+16）＝192， 解得x＝8或x＝﹣24（不符合题意，舍去）， ∴最小数为8，最大数为8+16＝24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 20．（2025秋•象州县期末）学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边AB，另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值． 【解答】解：（1）∵篱笆的总长为26m，平行于墙一边CD长为xm， ∴垂直于墙一边CE长为m． 根据题意得：•x＝60， 整理得：x2﹣26x+120＝0， 解得：x1＝6，x2＝20（不符合题意，舍去）． 答：x的值为6； （2）∵篱笆的总长为26m，平行于墙一边CD长为xm， ∴垂直于墙一边CA长为（17﹣x）m． 根据题意得：（17﹣x）x＝60， 整理得：x2﹣17x+60＝0， 解得：x1＝5（不符合题意，舍去），x2＝12． 答：x的值为12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $