第25章一元二次方程 第26章 二次函数 自主阶段性综合训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数跨章整合，以题载知，通过基础概念、图像分析、实际应用及综合探究，构建“概念-性质-应用-迁移”的逻辑链条，渗透抽象能力、几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、填空11-13|考查定义、根与系数关系、函数定义|从方程定义到函数概念，形成代数基础| |图像与几何|单选8-10、填空14、解答19|结合图像判断、动态几何面积|函数图像与几何直观结合，体现数形转化| |实际应用|单选6-7、填空15、解答18-20|涉及面积、利润、运动轨迹|建立方程与函数模型，发展应用意识| |综合探究|解答21-22|存在性问题、面积最值|综合方程求解与函数性质，培养推理能力|

2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第25章一元二次方程第26章二次函数自主单元练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 3．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 4．已知是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 6．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．某校初二年级开展了一班一特色活动，班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 9．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A．B．C．D． 10．如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共5小题） 11．函数是关于的二次函数，则______． 12．若a是方程的一个解，则的值是________． 13．若，则的值为__________ 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 15．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 三、解答题一(共4小题） 16．解方程： (1)； (2)． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 18．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 19．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在右图中画出二次函数C的图象； (3)当时，利用图象直接写出y的取值范围； (4)当时，利用图象直接写出x的取值范围． 四、解答题二(共3小题） 20．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 21．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第25章一元二次方程第26章二次函数自主单元练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 3．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】根据题意，可知， 所以． 故选：B． 4．已知是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得：抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，即最大； ∵比离对称轴更远， ∴， ∴， 故选：D． 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 6．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：设参赛的足球队个数为个， 由题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 7．某校初二年级开展了一班一特色活动，班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵小道的宽为米， ∴种植部分可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意得：， 故选：B 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 9．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 10．如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 二、填空题(共5小题） 11．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 12．若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 13．若，则的值为__________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查乘法公式的运用，直接开方求代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 三、解答题一(共4小题） 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程变形为， 即， ．     ． ，； （2）解：原方程变形为， ，，． ， ，     ，． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 18．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 19．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在右图中画出二次函数C的图象； (3)当时，利用图象直接写出y的取值范围； (4)当时，利用图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象如图所示： (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，即为所求； 列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （3）略 （4）略 四、解答题二(共3小题） 20．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】(1)80 (2)当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 (3)16 【详解】（1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 21．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，Q点的坐标为或或 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：将、代入得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设点D的坐标为， 、， ， ∴，即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为：， 设，， ， 分两种情况讨论： ①当为边时，此时四边形和是平行四边形， ，，，， ∴，, 解得：，， 此时点Q的坐标为或． ②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形， ，， ∴，即， 此时点Q的坐标为； 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 22．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $