第25章一元二次方程典例精选与跟踪训练-2026-2027学年人教版 数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心，以“解法-性质-应用”为主线，系统整合概念辨析、多解法训练、代数推理及实际建模，突出运算能力与模型意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |典例精选|3道（解法/判别式/运动问题）|直接开方/公式/因式分解法、判别式证明、根与系数关系应用、行程问题建模|从概念定义到解法选择，再到根的性质（判别式/韦达定理），延伸至实际应用| |跟踪训练|18道（选择7/填空6/解答5）|整体代入法、构造方程法、新定义问题转化|覆盖概念辨析、参数取值、相似三角形综合，形成“基础-综合-拓展”递进链条|

第25章一元二次方程典例精选 1．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 2．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 3．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 跟踪训练 一、单选题 1．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 3．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知方程的一个根是，则的值是________． 9．已知是方程的一个根，则的值为______． 10．如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 11．某果农2010年的年收入为6万元，由于党的惠民政策的落实，2012年年收入增加到7.26万元，则平均每年的增长率是____________． 12．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 13．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 三、解答题 14．解方程 ： (1)； (2) (3) (4)； (5)． (6) 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 16．在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 17．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 18．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 2．(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 3．经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 跟踪训练答案 1．B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 2．B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 3．C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 4．B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 5．C 【分析】根据一元二次方程一般形式，对应找出各项系数，注意系数要包含本身的符号． 【详解】解：∵原方程为 ，符合一元二次方程的一般形式， ∴对应可得 ，，． 6．C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 7．C 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 8． 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 即：， ∴． 9．5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 10．且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式确定参数，列出不等式组求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴ 由， 得， 由， 得 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 11． 【分析】根据变化前收入，变化后收入的等量关系列出方程，求解后舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设平均每年的增长率为，根据题意得 方程两边同除以得 开平方得 解得，（增长率不能为负，不合题意，舍去）． 则平均每年的增长率是． 12．或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 13．3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 14．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： 或， （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 可得或 15．(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 16．解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可． 【详解】略 17．(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 18．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $