专题02知识点17：指数函数的图象与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，系统提炼指数函数图象识别、单调性应用等4类题型的解题方法，结合高考考情与易错点，培养数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，实现知识建构与解题能力的协同提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|4类核心题型，含单选8题、多选3题、解答5题|图象识别：增减性判断底数与1的关系+定点验证；单调性应用：底数分类讨论+中间量比较法；复合函数：定义域值域分步求解+“同增异减”法则；奇偶性：定义法判定|从指数函数定义出发，通过图象性质对比表构建认知，结合底数对图象升降、位置的影响规律，形成“概念生成-性质推导-应用拓展”的完整逻辑链|

知识点17：指数函数的图象与性质 一、核心知识框架 指数函数是高中数学的核心函数之一，在高考中主要考查指数函数的图象特征、单调性、值域及与指数相关的比较大小问题，常与对数函数、幂函数综合考查，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易，是高考的重要得分点 。 二、指数函数的概念 1. 定义 一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量， 是指数函数的底数 。 三、指数函数的图象与性质 1. 图象特征与性质对比表 项目 （） （） 图象 定义域 值域 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点 图象过定点 ，即 时， 图象过定点 ，即 时， 范围 时，； 时， 时，； 时， 2. 特别提醒 画指数函数 （ 且 ）的图象时，应抓住三个关键点：、、。根据图象过点 可以知道，在第一象限内，指数函数 （ 且 ）的图象越高，底数 越大 。 四、指数函数的底数对图象的影响 1. 底数与1的大小关系决定图象的"升"与"降" · 当 时，指数函数的图象是"上升"的，且当 时，底数 的值越大，函数的图象越"陡"，说明其函数值增长得越快 · 当 时，指数函数的图象是"下降"的，且当 时，底数 的值越小，函数的图象越"陡"，说明其函数值减小得越快 2. 底数的大小决定图象相对位置的高低 · 在 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即"底数大图象高" · 在 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即"底数大图象低" 五、常考题型与解题方法 题型一：指数函数的图象识别 解题思路：根据图象的增减性判断底数 与 1 的大小关系；根据过定点 和特殊点 确定底数 的值。 题型二：指数函数单调性的应用 解题思路： 1. 确定底数 与 1 的大小关系 1. 利用单调性比较两个指数式的大小 1. 当底数相同而指数不同时，直接利用单调性比较 1. 当底数不同而指数相同时，利用幂函数单调性或图象法比较 题型三：指数型复合函数的定义域与值域 解题思路： 1. 定义域：令指数部分取所有实数，整体定义域为 1. 值域：先求指数部分的值域，再结合指数函数的单调性求整体值域 题型四：指数型函数的单调性与奇偶性 解题思路： 1. 利用复合函数"同增异减"法则判断单调性 1. 利用定义判断奇偶性： 为偶函数， 为奇函数 六、高考考情分析 考向预测：指数函数是高考数学的必考内容，通常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏易 。常与对数函数、幂函数等知识结合，考查图象识别、比较大小、单调性应用等问题 。 常见考点： 1. 指数函数的图象与性质 1. 指数式的大小比较 1. 指数型复合函数的定义域、值域、单调性 1. 指数函数的实际应用（如增长率、衰减率模型） 1. 与对数函数、幂函数综合考查 七、易错提醒 1. 底数范围：指数函数的底数 且 ，忘记 是常见错误。 1. 单调性判断：底数 时单调递增， 时单调递减，不能混淆。 1. 值域为正实数：指数函数的值域为 ，不包括 0，即 恒成立。 1. 图象过定点：所有指数函数图象都过定点 ，但在进行图象变换时，定点位置会发生变化。 1. 复合函数单调性：判断指数型复合函数的单调性时，需注意内外层函数的单调性，遵循"同增异减"法则。 1. 比较大小：底数不同时，注意引入中间量（如 0 或 1）进行比较。 实战演练 一、单选题 1. 函数 的图象如图，其中 、 为常数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数 （）是偶函数，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 为奇函数，则 （ ） A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 5. 已知 ，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在 上的函数 满足 ，则函数 的最大值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 7. 放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质。在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减。一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为 （单位：天）。现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 、，开始记录时，这两种物质的质量相等，816天后测量发现甲的质量是乙的质量的8倍，则 、 应满足（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：mg/L）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 、 是正的常数。如果前3h消除了20%的污染物，那么前6h消除的污染物的占比为（ ） A. 19% B. 36% C. 64% D. 81% 二、多选题 9. 已知函数 ，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的单调递减区间为 D. 的图象关于直线 对称 10. 已知函数 ，若实数 、 满足 （），则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 是偶函数，则 B. 若 是奇函数，则 C. 若 ，则 的取值范围为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 函数 （ 且 ）的图象必经过点 ______。 13. 已知函数 是定义域上的奇函数，则 的值为 ______。 14. 函数 的值域是 ______。 四、解答题 15. 作出下列各函数的图象： （1） （2） （3） 16. 已知 （，且 ）。 （1）求函数 的定义域、值域； （2）讨论函数 的单调性。 17. 已知函数 ，其中 且 。 （1）若 ，，求 的最小值； （2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 18. 若函数 满足：，有 ， 和 同时成立，则称 为“类直线函数”。 （1）判断函数 是否为“类直线函数”； （2）设函数 ，   （i）若 为“类直线函数”，求实数 的取值范围；   （ii）若 ，求证：当 时，。 19. 一食品生产厂第 年生产某食品的年产量 （单位：吨）满足关系式 （）。已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品。 （1）求 的值； （2）若该厂第 （）年生产该食品的年产量比第 年增加的量不低于12.5吨，求整数 的最小值。 参考答案 一、单选题 1. 答案：D 解析：图像单调递减，说明指数函数 满足 。 ，图像由 平移得到。 当 时，，由图可知 。 因为 ，所以 。 综上：，，选 D。 2. 答案：A 解析：设， 的定义域为， · 且， · 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， · 又， · 当时，，，，，即，排除C， · 在上单调递减，排除B。 3. 答案：A 解析： ，偶函数满足 。 ，。 要使 恒成立，一组底数需是另一组的倒数，即 ，选 A。 4. 答案：C 解析： 是奇函数。当 时，。 要求 。由奇函数性质：，，所以 ，即 ，选 C。 5. 答案：B 解析： 单调递减，所以 ，即 。 在 单调递增，，所以 ，即 。 综上 ，选 B。 6. 答案：B 解析： 已知 （1）； 将 换成 ：（2）。 联立方程组： (1)×2 + (2)： 。 求最大值：，由基本不等式 。 所以最大值为 ，选 B。 7. 答案：B 解析： 半衰期公式：。 当 时，，。 由题意：，即 。 ，代入得 。 底数 单调，指数相等：，选 D。 8. 答案：B 解析： ，前 3h 消除 20%，剩余 80% 污染物。 时，，即 。 时：。 剩余 64%，消除占比：，选 B。 二、多选题 9. 答案：ACD 解析：，内层 。 A：定义域为 ，正确。 B：，，值域为 ，不是 ，错误。 C： 在 递减，外层 递增，复合函数同增异减， 递减区间为 ，正确。 D：内层 对称轴为 ，所以 图像关于 对称，正确。 10. 答案：AC 解析：，令 ，则 。 由 ，。 设 ，，则 ，且 。 整理得 ，。 A：，正确。 C：，正确。 11. 答案：AB 解析：。 A：偶函数 ：，正确。 B：奇函数 ：，正确。 C： 即 ， 可无限小， 不是必要条件，错误。 D：基本不等式成立需 ，题目未给出此条件，若 则不能用，错误。 三、填空题 12. 答案：(3, 3) 解析：指数函数 ；令 ；，所以定点为 。 13. 答案： 解析： 为奇函数，定义域 ，满足 。由此可解得 。 14. 答案：(0, 4] 解析：，令 ； 单调递增，所以 ，又 ；值域为 。 四、解答题 15. 解： (1) 由， 其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以的图象如下图所示： (2) 由， 所以的图象如下图所示： (3) 对于，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则的图象 如下图所示： 16. 解： (1) 定义域： 恒成立，定义域为 。 求值域：令 ，值域为 。 (2) 。 当 时， 递增， 递减， 递增， 在 上单调递增。 当 时， 递减， 递增， 递减， 在 上单调递减。 17. 解： (1) 令 ，则 。 当 即 时，取最小值 。 (2) ① 当 时， 递增， 时取最大值：， 全部成立。 ② 当 时， 递减， 时 ，最大值在 处：。 综上：。 18. 解： (1) ，。 代入不等式： 恒成立； 且 ，满足条件，是“类直线函数”。 (2) (i) 。 记 ，，。 条件： 时，，且 。 ，不等式化为 。 解得 ，同时 对 成立，故 的取值范围为 。 (ii) 时，。 求证：当 时， 左边：。 需证 。 移项得 。 因式分解：。 当 时，；，，故 。 乘积 ，不等式成立。 19. 解：(1) 时，； 时，。 由题意：。 (2) 时，。 第 年比第 年的增量： 。 要求 。 时，； 时，。 所以整数 的最小值为 4。 学科网（北京）股份有限公司 $