第五章三角函数单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第五章三角函数单元综合检测卷，120分钟150分，通过基础题与情境题（如“天津之眼”摩天轮、港口水深模型）结合，考查三角函数定义、图像变换等核心知识，适配单元复习，体现数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正切函数周期、充分条件判断、诱导公式|基础概念辨析，如第4题结合摩天轮转动考查弧度计算| |多选题|3/18|象限角判断、三角函数图像对称性|选项分层，如第10题综合图像变换与性质判断| |填空题|3/15|同角三角函数关系、函数单调性|第14题通过换元法求sinx+cosx-4sinxcosx值域| |解答题|5/77|三角恒等变换、图像绘制、实际应用模型|第19题港口水深问题，构建三角函数模型解决实际停留时间，体现模型意识与应用能力|

第五章单元综合检测卷 (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.函数y=tan x的最小正周期为 (　　) A.　 B.　 C.π　 D.2π 2.设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知α为第二象限角,sin α=,则sin(α-)的值为 (　　) A. B. C. D. 4.如图,被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮,是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需30分钟,且是匀速转动的,则经过5分钟,点B转过的角的弧度是 (　　) A. B. C. D. 5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为 (　　) A. B. C. D. 6.已知α∈(0,π),且3cos 2α+14cos α+7=0,则tan 2α= (　　) A.-　 B.- C.　 D. 7.将函数f(x)=cos(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)图象的一条对称轴方程是 (　　) A.x= B.x=- C.x= D.x= 8.函数f(x)=,x∈(-,)的图象大致是 (　　) 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 (　　) A.-是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 C.若角α的终边过点P(-3,4),则cos α=- D.若角α为锐角,则角2α为钝角 10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则 (　　) A.函数y=f(x)的图象关于点(-,0)对称 B.该图象向左平移个单位长度可得 y=3cos 2x的图象 C.该图象的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的可得y=sin(x+)的图象 D.函数y=f(x)在[-,-]上单调递减 11.如图所示,在平面直角坐标系中,以坐标原点为顶点,以x轴非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点.若点A的横坐标为,点B的纵坐标为,则下列结论正确的是 (　　) A.tan β=-4　 B.sin(α+β)= C.tan(β-α)=　 D.cos(2α-β)= 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.已知tan θ=3,则=　　.  13.已知函数f(x)=2sin(x+),若对于闭区间[a,b]中的任意两个不同的数x1,x2,都有<0成立,写出一个满足条件的闭区间　　.  14.函数y=sin x+cos x-4sin xcos x的值域是　　.  四、解答题(共77分) 15.(13分)已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=,且α是第二象限角,求cos(2α+)的值. 16.(15分)已知-<x<,sin x+cos x=. (1)求的值; (2)求sin x-cos x的值. 17.(15分)(2025·银川高一检测)已知函数f(x)=2sin xcos x+(cos2x-sin2x)+1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的单调递增区间; (3)求f(x)在区间[0,]上的最值. 18.(17分)已知函数f(x)=2sin x,g(x)=f(2x+). (1)请用“五点法”画出函数f(x)在区间[0,2π]上的大致图象(先列表,再画图); (2)求g(x)的单调递增区间; (3)若函数g(x)在区间[-,t]上的值域为[-1,2],求t的取值范围. 19.(17分)某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0, |φ|<,0≤t<24),其中h为水深(单位:米),t为时间(单位:小时),该函数部分图象如图所示.若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与水底的距离),则该船一天之内能在该港口停留多久? 答案 1.D 2.A 3.A 4.B. 5.A 6.C. 7.B.. 8.A 9.BC.. 10.ABC 11.ACD. 12.　　.  13.　[,](答案不唯一)　.  14.　[-2-,]　.  15. 答案：(1)f(α)==sin α. (2)因为α是第二象限角,f(α)=sin α=, 所以cos α=-=-,所以cos 2α=2cos2α-1=-,sin 2α=2sin αcos α=-, 所以cos(2α+)=cos 2αcos -sin 2αsin =-. 16. 答案：(1)因为sin x+cos x=,所以1+2sin xcos x=,即sin xcos x=-, 所以=sin xcos x=-. (2)由(1)知sin xcos x=-<0,又-<x<,所以cos x>0,sin x<0, 所以sin x-cos x=-=-=-. 17. 答案：(1)函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x+)+1, 所以f(x)的最小正周期为T==π. (2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (3)当x∈[0,]时,设z=2x+∈[,], 因为y=sin z在[,]上单调递增;在[,]上单调递减,又sin >sin ,故当z=2x+,即x=时,f(x)max=f()=3;当z=2x+,即x=时,f(x)min=f()=-+1; 所以f(x)在[0,]上的最大值为3,最小值为-+1. 18. 答案：(1)列表如下: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 2sin x 0 2 0 -2 0 在平面直角坐标系中描点连线,如图所示: (2)g(x)=f(2x+)=2sin (2x+). 因为y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z, 所以令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. (3)因为x∈[-,t],所以2x+∈[-,2t+],又g(-)=-1,所以≤2t+≤, 解得≤t≤,所以t的取值范围为[,]. 19. 答案：由题图可知:,可得:A=3,B=4. 由=11-5=6,得T=12,所以ω=. 因为3sin(5×+φ)+4=7,所以+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=-+2kπ(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=-,所以h=3sin(t-)+4(0≤t<24). 由题意得h=3sin(t-)+4≥4+1.5, 得sin(t-)≥,得+2kπ≤t-≤+2kπ(k∈Z),即3+12k≤t≤7+12k(k∈Z), 当k=0时,3≤t≤7,当k=1时,15≤t≤19,所以该船一天之内能在该港口停留7-3+19-15=8(小时). 学科网（北京）股份有限公司 $