1.11 有理数的混合运算 同步练习 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学有理数混合运算同步练，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三级分层，构建从单一运算到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|运算顺序、基本变形、简单运算|选择填空夯实基础，解答题强化符号意识| |能力提升|综合运算、实际应用（分段计费）|情境问题培养模型意识，易错辨析提升推理能力| |拓展探究|新运算定义、规律探究|创新题型发展抽象能力与创新意识|

第一章　有理数　1.11　有理数的混合运算 第一章　有理数 1.11　有理数的混合运算 建议用时：45分钟　　内容：运算顺序 · 括号的处理 · 运算律的运用 · 含绝对值的运算 · 实际应用 【课时学习目标】 1．掌握有理数混合运算的顺序，能正确进行加、减、乘、除、乘方的混合运算． 2．会处理含有多重括号的算式，能按"由内向外"的顺序去括号． 3．能灵活运用运算律使计算简便，提高运算的准确性与速度． 4．能用有理数的混合运算解决分段计费、盈亏核算等简单的实际问题． 一、知识点梳理 知识点1　有理数混合运算的顺序 有理数的混合运算，按下面的顺序进行： ① 先算乘方（三级运算）； ② 再算乘除（二级运算）； ③ 最后算加减（一级运算）； ④ 如果有括号，先算括号里面的；有多重括号时，一般按小括号、中括号、大括号的顺序，由内向外逐层计算； ⑤ 同级运算按照从左到右的顺序进行． 有理数混合运算的顺序 知识点2　混合运算中的常见变形 ① 除法化乘法：（），把乘除统一成乘法后只需定一次符号； ② 带分数化假分数、小数化分数（或分数化小数），使运算形式统一； ③ 乘方先算出结果再参与其他运算，注意 与 的区别； ④ 分数线具有括号的作用，如 表示 ． 例如：． 知识点3　运用运算律进行简便计算 ① 分配律的正用：，常用于括号内是几个分数的和且括号外的数能整除的情形； ② 分配律的逆用：，常用于几项含有公因数的情形； ③ 凑整与结合：把互为相反数、互为倒数或相加（相乘）得整数的项结合在一起； ④ 除以一个数时，可先求出整个括号的倒数再取倒数，避免通分． 知识点4　含绝对值的混合运算 含绝对值的算式，绝对值符号相当于括号：要先算出绝对值符号里面的结果，再化简绝对值，最后按混合运算顺序计算． 例如：． 判断绝对值内式子的符号是关键：当 时 ；当 时 ． 用混合运算探索图形中的规律：第 个图形中小正方形的个数为 易错提醒 ① 不能"见到乘除就从左往右不看括号"，也不能"先加减后乘除"，顺序不可颠倒； ② 应先算 再取相反数，结果是 ； ③ 去多重括号时，括号前是""号，括号内各项都要变号； ④ 不能算成 ，乘除同级，必须从左到右； ⑤ 用分配律时不要漏乘括号内的某一项，尤其是常数项． 二、典例精析 例1　计算：． 分析：先算乘方，再算乘法，最后算加减． 解答：原式 ． 点评： 的底数是 3，结果为 ； 的底数是 ，结果为 ． 例2　计算：． 分析：先分别算出两个乘方，再把除法化为乘法． 解答：原式 ． 负因数有 2 个，积为正，原式 ． 点评：，它的倒数是 ，不要写成 或 ． 例3　计算：． 分析：先算中括号内的乘方，再算中括号内的减法，最后算乘除． 解答：原式 ． 点评：乘除是同级运算，必须从左到右依次进行，不能先算后面的乘法． 例4　用简便方法计算：． 分析：括号外的 能被各分母整除，正用分配律． 解答：原式 ． 点评：每一项都要乘 ，并注意各项前面的符号． 例5　计算：． 分析：绝对值相当于括号，先算里面，再化简绝对值． 解答：，所以 ；． 原式 ． 点评：绝对值内含有乘方与加减时，一定要先算完再去掉绝对值符号． 例6　某出租车公司规定：起步价 8 元（含 3 km），超过 3 km 的部分每千米收 元，另每次收燃油附加费 1 元． （1）某乘客乘车 km，应付车费多少元？ （2）若某乘客付了 33 元车费，求他乘车的路程． 分析：总费用 起步价 超出部分的费用 燃油附加费． 解答：（1）超出 （km），车费为 （元）． （2）设乘车 km（），由 得 ，，． 答：（1）应付 元；（2）他乘车 13 km． 点评：分段计费问题要先判断是否超出第一段，再列混合运算式． 三、基础巩固 （一）选择题 1．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 5．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 6．算式 的值是（　　） A． B． C． D． 7．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． （二）填空题 9．计算：________． 10．计算：________． 11．计算：________． 12．计算：________． 13．用简便方法计算：________． 14．计算：________． 15．若 ，则 ________． 16．某商品进价 200 元，标价 300 元，按标价的八折出售，则每件商品的利润是________元． （三）解答题 17．计算： （1）；　　　　　　　（2）； （3）；　　　　（4）． 18．计算： （1）； （2）； （3）． 19．计算： （1）； （2）； 20．计算：． 21．计算：． 22．某快递公司寄件收费标准为：首重 1 kg 收费 12 元，续重每千克收费 3 元（不足 1 kg 按 1 kg 计算）． （1）寄一件质量为 5 kg 的物品，应付多少元？ （2）小明寄一件物品付了 33 元，这件物品的质量最多是多少千克？ 四、能力提升 23．已知 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 的倒数是它本身且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 24．下列各式中，运算结果最小的是（　　） A． B． C． D． 25．按下面的程序计算：输入 ，先算 ，再减去 4，最后除以 ．若输入 ，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 26．计算：________． 27．计算：． 28．某检修组从 A 地出发，在东西方向的公路上检修线路，规定向东为正、向西为负，某天的行驶记录（单位：km）为：，，，，，，． （1）收工时检修组在 A 地的哪个方向？距 A 地多远？ （2）若汽车每行驶 1 km 耗油 L，每升汽油 元，求这一天的油费． 五、拓展探究 29．阅读材料：由 ，可得 ，， 请利用上述规律计算： （1）； （2）． 30．定义一种新运算：对于任意有理数 ，，规定 ． （1）计算：； （2）计算：； （3）若 ，求 的值． 六、易错专练 31．下面是小明计算 的过程，请指出错误并写出正确的解答． 解：原式 ． 32．小丽计算 时是这样做的： 解：原式 ． 她的做法对吗？为什么？请写出正确的解答． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．A 先算乘法：，再算减法：． 2．B 的底数是 2，，所以原式 ． 3．C A．；B．；C．，正确；D．． 4．D ，原式 ． 5．C ，，所以原式 ． 6．A 分数线有括号的作用：原式 ． 7．A ，，原式 ． 8．A ，，．因为 ，所以 ． （二）填空题 9． 先算乘方 ，再算乘法 ，最后 ． 10． ，原式 ． 11． 原式 ．负因数有 2 个，积为正，结果为 ． 12． ，；．所以原式 ． 13． 原式 ． 14． 中括号内 ，原式 ． 15． 时，，，，，和为 ． 16． 售价为 （元），利润为 （元）． （三）解答题 17．（1）；（2）；（3）；（4） （1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 （先算 ）． （4），，原式 ． 18．（1）；（2）；（3） （1）原式 ．负因数有 2 个，积为正，． （2），，所以 ；又 ． 原式 ． （3）中括号内 ；，．原式 ． 19．（1）；（2） （1）原式 ． （2）逆用分配律：原式 ． 20． ，，． 原式 ． 21． 中括号内：，，所以中括号内 ． 又 ，所以原式 ． 22．（1） 元；（2） kg （1）续重为 （kg），费用为 （元）． （2）续重费用为 （元），续重为 （kg）． 所以物品质量最多为 （kg）． 四、能力提升 23．C 最大的负整数 ，绝对值最小的有理数 ，倒数是它本身且为负的数 ． 所以 ． 24．A A．；B．；C．；D．． 因为 ，所以结果最小的是 A． 25．B 输入 ：先算 ，再算 ，最后 ． 26． 原式 ． 负因数有 2 个，积为正，结果为 ． 27． 先算小括号：，． 再算中括号：． 又 ，所以原式 ． 28．（1）东方， km；（2） 元 （1）． 结果为正，所以收工时在 A 地的东方，距 A 地 12 km． （2）总路程为 （km）． 耗油 （L），油费为 （元）． 五、拓展探究 29．（1）；（2） （1）原式 ． 中间各项依次抵消，原式 ． （2）括号内 ． 所以原式 ． 30．（1）；（2）；（3） 或 （1）． （2）先算 ． 再算 ． （3）由定义得 ，即 ，所以 ， 或 ． 六、易错专练 31．错在 算成了 4，正确结果为 错因： 的底数是 2，应先算 ，再取相反数，得 ；小明误把它当成了 ． 正确解法：中括号内 ． 原式 ． 小结：只有底数带括号时，负号才参与乘方． 32．不对，正确结果为 错因：除法没有分配律，即 ．分配律只对乘法与加（减）法成立． 正确解法：先算括号内 ． 所以原式 ． — — 学科网（北京）股份有限公司 $