1.10 有理数的乘方同步练习 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

第一章　有理数

1.10　有理数的乘方

 

建议用时：45分钟　　内容：乘方的意义 · 底数与指数 · 幂的符号 · 易混式子的区别 · 实际应用

【课时学习目标】 1．理解乘方的意义，会正确读、写幂，能指出底数与指数． 2．掌握有理数乘方的符号法则，会计算有理数的正整数次幂． 3．能区分 与 、 与 等易混式子． 4．能用乘方表示实际问题中的倍增规律，体会乘方运算的实际意义．

 

一、知识点梳理

知识点1　乘方的意义 求 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 在 中， 叫做底数， 叫做指数， 读作" 的 次方"，也读作" 的 次幂"． 即 （式子中共有 个 相乘）． 特别地：（指数为 1 时通常省略不写）； 读作" 的平方"， 读作" 的立方"． 例如：，底数是 ，指数是 4．

 

边长为 的正方形面积是 ，棱长为 的正方体体积是 ，这就是"平方""立方"名称的由来

知识点2　乘方的符号法则 ① 正数的任何正整数次幂都是正数； ② 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数； ③ 0 的任何正整数次幂都是 0． 简记为："正数的幂恒正，负数的幂看指数的奇偶．" 例如：（奇次幂为负），（偶次幂为正），，． 计算步骤：先由底数的符号和指数的奇偶确定幂的符号，再把底数的绝对值乘方．

 

知识点3　几个易混式子的区别

① 与 ： 的底数是 ； 表示 的相反数，底数是 ． 如 ，而 ． ② 与 ：前者底数是 ，等于 ；后者只有 2 是底数，等于 ． ③ 底数是负数或分数（含带分数）时，必须加括号，如 ，． ④ ：当 为奇数时等于 ；当 为偶数时等于 1．

 

知识点4　几个常用的结论 ① 1 的任何正整数次幂都是 1； 的偶次幂是 1，奇次幂是 ； ② 任何有理数的偶次幂都是非负数，即 ； ③ 平方等于它本身的数是 0 和 1；立方等于它本身的数是 0，1，； ④ 若 ，则 且 （非负数的和为 0，则每一项都为 0）．

 

一张纸对折 次后的层数是

易错提醒 ① 与 不同：前者等于 ，后者等于 9，关键看底数是谁； ② 计算 时不要写成 ，乘方是相同因数相乘，不是"底数乘指数"； ③ 底数是分数时括号不能省，，而 虽然相等，但 与它们都不同； ④ 与 不同： 是 2 个 相乘， 是 2 个 相加．

 

二、典例精析

例1　把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数：

（1）；　　（2）；　　（3）．

解答：（1），底数是 ，指数是 3．

（2）原式 ，底数是 ，指数是 4．

（3）原式 ，底数是 6，指数是 2．

点评：第（3）题中的负号在括号外面，底数只能是 6，不能写成 ．

例2　计算：

（1）；　（2）；　（3）；　（4）．

分析：先确定幂的符号，再算绝对值的乘方；注意负号在括号内还是括号外．

解答：（1）（负数的奇次幂为负）．

（2）（底数是 4，先乘方，再取相反数）．

（3）（负数的偶次幂为正）．

（4）．

点评：（1）（2）结果相同是巧合，如果指数改成偶数，结果的符号就不同了．

例3　计算：

（1）；　　（2）．

解答：（1）2025 是奇数，；2026 是偶数，．

所以原式 ．

（2），．

所以原式 ．

点评：带分数作底数时必须先化成假分数，否则容易算成 ．

例4　已知 ，求 与 的值．

分析：绝对值和偶次幂都是非负数，它们的和为 0，说明每一项都等于 0．

解答：由题意得 ，，所以 ，．

．

．

点评："几个非负数的和等于 0"是常用结论，一定要会用．

例5　一张厚度为 mm 的纸，对折一次后厚度为 mm，对折两次后厚度为 mm．

（1）对折 5 次后纸的厚度是多少毫米？

（2）对折 10 次后纸的厚度是多少毫米？合多少厘米？

分析：对折 次后的层数是 ，厚度为 mm．

解答：（1）（mm）．

（2）（mm），即 cm．

点评：乘方增长非常快，这就是"倍增"的威力．

例6　观察下列各数：，，，，，

（1）写出第 6 个数和第 7 个数；

（2）第 个数怎样表示？

分析：各数的绝对值依次是 ，，，，符号是负、正相间，第奇数个为负．