1.10 有理数的乘方同步练习 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学有理数的乘方同步练，通过基础巩固、能力提升、拓展探究、易错专练四层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|乘方意义、符号法则、基本运算|选择/填空/解答题结合，聚焦单一知识点辨析与计算| |能力提升|易混式子区别、非负数性质|综合辨析题（如符号与指数关系），提升推理意识| |拓展探究|倍增规律、数式规律|实际情境题（折纸厚度、细胞分裂），培养模型意识| |易错专练|底数辨析、符号错误|错题辨析与纠正，强化严谨思维|

第一章　有理数　1.10　有理数的乘方 第一章　有理数 1.10　有理数的乘方 建议用时：45分钟　　内容：乘方的意义 · 底数与指数 · 幂的符号 · 易混式子的区别 · 实际应用 【课时学习目标】 1．理解乘方的意义，会正确读、写幂，能指出底数与指数． 2．掌握有理数乘方的符号法则，会计算有理数的正整数次幂． 3．能区分 与 、 与 等易混式子． 4．能用乘方表示实际问题中的倍增规律，体会乘方运算的实际意义． 一、知识点梳理 知识点1　乘方的意义 求 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 在 中， 叫做底数， 叫做指数， 读作" 的 次方"，也读作" 的 次幂"． 即 （式子中共有 个 相乘）． 特别地：（指数为 1 时通常省略不写）； 读作" 的平方"， 读作" 的立方"． 例如：，底数是 ，指数是 4． 边长为 的正方形面积是 ，棱长为 的正方体体积是 ，这就是"平方""立方"名称的由来 知识点2　乘方的符号法则 ① 正数的任何正整数次幂都是正数； ② 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数； ③ 0 的任何正整数次幂都是 0． 简记为："正数的幂恒正，负数的幂看指数的奇偶．" 例如：（奇次幂为负），（偶次幂为正），，． 计算步骤：先由底数的符号和指数的奇偶确定幂的符号，再把底数的绝对值乘方． 知识点3　几个易混式子的区别 ① 与 ： 的底数是 ； 表示 的相反数，底数是 ． 如 ，而 ． ② 与 ：前者底数是 ，等于 ；后者只有 2 是底数，等于 ． ③ 底数是负数或分数（含带分数）时，必须加括号，如 ，． ④ ：当 为奇数时等于 ；当 为偶数时等于 1． 知识点4　几个常用的结论 ① 1 的任何正整数次幂都是 1； 的偶次幂是 1，奇次幂是 ； ② 任何有理数的偶次幂都是非负数，即 ； ③ 平方等于它本身的数是 0 和 1；立方等于它本身的数是 0，1，； ④ 若 ，则 且 （非负数的和为 0，则每一项都为 0）． 一张纸对折 次后的层数是 易错提醒 ① 与 不同：前者等于 ，后者等于 9，关键看底数是谁； ② 计算 时不要写成 ，乘方是相同因数相乘，不是"底数乘指数"； ③ 底数是分数时括号不能省，，而 虽然相等，但 与它们都不同； ④ 与 不同： 是 2 个 相乘， 是 2 个 相加． 二、典例精析 例1　把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数： （1）；　　（2）；　　（3）． 解答：（1），底数是 ，指数是 3． （2）原式 ，底数是 ，指数是 4． （3）原式 ，底数是 6，指数是 2． 点评：第（3）题中的负号在括号外面，底数只能是 6，不能写成 ． 例2　计算： （1）；　（2）；　（3）；　（4）． 分析：先确定幂的符号，再算绝对值的乘方；注意负号在括号内还是括号外． 解答：（1）（负数的奇次幂为负）． （2）（底数是 4，先乘方，再取相反数）． （3）（负数的偶次幂为正）． （4）． 点评：（1）（2）结果相同是巧合，如果指数改成偶数，结果的符号就不同了． 例3　计算： （1）；　　（2）． 解答：（1）2025 是奇数，；2026 是偶数，． 所以原式 ． （2），． 所以原式 ． 点评：带分数作底数时必须先化成假分数，否则容易算成 ． 例4　已知 ，求 与 的值． 分析：绝对值和偶次幂都是非负数，它们的和为 0，说明每一项都等于 0． 解答：由题意得 ，，所以 ，． ． ． 点评："几个非负数的和等于 0"是常用结论，一定要会用． 例5　一张厚度为 mm 的纸，对折一次后厚度为 mm，对折两次后厚度为 mm． （1）对折 5 次后纸的厚度是多少毫米？ （2）对折 10 次后纸的厚度是多少毫米？合多少厘米？ 分析：对折 次后的层数是 ，厚度为 mm． 解答：（1）（mm）． （2）（mm），即 cm． 点评：乘方增长非常快，这就是"倍增"的威力． 例6　观察下列各数：，，，，， （1）写出第 6 个数和第 7 个数； （2）第 个数怎样表示？ 分析：各数的绝对值依次是 ，，，，符号是负、正相间，第奇数个为负． 解答：（1）第 6 个数是 ，第 7 个数是 ． （2）第 个数是 ． 点评：符号"正负相间"通常用 或直接把负号放进底数来表示． 三、基础巩固 （一）选择题 1． 中，底数与指数分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，值为正数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 5．一个数的平方等于它本身，这个数是（　　） A． B． C． 或 D．， 或 6．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 8．已知 为正整数，则 的值为（　　） A． B． C． D． （二）填空题 9． 读作________________，其中底数是________，指数是________． 10．计算：________，________． 11．计算：________． 12．________． 13．若 ，则 ________． 14．一个数的立方等于它本身，这样的数共有________个，它们是________． 15．若 ，则 ________． 16．某种细胞每 30 min 分裂一次，每次由 1 个分裂成 2 个．经过 3 h，1 个这样的细胞可以分裂成________个． （三）解答题 17．计算： （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）． 18．计算： （1）；　　　　　　　（2）； （3）；　　　　　　（4）． 19．计算： （1）； （2）； （3）． 20．已知 ，，求下列各式的值： （1）；　　（2）；　　（3）． 21．已知 ，求 的值． 22．一根长 m 的绳子，第一次剪去一半，第二次再剪去剩下的一半，……，这样一直剪下去． （1）第 3 次剪完后剩下的绳子有多长？ （2）第 次剪完后剩下的绳子有多长？（用乘方表示） 四、能力提升 23．若 ，则下列各式中一定是正数的是（　　） A． B． C． D． 24．已知 （ 为正整数），则 的值为（　　） A． B． C． D． 25．下列说法中正确的是（　　） A．一个数的偶次幂一定大于 0 B．若 ，则 C．互为相反数的两个数的偶次幂相等 D．一个数的奇次幂一定小于这个数 26．计算：________． 27．已知 ，，且 ，求 的值． 28．某种细菌每过 20 min 由 1 个分裂成 2 个． （1）经过 2 h，1 个这样的细菌能分裂成多少个？ （2）若开始时有 3 个这样的细菌，经过 2 h 共有多少个？ 五、拓展探究 29．观察下列等式：，，，，，，，， （1） 的个位数字有什么规律？ （2）求 的个位数字； （3）求 的个位数字． 30．把一张长方形纸片沿中间对折，然后再沿中间对折，每次都沿同一方向对折． （1）对折 1 次、2 次、3 次后，纸片被分成多少层？分别写成乘方的形式； （2）若这张纸的面积为 ，对折 次后每一层的面积是多少？ （3）已知这张纸的厚度为 mm，对折 20 次后（假设能折得动）厚度约为多少米？（，结果保留整数） 六、易错专练 31．下面是小刚的四道计算题，请判断对错，错误的写出正确答案． （1）；（　　）　　（2）；（　　） （3）；（　　）　（4）．（　　） 32．小丽认为" 且 "．你同意吗？请举例说明，并写出正确的结论． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．B 括号内的 是底数，右上角的 5 是指数． 2．B 负数的奇次幂为负，． 3．C A．；B．；C．，为正；D．． 4．B A．，；B．，，相等；C．，；D．，． 5．C ，，而 ，所以这个数是 0 或 1． 6．B 负数的奇次幂为负，． 7．C ，，所以 或 ． 8．A 是奇数，； 是偶数，．所以原式 ． （二）填空题 9．负 的 4 次方（或 4 次幂）；； 底数是括号内的整体 ，指数是 4． 10．； 的底数是 5，先算 再取相反数； 的底数是 ，偶次幂为正． 11． 负数的奇次幂为负，，所以结果为 ． 12． ，，所以原式 ． 13． 或 因为 ，，所以 ． 14．；，， ，，，共 3 个． 15． 由非负数的和为 0 得 ，，所以 ，，． 16． 3 h min，，即分裂 6 次，共有 （个）． （三）解答题 17．（1）；（2）；（3）；（4） （1）． （2），底数是 6． （3）9 是奇数，． （4）0 的任何正整数次幂都是 0． 18．（1）；（2）；（3）；（4） （1）负数的偶次幂为正，． （2），． （3）先算 ，再取相反数，得 ． （4）． 19．（1）；（2）；（3） （1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 20．（1）；（2）；（3） （1）． （2）． （3）． 21． 由非负数的和为 0 得 ，，所以 ，． ． 22．（1） m；（2） m （1）每剪一次剩下上一次的一半，第 3 次后剩下 （m）． （2）第 次剪完后剩下 m． 四、能力提升 23．C 时，；；；．只有 一定是正数． 24．B （偶次幂为正），由 得 ，所以 ． 25．C A 错， 的偶次幂等于 0，不大于 0；B 错，如 但 ；C 对，；D 错，如 成立，但 ． 26． 奇数次幂为 ，偶数次幂为 1，两两配对： 共有 对，每对的和为 0，所以总和为 0． 27． 或 由 得 ；由 得 ．又 ，所以 ， 异号． 当 ， 时，； 当 ， 时，． 所以 的值为 1 或 17． 28．（1） 个；（2） 个 （1）2 h min，，分裂 6 次，1 个细菌分裂成 （个）． （2）（个）． 五、拓展探究 29．（1）个位数字以 ，，， 循环；（2）；（3） （1），，， 的个位数字依次为 2，4，8，6，之后每 4 个一循环． （2），余数是 2，所以 的个位数字与 相同，是 4． （3）每一组 4 个数的个位数字之和为 ，个位为 0． 共有 506 组，余下 ， 两项，它们的个位数字分别是 2，4． 所以总和的个位数字为 ． 30．（1），， 层；（2）；（3）约 m （1）对折 1 次分成 2 层，即 ；对折 2 次分成 4 层，即 ；对折 3 次分成 8 层，即 ． （2）对折 次共分成 层，每层面积为 ． （3）厚度为 （mm） m，约 84 m． 六、易错专练 31．（1）×，；（2）×，；（3）×，；（4）×， （1） 的底数是 3，应先算 ，再取相反数，结果为 ． （2），不能算成底数乘指数． （3）负数的偶次幂为正，． （4） 表示 的相反数，，所以结果为 ． 32．不同意 是正确的，因为偶次幂的结果与底数的符号无关． 但 是错误的．例如取 ：，而 ，． 正确的结论是：，（ 为正整数），即偶次幂相等，奇次幂互为相反数． — — 学科网（北京）股份有限公司 $