重难点专训01 平面向量中的四心问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以四心概念为起点，构建“定义-向量表示-坐标公式-题型应用”逻辑链，提炼专属解题技巧，分层训练突破平面向量高频难点 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|4核心结论|重心GA+GB+GC=0等向量结论，垂心数量积为0转化，内心aIA+bIB+cIC=0公式，外心模长相等运算|概念生成→向量表征→坐标运算→综合应用| |题型通法|12题（4题型×2典例+1变式）|基底法与坐标法切换，结合图形验证规避公式混淆|四心特性→题型分类→变式拓展| |分层过关|9题（巩固5+创新4）|欧拉线等综合应用，面积比与轨迹问题|基础巩固→能力提升→创新迁移|

重难点专训01 平面向量中的四心问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 重心问题 2 题型2 垂心问题 4 题型3 内心问题 6 题型4 外心问题 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 19 解题方法及技巧提炼 1．三角形的重心及向量表示 (1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1. (2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心. (3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P. 2．三角形的垂心及向量表示 (1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心. (2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心. 3．三角形的内心及向量表示 (1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心. (2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心. 4．三角形的外心及向量表示 (1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等. (2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心. 题型通法及变式提升 题型1 重心问题 【典例1-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 【答案】A 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点分别是的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边的长为6. 三角形重心是三条中线交点，牢记向量核心结论：若G为△ABC重心，则GA+GB+GC=0，AG=1/3​(AB+AC)。重心坐标为三个顶点坐标的平均值，该公式在建系法中可以直接使用，大幅简化计算。解题优先判断是否出现重心条件，灵活切换基底法与坐标法。遇到向量表达式，可借助重心结论快速转化向量关系，不用重复推导中线向量。天津高考常在小题综合考查，注意区分重心、外心、内心向量公式，不要记混。计算完成回代检验，结合图形验证，规避系数写错的低级失误。 【典例1-2】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 【变式1-1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 题型2 垂心问题 【典例2-1】（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 三角形垂心为三条高线的交点，核心向量条件：H是△ABC垂心，则AH⋅BC=0，BH⋅AC=0，CH⋅AB=0，即垂心与顶点连线垂直对边。解题看到垂心，优先转化向量数量积为 0，可建立坐标系，利用垂直斜率关系列式求解。熟记相关向量变形，区分垂心与重心、外心、内心公式，不要混淆结论。天津高考多为小题，几何图形优先建系，把垂直条件转化坐标运算。做题善用数量积运算化简式子，结合图形分析，做完回代验证，警惕直接套用记忆结论而忽略题目条件的错误。 【典例2-2】（2026·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用的重心、外心、垂心、内心的位置特征，结合向量的线性运算，求出并比较大小. 【详解】直角三角形中，，为中点，的重心为，如图所示，   ， 则，； 直角三角形中，，的外心为，则为中点，如图所示，   ，则，； 直角三角形中，，的垂心为，则与点重合，， 则，； 直角三角形中，，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，    直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为， 则，得， ， ，. 最大，所以当取最大值时，. 故选：B. 【变式2-1】（2026·云南·模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由题意知，中，， 则， 即， 所以， 即， 同理，，； 所以是的垂心. 故选：C 题型3 内心问题 【典例3-1】（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 三角形内心是三条角平分线交点，也是内切圆圆心，到三边距离相等。核心向量结论：若I为△ABC内心，则aIA+bIB+cIC=0，其中a,b,c为三角形三边边长。角平分线向量可借助单位向量构造，两个邻边单位向量相加指向角平分线方向。解题可采用基底分解或者建系坐标法，看见角平分线条件优先联想内心。天津高考一般作为小题难点，注意区分内心、重心、外心的向量公式，不要混淆系数。做题结合图形理解向量几何意义，不要死记公式，计算后回代检验，防止边长对应系数匹配出错。 【典例3-2】（2026·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案. 【详解】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 故选：B 【变式3-1】（2026·云南大理·调研）在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 题型4 外心问题 【典例4-1】（2026·全国·调研）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 三角形外心是三边垂直平分线交点，为外接圆圆心，到三个顶点距离相等，即∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣。遇到外心条件，优先转化为向量模长相等，常对模平方，转为数量积运算。外心向量公式难度较高，不建议死记，多用坐标法，利用点在垂直平分线上列式求解。天津高考多作为小题压轴，要分清外心、内心、重心、垂心的向量结论，避免公式混淆。解题可结合圆的几何性质辅助分析，灵活切换基底与建系，计算完成回代验证，重点防范模长平方展开遗漏交叉项。 【典例4-2】（2026·河北衡水·模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案. 【详解】设的中点为， 因为， 所以， 即，两端同时点乘， 所以 ， 所以， 所以点在的垂直平分线上，即经过的外心. 故选：B. 【变式4-1】（2026·全国·模拟预测）设锐角的外心为，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案. 【详解】    如图，圆是锐角的外接圆，设其半径为， 则， 由可得，即， 也即①. 又由两边平方可得，即， 也即② 联立①和②，解得，因为锐角三角形，故有，， 从而，， 于是，. 故选：A. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）在数列中，，，，，若在中，为内一点，有，直线的延长线交于点，求的值为______． 【答案】 【分析】根据已知条件推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可得出，再结合平面向量线性运算、平面向量共线的推论可求出的值. 【详解】已知，因为，等式两边同时除以， 得到，即，所以数列是等差数列． 已知，，则，． 所以等差数列的公差． 根据等差数列通项公式得，那么． 所以，，，． 由，可得． 因为，所以． 展开可得，移项整理得． 设，即，即①， 又设，即，可得②， 由①②得， 因为，所以， 由可得， 因为为内一点，则、不共线， 由平面向量的基本定理可得，解得，即，故. 故答案为：. 3．（2025·广东深圳·联考）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 【答案】 3 或 【分析】根据重心的性质得出，进而都化为以点为起点的向量，即可得出空一；根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 【详解】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心的性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或. 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，. 故答案为：3；或. 4．（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法性质分析可得，可知点在平行四边形的中位线上，即可得结果. 【详解】因为，即， 设线段的中点分别为， 可得，即， 设线段的中点为，可得，即， 可知点在线段上，且， 可知点在平行四边形的中位线上，所以. 5．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 创新提升 1．（2026·江西·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由三角形内心的性质与半角公式求解 【详解】由，得， 即， 整理可得， 故点P在的平分线上，同理可得点P在的平分线上， 所以点P为的内心． 如图，延长，交于点D，过点P作，，垂足分别为E，F，    设，， 由，得， 由D，A，C三点共线得， 所以． 因为，所以， 代入得，当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为． 2．（高三数学临考冲刺原创卷（一））已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可确定，，为圆的直径，求得，计算面积即可． 【详解】直线把圆的周长分为的两部分，则弦所对圆心角为，即． 因为直线平分圆，所以为圆的直径． 因为，所以过的平分线，有． 由得，则四边形的面积为. 故选：C． 3．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________. 【答案】2 【分析】由题干条件得到点为的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案. 【详解】，变形为， 即， 其中表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 故在的平分线上， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 故， 因为，所以，故， 故平分， 故点为的内心， 过点作⊥于点，作⊥于点，作⊥于点， 则， 因为，所以， 又，所以， 由向量数量积得， 故. 故答案为：2 4．（2026·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设，先说明是的重心，点为的内心，求出，得到即得解. 【详解】解：设，因为，所以是的重心， 因为，所以， 所以, 所以点在的角平分线上， 因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心. 所以点，即， 又，所以与轴平行，又， 所以, 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，， 当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点； 当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点. 又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 平面向量中的四心问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 重心问题 2 题型2 垂心问题 3 题型3 内心问题 4 题型4 外心问题 4 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1．三角形的重心及向量表示 (1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1. (2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心. (3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P. 2．三角形的垂心及向量表示 (1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心. (2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心. 3．三角形的内心及向量表示 (1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心. (2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心. 4．三角形的外心及向量表示 (1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等. (2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心. 题型通法及变式提升 题型1 重心问题 【典例1-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 三角形重心是三条中线交点，牢记向量核心结论：若G为△ABC重心，则GA+GB+GC=0，AG=1/3​(AB+AC)。重心坐标为三个顶点坐标的平均值，该公式在建系法中可以直接使用，大幅简化计算。解题优先判断是否出现重心条件，灵活切换基底法与坐标法。遇到向量表达式，可借助重心结论快速转化向量关系，不用重复推导中线向量。天津高考常在小题综合考查，注意区分重心、外心、内心向量公式，不要记混。计算完成回代检验，结合图形验证，规避系数写错的低级失误。 【典例1-2】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 题型2 垂心问题 【典例2-1】（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 三角形垂心为三条高线的交点，核心向量条件：H是△ABC垂心，则AH⋅BC=0，BH⋅AC=0，CH⋅AB=0，即垂心与顶点连线垂直对边。解题看到垂心，优先转化向量数量积为 0，可建立坐标系，利用垂直斜率关系列式求解。熟记相关向量变形，区分垂心与重心、外心、内心公式，不要混淆结论。天津高考多为小题，几何图形优先建系，把垂直条件转化坐标运算。做题善用数量积运算化简式子，结合图形分析，做完回代验证，警惕直接套用记忆结论而忽略题目条件的错误。 【典例2-2】（2026·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（2026·云南·模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 题型3 内心问题 【典例3-1】（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 三角形内心是三条角平分线交点，也是内切圆圆心，到三边距离相等。核心向量结论：若I为△ABC内心，则aIA+bIB+cIC=0，其中a,b,c为三角形三边边长。角平分线向量可借助单位向量构造，两个邻边单位向量相加指向角平分线方向。解题可采用基底分解或者建系坐标法，看见角平分线条件优先联想内心。天津高考一般作为小题难点，注意区分内心、重心、外心的向量公式，不要混淆系数。做题结合图形理解向量几何意义，不要死记公式，计算后回代检验，防止边长对应系数匹配出错。 【典例3-2】（2026·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-1】（2026·云南大理·调研）在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 题型4 外心问题 【典例4-1】（2026·全国·调研）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 三角形外心是三边垂直平分线交点，为外接圆圆心，到三个顶点距离相等，即∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣。遇到外心条件，优先转化为向量模长相等，常对模平方，转为数量积运算。外心向量公式难度较高，不建议死记，多用坐标法，利用点在垂直平分线上列式求解。天津高考多作为小题压轴，要分清外心、内心、重心、垂心的向量结论，避免公式混淆。解题可结合圆的几何性质辅助分析，灵活切换基底与建系，计算完成回代验证，重点防范模长平方展开遗漏交叉项。 【典例4-2】（2026·河北衡水·模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式4-1】（2026·全国·模拟预测）设锐角的外心为，满足，，则（   ） A． B． C． D． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）在数列中，，，，，若在中，为内一点，有，直线的延长线交于点，求的值为______． 3．（2025·广东深圳·联考）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 4．（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 创新提升 1．（2026·江西·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为__________． 2．（高三数学临考冲刺原创卷（一））已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C． D． 3．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________. 4．（2026·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $