14.3角的平分线(第二课时 角平分线的判定)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦“角的平分线的判定”第二课时，引导学生理解判定定理，掌握几何语言及证明方法，综合运用性质与判定解决问题。课堂导入通过回顾角平分线性质，交换题设与结论引导探究判定，构建从性质到判定的知识支架，帮助学生建立逻辑联系。 这份导学案特色鲜明，通过自主预习、课堂探究、典例分析及变式训练，培养学生推理能力，规范几何语言表达。辅助线添加指导和性质判定区别训练，提升应用意识，适合学生自主学习，也便于教师评估教学效果，有效落实数学核心素养。

14.3 角的平分线（第二课时 角平分线的判定） （导学案） 【学习目标】 1. 理解角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上； 2. 会写出判定定理的几何语言，并能独立证明该定理（HL）； 3. 能综合运用角平分线的性质与判定解决简单的证明与计算问题。 【学习重点】 角平分线判定定理的理解、证明及其应用（利用“到角两边距离相等”判定点在角平分线上）。 【学习难点】 1. 角平分线判定定理的证明思路（构造直角三角形，利用HL证全等）； 2. 灵活选用角平分线的性质与判定解决问题，特别是添加“过某点向角的两边作垂线段”这一辅助线； 3. 区别“角的平分线的判定”与“角的平分线的性质”，正确识别题设与结论。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 角的平分线的判定: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应具备的条件： ①位置关系：点在角的内部； ②数量关系：该点到角两边的距离相等. 几何语言 ∵，，. ∴平分. 【课堂探究】 知识回顾 新知探究 问1.请将角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），改写成如果…那么..．的形式 如果一个点为一个角平分线的点，那么这个点到这个角的两边的距离相等 问2.交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么结论？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问3.这个结论正确吗？ 已知：点是内部一点，，，垂足分别为，，. 求证：点在的平分线上. 证明∵，， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴，即平分， ∴点在的平分线上. 角的平分线的判定: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用具备的条件： ①位置关系：点在角的内部； ②数量关系：该点到角两边的距离相等. 几何语言 ∵，，. ∴平分. 典例分析 例1.(1)如图，点在的内部，于点，于点，.当的长为____3___时，点在的平分线上. (2).如图,在中，，，且，则=___ ____ 例2.如图，，于点，于点，和交于点，求证：平分. 证明：∵，， ∴ 在和中， ∴≌(). ∴. 又∵，， ∴平分.  例3.如图，的角平分线，相交于点. 求证:(1)点到三边，，的距离相等； 求证:(2)的三条角平分线交于一点. (3)若的面积分别为，求的比值 (4)若的周长为18，，求的面积 证明 (1)过点作，，，垂足分别为，，. ∵是的角平分线，点在上， ∴. 同理. ∴. 即点到三边，，的距离相等. 证明(2)由(1)得，点到边，的距离相等， ∴点在的平分线上， ∴的三条角平分线交于一点. 规律与方法（1）三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. （2）角平分线性质和判定的应用，常作辅助线为从这一点向角的两边作垂线段 (3) ∵ , ， 由(1)得， ∴， (4)∵ ∴， 即得： ∵的周长为18 ∴ ∴ 规律与方法：与三角形三条角平分线的交点有关的面积问题，常常利用几个小三角形的面积之和等于大三角形的面积来解决. 变式训练 1.如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别是，，.求证：. 证明：∵为的平分线， ∴. ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴. 2.如图，在中，，点在上，于点，且，，求的度数． 解：∵，，， ∴. 在和中， ∴≌(), ∴. ∴. 又∵在中，， 即， ∴. 3.如图，四边形中，平分交于点为的中点，连接．求证： (1)平分； (2)． 证明(1)：如图，过点作于点， ， ， 平分， ， 又为的中点， ， ， ， 平分； (2) ：在和中， ，≌， ， 同理可证， ， . 【课堂总结】 【课堂练习】 1．如图，是内部的一条射线，是射线上任意一点，，.下列命题： ①如果平分，那么； ②如果，那么平分； ③如果，那么平分. 其中真命题有(D) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.如图，于, , ，,则=_ __. 3.如图，在中，是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为__ _______ 4.如图，，交的延长线于点，于点，且，，求证：平分. 证明：∵，， ∴ 在和中， ∴≌(). ∴. 又∵， ∴点在的平分线上，即平分. 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线（第二课时 角平分线的判定） （导学案） 【学习目标】 1. 理解角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上； 2. 会写出判定定理的几何语言，并能独立证明该定理（HL）； 3. 能综合运用角平分线的性质与判定解决简单的证明与计算问题。 【学习重点】 角平分线判定定理的理解、证明及其应用（利用“到角两边距离相等”判定点在角平分线上）。 【学习难点】 1. 角平分线判定定理的证明思路（构造直角三角形，利用HL证全等）； 2. 灵活选用角平分线的性质与判定解决问题，特别是添加“过某点向角的两边作垂线段”这一辅助线； 3. 区别“角的平分线的判定”与“角的平分线的性质”，正确识别题设与结论。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 角的平分线的判定: ________________________________________________. 应用具备的条件： ①位置关系：点在角的_________； ②数量关系：该点到角两边的距离________. 几何语言 ∵_____________________________ ∴_____________________________ 【课堂探究】 知识回顾 新知探究 问1.请将角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），改写成如果…那么..．的形式 问2.交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么结论？ 问3.这个结论正确吗？ 已知：点是内部一点，，，垂足分别为，，. 求证：点在的平分线上. 角的平分线的判定: _____________________________________ 应用具备的条件： ①位置关系：点在角的____________； ②数量关系：该点到角两边的距离_________. 几何语言 ∵____________________________ ∴_____________________________. 典例分析 例1.(1)如图，点在的内部，于点，于点，.当的长为_______时，点在的平分线上. (2).如图,在中，，，且，则=_______ 例2.如图，，于点，于点，和交于点，求证：平分. 例3.如图，的角平分线，相交于点. 求证:(1)点到三边，，的距离相等； 求证:(2)的三条角平分线交于一点. (3)若的面积分别为，求的比值 (4)若的周长为18，，求的面积 变式训练 1.如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别是，，.求证：. 2.如图，在中，，点在上，于点，且，，求的度数． 3.如图，四边形中，平分交于点为的中点，连接．求证： (1)平分； (2)． 【课堂总结】 【课堂练习】 1．如图，是内部的一条射线，是射线上任意一点，，.下列命题： ①如果平分，那么； ②如果，那么平分； ③如果，那么平分. 其中真命题有() A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.如图，于, , ，,则=___. 3.如图，在中，是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为_________ 4.如图，，交的延长线于点，于点，且，，求证：平分. 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $