期中考前满分冲刺之优质压轴题 题型过关专练 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论与个数问题(选、填) 1．如图，，，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可判断①；利用角平分线的定义可得，，然后利用三角形内角和定理以及等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断④；再利用等量代换可得，从而可得，即可判断②；再利用平行线的性质可得，从而可得，即可判断③，即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 故①正确； ，分别平分，， ，， ， ， ， 故④正确； ， ， ， 故②正确； ， ， ， 故③不正确； 综上所述，正确结论的序号是①②④，共3个． 2．如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确的结论序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】如图，过点作，交于点，延长交的延长线于点，可知四边形为矩形，从而，可得①②正确；在中，，可得，故③正确； 【详解】解：如图，过点作，交于点；延长交的延长线于点； ， ∴四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， 是直角三角形， 故①； ， 故②正确； ∵在中， ， 故③正确． 故①②③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些知识解决问题是解题的关键． 3．如图，在中，，，，延长到点，使．有以下结论：平分；；是等边三角形；，则正确的结论有（        ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出，则，证明是边的垂直平分线，得出，根据三角形外角的性质求出即可判断；根据三角形的内角和定理可得，从而可得，即可判断；在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，利用线段的和与等量代换即可判断． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵； ∴，即平分； ∴正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴正确， 在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∴正确的结论有：， 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质． 4．如图，点C在上，，均是等边三角形，，分别与，交于点M，N，则下列结论：① ；②；③为等边三角形；④；⑤．正确的有_____（把你认为正确的序号都填上）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的判定及性质，平行线的判定． 首先根据等边三角形的性质，运用证明，即可得出；再由判定△AMC≌△DNC，得出；由得出为等边三角形；再由内错角相等两直线平行得出；最后由，得出，即可判定各结论． 【详解】∵，均是等边三角形， ∴，，， ∴， ，即， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ 又在等边中，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴是等边三角形，故③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵在等边中，， ∴， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④ 5．如图，在和中，，，，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等； 其中正确的有______个（填正确的个数） 【答案】4 【分析】证明，进而可判断①；由可得，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得的度数，从而可判断②；过点作于点，于点，由，可得，，由面积相等可得，即点到和的距离相等，故可判断；由④的证明知，点在的平分线上，则可判断③，最后可得结论． 【详解】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故正确； ， ， ，， ， ， ，故正确； 过点作于点，于点，如图， ， ，， ， ， 即点到和的距离相等，故正确； ，，， 点在的平分线上， 平分，故正确． 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，点在延长线上，与交于点，且是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是_______ 【答案】4 【分析】根据，得出，故结论①正确；根据，得出，故结论②正确；根据，得出平分，故结论③正确；，故结论④正确；，故结论⑤错误． 【详解】解：∵， ，故结论①正确； ， ， ， ，故结论②正确； ， ， ， 平分，故结论③正确； ， ， 是的余角的倍， ， 即， ， ， ∴，故结论④正确； 为的平分线， ∴， 平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 类型二、等腰(直角)三角形与全等三角形的存在性(选、填、解) 1．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答． 【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 3．我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地画出图形是解题的关键． 分三种情况讨论，即或或，利用三角形内角和和等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：①如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； ②如图，当时， 是的“等腰线段”， ， ； ③如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； 综上所述：若存在“等腰线段”，则的度数为或或， 故答案为：或或． 4．如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 点的坐标为，点的坐标为， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称， ∵点的坐标为， ∴则． 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1)如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； (2)如图2，若点E是的中点，求证：； (3)如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 【答案】(1) (2) 证明：延长至F点，使得，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）过点C作轴，证明，得到，即可得到C点坐标； （2）延长至F点，使得，连接，证明，得到，证出，求出，再证明，推出，即可得到 （3）在的延长线上截取，连接，过点C作，证得是等边三角形，得到，证明，推出，求出，得到由（1）得，进而得到，由此求出B点坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵点A为，点B为， ∴， ∴， ∴C点坐标为； （2）略 （3）解：在的延长线上截取，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，    ∴， ∵， ∴ 由（1）得， ∴， ∵A点坐标为， ∴，   ∴， ∴B点坐标为 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定和性质定理进行推理论证是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，点A在第一象限，且是等边三角形．点D的坐标为，E是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．        (1)求出A点坐标； (2)当点F落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由； (3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)6或 【分析】（1）如图1中，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论； （2）如图2中，结论：．根据证明三角形全等即可； （3）分两种情形：如图中，当时，过点作于点．如图中，当时，，分别求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，过点作于点．   ， ， 是等边三角形，， ，， ， ； （2）解：， 证明：如图2，    理由：是等边三角形，是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ； （3） 解：如图中，当时，过点作于点．过点作于点，    ∵点D的坐标为， ∴， ∵C的坐标分别为， ∴， ∴， ，， ， ，，， ， ， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ； 如图中，当时，，   ， ， 综上所述，满足条件的的值为6或． 【点睛】本题属三角形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 类型三、最值问题(选、填、解) 1．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，由点关于的对称点为点，连接交于点，根据轴对称的性质进行解答即可，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴，最小， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴、、都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定； 先作点关于，的对称点，，连接，由轴对称确定最短路线问题，，分别与，的交点即为，，与交于点，此时的周长最小，进而求得的最小值； 【详解】解：先作点关于，的对称点，，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值是 即的最小值是 故选：C 3．如图，点在等边三角形的边上，，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取得最小值时，此时的长为______；当取最小值时，则此时的长为______． 【答案】 5 7 【分析】当取得最小值时，则点与点重合时，记为，过点作，连接，结合等边三角形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，得出当取得最小值时，此时的长为5，作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再设，，可得，然后结合，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，点是射线上一动点，点是线段上一动点， ∴当取得最小值时，则点与点重合时，记为，过点作，连接， 如图所示， ∵等边三角形的边上，， ∴， ∴在中，， 即当取得最小值时，此时的长为； 如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， 设， ， ，， ， ∵， ∴解得：， ， ∴ 故答案为：，7． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 4．等边三角形中，点是中线的动点，若，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．思考： （1）如图①，若点为等边三角形的边上一点，以为边作等边（下方），连接．若，，则________． （2）如图②，点为等边的边上一动点，以为边作等边（下方），点是的中点，连接．若，则长的最小值是________． 问题解决： （3）如图③，等边中，，点是边上的高所在直线上的点，以为边作等边（下方），连接，则的长是否存在最小值，不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）存在最小值，值为 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，则点在射线上移动，由垂线段最短可得，当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解； （3）由“”可证，可得，则点在射线上移动，由垂线段最短可得，当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 故答案为； （2）如图，连接， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， 点在射线上移动， 由垂线段最短可得，当时，有最小值， 是的中点， ， ，， ， ， 长=的最小值为， 故答案为：； （3）存在最小值， 理由如下：连接， 是等边三角形，点是的中点， ， 和是等边三角形， ，，， ， ， ，， 点在射线上移动， 由垂线段最短可得，当时，有最小值， 是的中点， ， ，， ， 长的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质等知识，证明△ABD≌△CBE是本题的关键． 6．综合与实践活动： 课本再现：如图1，“将军饮马问题”抽象出数学模型，直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的做法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．求的最小值． 【答案】(1) 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； (2)①6，② 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵等边，是的平分线， ∴所在直线是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，则点落在上，连接，， ∵是中点， ∴为的中点， ∵等边三角形， ∴为的平分线，， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ②∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点， ∵平分， ∴落在上， 连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 类型四、角平分线与垂直平分线结合(解) 1．如图，是的角平分线，，交于点E． (1)尺规作图：过点D作线段的垂线交于点F，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：垂直平分． 证明：∵是的角平分线，，， ∴ ① ． ∴点D在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ∴（ ③ ）． ④ ∴点A在线段的垂直平分线上． ∴ ⑤ ． 【答案】(1) 如图所示为所求： (2) 证明：∵是的角平分线，，， ∴． ∴点D在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】（1）以点D为圆心，长度为半径画弧，交于点G，再分别以点C，G为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接点D与该点，交于点F，即为的垂线； （2）先根据角平分线的性质得到，所以点D在线段的垂直平分线上；再证明，得到，所以点A在线段的垂直平分线上，则证明是线段的垂直平分线． 【详解】（1）略 （2）略 2．已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； (2) 证明：设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 3．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 【详解】略 4．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．试证明线段． 【答案】 证明：∵在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴． 【分析】该题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．根据垂直平分线的性质得出，根据角平分线的性质得出，证明，即可解答． 【详解】略 5．如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点分别作交的延长线于点，于点．求证：．    【答案】 证明：连接，．   是的平分线，，， ，． 点在的垂直平分线上， ． 在和中，， ． ． 【分析】连接，．根据角平分线的性质定理可得，根据垂直平分线的性质可得，再证明，即可作答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用角平分线的性质定理，是解答本题的关键． 6．如图，点、分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：垂直平分， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． (2) (3) 证明：， ， ，即， ， ， ， ， 平分， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明及是解题的关键． （1）由线段的垂直平分线的性质得，由平分，于点，于点，得，即可根据“”证明，即可证得； （2）由，，，根据“”证明，得，而，则，所以； （3）根据，可得，进而证得，由四边形的内角和可推导出，根据等边对等角结合三角形内角和定理可得，再结合角平分线的性质可得，即可证得． 【详解】（1）略 （2）解：平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的长为． （3）略 类型五、等腰三角形与直角三角形动点求t(解) 1．如图，为等边三角形，边长为6，P，Q分别为边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C运动，设运动时间为t．    (1)如图1，①当________时，P是线段的中点，此时线段与的数量关系是________． ②在点P、Q运动过程中，是否能构成等腰三角形？________； A．有可能    B．不可能    C．无法确定 (2)如图2，连接交于点M，请问当t为何值时，； (3)如图3，D为边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使的等腰三角形？若能，试求运动时间t． 【答案】(1)①2，；②B (2) (3)能， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）①先求出，再求出，则，据此可得答案；②由等边三角形的性质得到，则当是等腰三角形时，一定是等边三角形，则此时一定有，再由即可得到答案； （2）先证明，再证明，得到，据此列出方程求解即可； （3）过点D作，垂足分别为F、E，连接，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则，再证明，得到，求出，得到，则，接着证明，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①当P是线段的中点时，， ∴, ∴此时， ∵， ∴； ②∵是等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，一定是等边三角形， ∴此时一定有， ∵点P与点Q的运动速度不相同， ∴， ∴不是等腰三角形， 故选：B； （2）解：∵为等边三角形且边长为6， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； （3）解：如图，过点D作，垂足分别为F、E，连接， ∵是等边三角形，D是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，D，P，Q三点是能构成使的等腰三角形．    2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． (1)______（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 【答案】(1) (2)t的值为 (3)当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； （2）解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 3．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)______（用含的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)①秒；②不能 (3)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用t可表示出即可求得； （2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， （2）①当点Q在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， ∴出发秒后； ②当在上，，如图， 而，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，不符合题意舍去， ∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分． （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，    则， ∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则（cm）， ∴， 综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 4．阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)或时，是等腰三角形， ，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 (2)或时，是直角三角形， 当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴， 解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可； （2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． (1)如图1，当______时，是直角三角形； (2)如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； (3)如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 【答案】(1)5 (2)当是直角三角形时，的值为或； (3) 解：和的面积相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 作，交于点， ∴，， ∴， ∴， 由运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即和的面积相等． 【分析】（1）由等边三角形的性质，可得，若是直角三角形，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合已知可得，从而可得，除以点的运动速度即可； （2）当是直角三角形时，或，分类讨论，由角所对的直角边与斜边的关系，列方程求解即可； （3）作，交于点，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，可得，，可得，由运动过程，等量代换，可得，可证明，可得，从而可得和面积的关系． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 若是直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：． （2）解：∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，或， 若，则， ∴， ∴， 解得， 此时，点和点重合，点为的中点， 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴当是直角三角形时，的值为或． （3）略 【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，一元一次方程的实际应用，平行线的性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质． 6．如图，在等边中，，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为． (1)当时，______；当时，______； (2)当点N在上时，______；当点N在上时，______（分别用含t的式子表示）； (3)当点N在上时，若是直角三角形，求此时t的值； (4)连接，当线段的垂直平分线经过的某一顶点时，直接写出t的值． 【答案】(1)2；4 (2)； (3)t的值为4.5或5 (4)t的值为或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，，解题关键是学会用分类讨论是思想思考问题，学会构建方程解决问题． （1）根据等边三角形的性质和路程速度时间解答即可； （2）根据速度和时间得出路程，进而解答即可； （3）由题意当时，点落在上，此时点也在上．当点或点是的中点时，是直角三角形．由此构建方程求解即可； （4）分四种情形，分别画出图形，根据线段垂直平分线的性质得到对应的边相等，从而构建方程求解即可． 【详解】（1）解：当，，， 当时，点经过的路程为，， 故答案为：；； （2）解：当点在上时，； 当点在上时，； 故答案为：；； （3）解：由题意当时，点落在上，此时点也在上． 当点或点是的中点时，是直角三角形． 或， 综上所述，满足条件的的值为或5； （4）解：如图1中，当线段的垂直平分线经过点时，则， ∴， 解得，    如图2中，当线段的垂直平分线经过点时，则， ∴， ， 解得．    如图3中，当线段的垂直平分线经过点时，则， ∴， 解得．    如图4中，当线段的垂直平分线经过点时，同理可得， ∴， 解得．    综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论是思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 类型六、一线三等角模型(解) 1．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直横型”，当横型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．      (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，， 于 E，于点D，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，于 E，，求 的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，若是等腰直角三角形，直接写出B点坐标． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴； (2)1.4 (3) 【分析】（1）先根据同角的余角相等可得，再结合即得结论； （2）根据垂直的定义以及等量代换可知，根据全等三角形的判定即可证明，再利用全等三角形的性质证明即可． （3）过点C作直线轴，交y轴于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，交x轴于点H，证，得，利用即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． ∵ ∴； （3）如图3，过点C作直线轴，交y轴于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，交x轴于点H， 则 ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴点B的坐标为． ．   【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1) ①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； (2) 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：略． （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 4．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，，，求的长． 【答案】(1) 证明：，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由，，，可得，，则，证明； （2）同理可证；则，，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ∴，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 5．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）； （3）； （4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； （2）同理（1）证明即可得到答案； （3）作于点E，证明即可得到答案； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：6． （3）如图3，过点作于点E，则 ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． （4）的面积为10或4． 理由如下： 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图4，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图5，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 综上所述，的面积为10或4． 6．数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如下图，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到__________，__________．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．    （2）【模型应用】如下图，为等边三角形，，，求证：；    （3）【模型变式】如下图，在中，，，于点E，于点D，，，则__________．    【答案】（1），； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴， ； （3） 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：，， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：． 类型七、手拉手模型(解) 1．“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中，， ． (2) 为等腰直角三角形，证明如下：                        由（1）知，， ， P，Q分别为，的中点， ， ， 在和中， ．               ．             ， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明； （2）根据得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 2．新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①∵与均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴； ② (2)①； ②，证明如下： 同理可证明， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为中边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①利用即可证明；②延长交于F，设交于G，由全等三角形的性质可得，再导角可证明，据此可得答案； （2）①根据（1）②的结论可得答案；②同理可证明，则，由三线合一定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①略 ②如图所示，延长交于F，设交于G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）②可证明， ∵A、E、D三点共线， ∴； ②略 3．探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； (3) 解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【答案】 （1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 5．【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 [问题背景]（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， [变式探究]（2），， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； [拓展应用]（3）， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． [问题背景]（1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； [变式探究]（2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； [拓展应用]（3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）略 [变式探究] （2）略 [拓展应用] （3）略 6．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)△， (2) ①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； （2）略． 类型八、倍长中线法与截长补短法(解) 1．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】 证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】略 2．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）略 （3）如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④ （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH． E是AC的中点， ． 又，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又，， ， ， ． 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 【详解】（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3） 略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 4．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 5．综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明： 如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2），，辅助线如图3 （3），证明： 如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 6．如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) ； 证明将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则， ∴，，，， ∵，， ∴，即，，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）将绕点逆时针旋转至，使与重合，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∵， ∴，即点，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）略 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型九、等腰三角形的新定义(解) 1．阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是； （2）证明：∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）或 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 2．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”． 理解概念应用： (1)如图1，在中，，，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）． (2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的形似分割线． (3)在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数． 【答案】(1)与，与，与； (2) 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ∴． ∵， ， ，， ∴为的形似分割线． (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了“形似三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1） 根据“形似三角形”的定义进行解答即可； （2）根据题意证明为等腰三角形，的各个内角等于的各个内角即可证明结论； （3）分是等腰三角形：或；是等腰三角形：或；四种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：与，与，与是“形似三角形”． （2）略 （3）解：当是等腰三角形，时，如图： ∴， ∴， 当是等腰三角形，时，如图： ∴， ∵， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在； 当是等腰三角形，时，如图： ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当是等腰三角形，时，如图： ， ∴， 当是等腰三角形，时不存在， 综上所述，的度数为或或或． 3．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的“优美分割线”； (2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数； (3)在中，，，为的“优美分割线”，且是等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析； (3)或 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解再证明为等腰三角形，与 从而可得结论； （2）根据新定义，直接构建三个内角分别为的三角形即可； （3）是等腰三角形，则分情况讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形，再求解即可． 【详解】（1）解： 中，为角平分线，，， 为等腰三角形， 为的“优美分割线”． （2）解：如图，构建的三角形和它的“优美分割线”，为它的“优美分割线”． 由图可得：为等腰三角形， 所以作图符合题意． （3）解： 是等腰三角形，则分情况讨论： ①当时，则 如图， ，为的“优美分割线”， ， ②当时，,则 为的“优美分割线”， 过作于 则 所以设 解得： 经检验符合题意； ③当时，不符合题意，舍去， 综上：的长为：或 【点睛】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，理解新定义，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键． 4．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形是“等角三角形”．从一个三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果在分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，那么我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”． (1)如图①，在中，，，请写出图中三对“等角三角形”． (2)如图②，在中，为角平分线，，，求证：为的“等角分割线”． (3)在中，，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数． 【答案】(1)与；与，与 (2) 在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， ∵，，，， ∴为的等角分割线． (3)或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“等角三角形”以及“等角分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． （1）根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； （2）根据三角形内角和定理求出，根据为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴与是“等角三角形”． （2）略 （3）①当时，， ∵是的等角分割线， ∴， ②当时，， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，，则 那么（舍去）， 故的度数为或． 5．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”；②的度数是或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”，， ， ； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 6．我们已学过三角形三个内角的和为． 定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”； (1)若是“准互余三角形”，，，则的度数是__________； (2)如图，是等腰三角形，并且，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“准互余三角形”； (3)如图，是直角三角形，．点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是____________________． 【答案】(1) (2) 证明：∵是等腰三角形，并且，是边上的中线， ∴，， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， ∴是“准互余三角形”； (3)或 【分析】（1）结合“准互余三角形”的定义，可以得出，则，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和性质，得，，，则，故，即可作答． （3）先求出，因为点是边上一点，且是“准互余三角形”，故作图且运用三角形的内角和性质以及外角性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，且是“准互余三角形”，，， ∴ ∴， 则， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵是直角三角形，． ∴， ∵点是边上一点，且是“准互余三角形”， ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴； ∴； ∴当时，如图所示： 则， ∴， 则， ∵，， 则， 故不存在或或或， 综上：或． 【点睛】本题考查了新定义，三角形外角性质，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，角的运算，熟练掌握分类讨论以及数形结合思想是解（3）题的关键，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型十、阅读理解题与迁移探究题(解) 1．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1) 证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 2．（阅读理解）数学课上，陈老师出示了如下框中的题目： 在等边三角形中，点是线段上的一个动点（不与两点重合），点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 陈老师利用巧妙的设问，逐步引导同学们解决了这道难题，具体过程如下： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系： （填“”，“”或“”），并写出证明过程． (2)特例启发，回归一般：通过（1）中对特殊情况的探索，可猜想在原题中与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）理由如下：如图2，过点作，交于点（请你继续完成解答过程） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而； （2）过作交于，则是等边三角形，证明，得到． 【详解】（1）   证明：∵为等边三角形，点为的中点， ∴，且平分， ∴， ∵   ∴， 又∵    ∴， ∵， ∴ ； （2） 理由如下：如图2，过作交于， ∵是等边三角形， ，，即， 是等边三角形，即           又     故．   又     即 而         在和中， 又 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解题的关键． 3．阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）连接，由的面积的面积的面积，得到 ，又，即可推出； （）连接，由，得到，又，即可证明； 本题考查了三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，掌握面积法解答问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， ∵，，， ∴的面积，的面积，的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：连接， ∵是的高，分别与直线垂直， ∴的面积，的面积，的面积， 的面积， ， ∴， ， ， 故答案为：． 4．在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动．    （1）操作判断 如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现：，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为的中点”改为“点到顶点，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）相等； （2）证明：结论仍成立，理由如下： ， ， 点到顶点，的距离相等， ， ， ，即， ，， ， ； （3） 【分析】（1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）分点在内部和点在外部两种情况讨论，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）证明：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线， ，， ； 故答案为：相等； （2）略 （3）解：若点在内部，如图所示：   是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 若点在外部，如图所示：   是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是理解题意结合分类讨论思想解题． 5．（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）略 （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．“转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 【答案】 （1）证明：， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， （2）解： 理由：如图，连接，在取点G，使得，连接， 同得， ，，， ， ，即， ， ， ， （3）的值为 【分析】由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得； 在取点G，使得，连接同得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出； 延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 【详解】略 略 解：的值为；理由如下： 延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 同理可证：，， ，， ， 设，，， 则，，， ，，， ， ，， 即，， 解得：， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论与个数问题(选、填) 1．如图，，，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确的结论序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在中，，，，延长到点，使．有以下结论：平分；；是等边三角形；，则正确的结论有（        ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，点C在上，，均是等边三角形，，分别与，交于点M，N，则下列结论：① ；②；③为等边三角形；④；⑤．正确的有_____（把你认为正确的序号都填上）． 5．如图，在和中，，，，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等； 其中正确的有______个（填正确的个数） 6．如图，点在延长线上，与交于点，且是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是_______ 类型二、等腰(直角)三角形与全等三角形的存在性(选、填、解) 1．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 3．我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为________． 4．如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是___________． 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1)如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； (2)如图2，若点E是的中点，求证：； (3)如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 6．在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，点A在第一象限，且是等边三角形．点D的坐标为，E是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．        (1)求出A点坐标； (2)当点F落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由； (3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________． 类型三、最值问题(选、填、解) 1．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在等边三角形的边上，，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取得最小值时，此时的长为______；当取最小值时，则此时的长为______． 4．等边三角形中，点是中线的动点，若，则的最小值是_________． 5．思考： （1）如图①，若点为等边三角形的边上一点，以为边作等边（下方），连接．若，，则________． （2）如图②，点为等边的边上一动点，以为边作等边（下方），点是的中点，连接．若，则长的最小值是________． 问题解决： （3）如图③，等边中，，点是边上的高所在直线上的点，以为边作等边（下方），连接，则的长是否存在最小值，不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值． 6．综合与实践活动： 课本再现：如图1，“将军饮马问题”抽象出数学模型，直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的做法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．求的最小值． 类型四、角平分线与垂直平分线结合(解) 1．如图，是的角平分线，，交于点E． (1)尺规作图：过点D作线段的垂线交于点F，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：垂直平分． 证明：∵是的角平分线，，， ∴ ① ． ∴点D在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ∴（ ③ ）． ④ ∴点A在线段的垂直平分线上． ∴ ⑤ ． 2．已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 3．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 4．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．试证明线段． 5．如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点分别作交的延长线于点，于点．求证：．    6．如图，点、分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 类型五、等腰三角形与直角三角形动点求t(解) 1．如图，为等边三角形，边长为6，P，Q分别为边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C运动，设运动时间为t．    (1)如图1，①当________时，P是线段的中点，此时线段与的数量关系是________． ②在点P、Q运动过程中，是否能构成等腰三角形？________； A．有可能    B．不可能    C．无法确定 (2)如图2，连接交于点M，请问当t为何值时，； (3)如图3，D为边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使的等腰三角形？若能，试求运动时间t． 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． (1)______（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 3．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)______（用含的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 4．阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 5．已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． (1)如图1，当______时，是直角三角形； (2)如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； (3)如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 6．如图，在等边中，，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为． (1)当时，______；当时，______； (2)当点N在上时，______；当点N在上时，______（分别用含t的式子表示）； (3)当点N在上时，若是直角三角形，求此时t的值； (4)连接，当线段的垂直平分线经过的某一顶点时，直接写出t的值． 类型六、一线三等角模型(解) 1．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直横型”，当横型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．      (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，， 于 E，于点D，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，于 E，，求 的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，若是等腰直角三角形，直接写出B点坐标． 2．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 4．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，，，求的长． 5．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 6．数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如下图，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到__________，__________．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．    （2）【模型应用】如下图，为等边三角形，，，求证：；    （3）【模型变式】如下图，在中，，，于点E，于点D，，，则__________．    类型七、手拉手模型(解) 1．“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 2．新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 3．探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 4．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 5．【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 6．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 类型八、倍长中线法与截长补短法(解) 1．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 2．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 4．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 5．综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 6．如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 类型九、等腰三角形的新定义(解) 1．阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 2．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”． 理解概念应用： (1)如图1，在中，，，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）． (2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的形似分割线． (3)在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数． 3．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的“优美分割线”； (2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数； (3)在中，，，为的“优美分割线”，且是等腰三角形，求线段的长． 4．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形是“等角三角形”．从一个三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果在分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，那么我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”． (1)如图①，在中，，，请写出图中三对“等角三角形”． (2)如图②，在中，为角平分线，，，求证：为的“等角分割线”． (3)在中，，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数． 5．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 6．我们已学过三角形三个内角的和为． 定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”； (1)若是“准互余三角形”，，，则的度数是__________； (2)如图，是等腰三角形，并且，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“准互余三角形”； (3)如图，是直角三角形，．点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是____________________． 类型十、阅读理解题与迁移探究题(解) 1．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 2．（阅读理解）数学课上，陈老师出示了如下框中的题目： 在等边三角形中，点是线段上的一个动点（不与两点重合），点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 陈老师利用巧妙的设问，逐步引导同学们解决了这道难题，具体过程如下： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系： （填“”，“”或“”），并写出证明过程． (2)特例启发，回归一般：通过（1）中对特殊情况的探索，可猜想在原题中与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）理由如下：如图2，过点作，交于点（请你继续完成解答过程） 3．阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 4．在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动．    （1）操作判断 如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现：，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为的中点”改为“点到顶点，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 5．（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 6．“转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $