期中考前满分冲刺之解答题 题型过关专练 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦期中解答题高频考点，以三角形全等与性质为核心，整合作图、动点、最值等专题，构建从基础证明到综合应用的递进训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形判定|3题|条件组合证明|三角形全等判定公理应用| |轴对称与网格作图|6题|尺规作图与变换|图形变换性质与操作技能| |三角形边角计算|3题|内角外角关系应用|三角形内角和定理推导| |角平分线与垂直平分线|9题|性质证明与作图|轴对称性质的延伸应用| |等腰等边三角形|6题|性质判定综合|特殊三角形性质的叠加| |动点与最值|12题|动态几何与路径优化|几何直观与推理能力结合| |实际应用与新定义|6题|测距方案与概念迁移|应用意识与创新意识培养|

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一全等三角形的判定 1．如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，得到，进而即可证明． 【详解】略． 2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ． ． ， ． 在和中 ． 【分析】首先证明，再根据定理判定即可． 【详解】略 3．如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【分析】利用证明即可． 【详解】略 覆盖二 轴对称的网格作图 4．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，射线即为所求： (3)如上图，直线即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)将向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，画出； (3)借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意作轴对称图形即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）作出的中点，即为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 6．作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)解：即为所求； ； (2)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再由图象写出坐标即可； （2）作点关于对称点，连接，与轴相交于点，由，即可推出点为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 覆盖三 无刻度尺网格作图 7．仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．请保留作图痕迹 【答案】 解：如图，点P即为所求． 【分析】本题主要考查了轴对称变换—最短距离问题．作点B关于直线l的对称点，再根据两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】略 8．如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图． (1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形； (2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形． 【答案】(1) 解：边长为的等边三角形如图所示； ； (2) 解：周长等于的等边三角形如图所示； ． 【分析】本题考查作图应用与设计，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接、，即为所求； （2）连接交于，连接交于，即为所求； 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．只用无刻度的直尺，在每个图中作出一个与有公共边且全等（不含）的格点三角形．    【答案】 如图：    【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 以为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形即可． 【详解】略 覆盖四 三角形的内角与外角求角度 10．在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形三个内角的关系设未知数，结合三角形内角和为列方程即可求解． 【详解】解：设，则，， 任意三角形的内角和为，即， ， 解得，即． 11．已知一个三角形的最大角的度数为，最小角的度数为．求x的取值范围． 【答案】 【分析】考查知识点：三角形内角和定理、三角形角的大小关系、一元一次不等式组的应用．解题关键：明确三角形角的大小关系，结合内角和推导不等式．易错点：忽略“中间角的范围”，仅考虑最小角≤最大角，导致范围错误． 先根据“最小角≤最大角”列不等式；结合“三角形内角和为”，利用“最小角+最大角（中间角≥最小角）”和“最小角+最大角最大角（中间角≤最大角）”列不等式；解不等式组，取公共部分得到x的范围． 【详解】第三个角为． （最小角≤第三个角） （第三个角≤最大角） （被覆盖）． x的取值范围是． 12．如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 覆盖五角平分线与垂直平分线的尺规作图 13．如图，已知，请你按下列步骤画图：（用尺规作图，不写画法，只保留画图痕迹） (1)画的平分线交线段于点； (2)过点画的平行线交射线于点． 【答案】(1) 射线即为所求； (2) 直线即为所求； 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧交、于点、，分别以点、为圆心大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，射线即为所求； （2）以为边作，根据内错角相等，两直线平行可知，直线交射线于点，直线即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 15．如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)证明：平分，，于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据尺规作垂直平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的性质可求得，进而可证得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 覆盖六 三角形的角平分线与高夹角问题 16．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 17．如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【详解】（1）解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． （2）解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 18．如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数大小不变，理由： ∵平分， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先求出的度数，利用即可求出的度数； （2）先求出的度数，利用即可求出的度数； （3）利用平分，平分，求出即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 覆盖七全等三角形的性质与判定 19．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 20．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) ． 【分析】（1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明， （2）根据全等三角形对应边相等可得然后计算即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知， ∴ ∴． 21．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 覆盖八角平分线的性质与判定 22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 23．如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ∵是的平分线，点P在上，， ， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 24．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又∵点在的内部， ∴平分． 【分析】（1）由平角的定义可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可证得，，从而得到，即可证得． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ； （2）略． 覆盖九垂直平分线的性质与判定 25．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 26．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1) 证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 27．如图，为的角平分线，，垂足分别为点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：为的角平分线， ， 又、，垂足分别为点， ， 在和中， ， ； (2) 证明：由（1）知， ， 垂直平分， 则． 【分析】本题考查几何证明综合，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟记相关几何性质与判定定理是解决问题的关键． （1）先由角平分线定义得到，再由两个三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由（1）知，从而得到，从而确定垂直平分，最后由垂直平分线的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 覆盖十等腰三角形的性质与判定 28．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 29．如图，，交于点，，点在线段上，且，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ． 又，， ， ； (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则可由证明，据此可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，则，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， 又， ，， ． 又， ． 30．如图，在 中，，过B作 交于点 D．过点D作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)过点A作于点G，若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (2)证明：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，即可证明； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 覆盖十一等边三角形的性质与判定 31．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； (2)9 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 32．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 33．【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，（理由1） 在中，，（理由2） ．即． (1)请你填写证明中的两处理由：理由1：_______________________； 理由2：____________________； 【拓展应用】 (2)请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． （提示：先用含的代数式表示，再用作差法证明，即可证明） 【答案】(1)证明：以为顶点作， ，（等角对等边） 在中，，（三角形两边之和大于第三边） ．即． (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等角对等边及三角形三边关系解答即可； （2）根据等边对等角，结合三角形内角和定理得出，根据不等式的性质及，得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 覆盖十二测距方案问题 34．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：_______方案二：_______． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 【答案】(1)②，③ (2) 计算过程： 方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质解决实际问题，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题意，结合三角形全等的判定定理求解即可得到答案； （2）由（1）中方案一的求解过程，得到，再由全等三角形的性质即可得到水潭的宽度． 【详解】（1）解：方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； 为的中点， ， ， ， 在和， ； 综上所述，方案一：②； 在和， ； 则方案二：③； 故答案为：②，③； （2）略 35．根据以下素材，完成探索任务． 素材 如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河岸的点A处，测得河南岸的一棵树底部B点恰好在点A的正南方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，观测者在河南岸从点B出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得 观测者从B点向正东走到C点，O是的中点，继续从点C沿垂直于的方向走，直到点A，O，D在一条直线上 测量示意图 问题解决 任务1 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段_____的长度． 任务2 （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 任务3 （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性． 【答案】（）； （）第二小组的方案可行，理由， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点，，在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴河宽长等于的长； （）（答案不唯一）第三小组测量方案：观测者从点沿正西方向走到点处，使用测量角度的仪器测得，交的延长线于点，如图， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴河宽长等于的长． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）根据等腰三角形的判定进行解答即可； （）由是的中点，则，又，，所以，通过点，，在一条直线上，得，证明即可； （）根据三角形全等的方法，构造全等三角形，设计方案即可． 【详解】解：（）由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； （）略 （）略 36．学习利用三角形全等测距离后，实践小组同学就“测量河两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B和C在同一条直线上，且； ②测得，； ③延长至点E，使得； ④测得米． (1)请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． (2)创新小组了解了他们的方案后，觉得有点麻烦，给出了新的方案及示意图，如下： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点O和点D，使得，点B，O，D在同一条直线上，且； ②…… 请帮他们补全方案及示意图． 【答案】(1)解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即 米， 米． (2)方案：在点B所在河岸同侧取点C，使得A，O，C在同一条直线上，且，测出的距离． 示意图： 【分析】（1）根据三角形内角和求出，可知，证明，得到，进而可知； （2）设计方案构造全等三角形即可． 【详解】（1）略； （2）略． 覆盖十三 角平分线与垂直平分线的结合问题 37．（1）如图1，中，，平分交于D，过C点作的垂线交的垂直平分线于M，连，N在的延长线上．求证：平分； （2）把（1）中的“平分交于D”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若（如图3），且，作于，求的长度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，即平分； （2）解：如图，连接、，过点作于，过点作交的延长线于点， ； （3） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，最后得到； （2）连接、，过点作，过点作交的延长线于点，根据题意得到，证明，得到，根据等腰三角形的性质计算，得到答案； （3）连接，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得到，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1） 略 （2）， 由(1)可知：， ∵，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，, 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 38．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线与交于点O，平分，平分． ①若，则的度数为_______度； ②若，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，是某农科院的一块试验田，是一条小路，为了进行更多种类农作物的培养试验，现计划对该试验田进行扩建，并将小路继续延长．首先从边的中点E处向外修一条与边垂直的小路，该小路与小路的延长线交于点F（即），再从点F向边设立一道垂直于的篱笆墙，交的延长线于点G（即），最后从F向B设立一道篱笆墙．已知平分，，，求扩建后的试验田的总面积（即四边形的面积）． 【答案】（1）①24；②27；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，图形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据角平分线的定义，先得出，进一步得垂直平分，最后根据直角三角形两个锐角互余即可得出答案；根据，利用三角形的面积公式求值即可； （2）先过点作于点，连接，再依次证明和，最后根据面积之间的等量关系即可求出答案． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，． 又， ， ，， 垂直平分，即． 在中， ． 故答案为：24． ②垂直平分， ， ． （2）解：如图，过点作于点，连接， 平分，且，， ，． 点E为的中点，且， 垂直平分， ． 又， ， ． ，， ， ． 设， 则， 即， ， 解得，， 即， （）． 答：扩建后的试验田的总面积为． 39．如图，已知平分，点D，E分别在射线，上，连接，的垂直平分线交于F，交于P，过点F作，，垂足分别为G，H．求证：．    【答案】见解析 【分析】连接 ，，先根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，再根据HL证明，由此可证． 【详解】证明：连接， ， ∵平分，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和斜边直角边定理，熟练掌握以上知识、正确的作出辅助线是解题的关键． 覆盖十四 三角形折叠求解 40．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 41．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1) ，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； (2) ，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 42．（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 覆盖十五全等三角形中的动点求t 43．如图所示，长方形中，．点P从点A出发沿边向做往返运动，每秒移动，动直线a与边重合，交于点M、于点N．直线a与点P同时出发，沿方向移动，每秒移动，移动t秒，当直线a与边重合时，移动全部停止． (1)用含t的代数式表示的长度： (2)当t为何值时，点P在直线a上； (3)连接，直接写出当t为何值时，与全等． 【答案】(1)或； (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，分两种情况讨论即可求解； （2）由题意可知，当点在直线上时，点与点重合，即，分两种情况讨论，列一元一次方程求解即可； （3）由题意可知，当时，与全等，分两种情况讨论，分别表示出的长，再列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，点每秒运动， 当点沿方向运动时，； 当点沿方向运动时，； 综上可知，的长度为或； （2）解：由题意可知，动直线交于点，沿方向运动，每秒运动， ， 当点在直线上时，点与点重合，即， 当时，此时点沿方向运动，， 则，解得；； 当时，此时点沿方向运动，， 则，解得：， 综上可知，当为或时，点在直线上； （3）解：由题意可知，，， 当时，与全等， 当时，此时点沿方向运动，， ， ， 解得：； 当时，此时点沿方向运动，， ， ， 解得：，此时与不存在，不符合题意， 当为时，与全等． 【点睛】本题考查了动点问题，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 44．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒． （1）在运动过程中，当______秒时，； （2）在运动过程中，当时，求出的值； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在；答案见解析． 【分析】（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据CP＝CQ，列式计算即可； （2）根据全等三角形的对应边相等列式计算； （3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可． 【详解】解：（1）由题意得BP＝CQ＝3t， 则CP＝8﹣3t， ∵CP＝CQ， ∴8﹣3t＝3t， 解得，t， 则当t时，； （2）∵D为AB的中点，AB＝AC＝10， ∴BD＝5， ∵△BPD≌△CQP， ∴BD＝CP， ∴8﹣3t＝5， 解得，t＝1， 则当△BPD≌△CQP时，t＝1； （3）不存在，∵△BPD≌△CPQ， ∴BD＝CQ，BP＝CP， 则3t＝5，3t＝8﹣3t 解得，t，t， ∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ． 【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 45．如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【答案】(1)，t (2)当为或时，的面积为 (3) 如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）略 覆盖十六 平面直角坐标系中的等腰直角三角形 46．如图： (1)如图（1）所示，已知△OAC为等腰直角三角形，，以点D为坐标图点建立坐标平面，作轴于H点，求证： ① ②若点A坐标为，求出点C的坐标． (2)如图（2）所示，已知△OAB，以点O为原点建立平面直角坐标系，若点A坐标为，点B的坐标为，求证：△OAB是等腰直角三角形． (3)如图（3）所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，若△OAB是以OA为腰的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标． 【答案】(1)①证明过程见详解；②(-4，3) (2)证明过程见详解 (3)(-1，7)或者(-4，3) 【分析】（1）①过A点作AG⊥x轴于G点，根据直角三角形中两个锐角互余即可求解；②证明 Rt△CHO≌Rt△OGA，即可求解； （2）根据A、B、O的坐标求出AB、BO、AO，利用勾股定理的逆定理即可判断； （3）分两种情况讨论：第一种情况：当OA=AB时，根据（2）的结果可知B点坐标；第二种情况：当OA=OB时，过A点作AM⊥x轴于M点，过B点作BN⊥x轴于N点，根据（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）①过A点作AG⊥x轴于G点，如图， ∵△AOC是等腰直角三角形， ∴∠AOC=90°，AO=CO， ∴∠COH+∠AOG=90°， ∵CH⊥x轴，AG⊥x轴， ∴∠CHO=90°，∠AGO=90°， ∴∠COH+∠OCH=90°， ∴∠OCH=∠AOG， 即∠OCH=∠AOx； ②∵∠OCH=∠AOG，∠CHO=90°=∠AGO，OC=OA， ∴Rt△CHO≌Rt△OGA， ∴HO=AG，CH=OG， ∵A(3，4)， ∴AG=4=HO，OG=CH=3， ∴C点坐标为(-4，3)， （2）证明：∵A(3，4)，B(-1，7)，O(0，0)， ∴，，， ∴AB=AO=5，， ∴△ABO是直角三角形，且AB=AO， ∴即△ABO是等腰直角三角形； （3）第一种情况：当OA=AB时，即∠BAO=90°，根据（2）的结果可知B点坐标为(-1，7)； 第二种情况：当OA=OB时，即∠AOB=90°， 如图，过A点作AM⊥x轴于M点，过B点作BN⊥x轴于N点， 根据（1）中的方法可证得Rt△BNO≌Rt△OMA， ∴BN=OM，NO=AM， ∵A(3，4)， ∴AM=4=NO，OM=BN=3， ∴根据图形可知B点在第二象限， ∴B点坐标为(-4，3)， 综上：B点坐标为(-1，7)、(-4，3)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、坐标系中点的坐标特征等知识，证得Rt△CHO≌Rt△OGA是解答本题的关键． 47．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，点在轴上，点在第二象限，．                       (1)在线段上找一点，使得，连接、，求证：； (2)将绕点逆时针旋转，使得点落在轴正半轴上． 如图，轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则与有怎样的数量关系？并说明理由， 如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于点下，在滑动的过程中，是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由． 【答案】(1) 证明：如图，过点作轴于点，则， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 解：． 理由：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 是定值，． 【分析】（）证明，推导出，得到，又由得到，求出，即可求证； （）延长交于点，可证，，即可求得； 作，则，，可证，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：略 是定值，． 如图，作，则， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，解题的关键是作出正确的辅助线，构造出全等三角形． 48．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 覆盖十七直角三角形动点求t 49．如图，在边长为12cm的等边中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达A点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．求： (1)用含t的代数式表示_______． (2)是否存在t，使得为等边三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t，使得为直角三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半） 【答案】(1) (2)存在，时，使得为直角三角形 (3)存在，3或时，使得为直角三角形 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据列一元一次方程解方程求解即可； （3）分情况讨论，由，分和两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质，列一元一次方程解方程求解即可． 【详解】（1）解：点Q的速度为2cm/s， ， 故答案为： （2）是等边三角形， 当时，是等边三角 解得 （3）①当时，如图， 即 解得 ②当时候，如图 即 解得 综上所述，当或时，为直角三角形 【点睛】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 50．阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由：∵， ∴当是等腰三角形，则是等边三角形， ∵，， 过点作于点， ∴当时， 解得： 即时，是等腰三角形 (3)或， 理由：当时，， ∴ 即 解得： 当时， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，是直角三角形 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质；等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用； （1）根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据即可求解； （2）依题意当是等腰三角形，则是等边三角形，则只有一种可能，根据，建立方程，即可求解． （3）分，两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵动点从点出发沿线段以的速度向终点运动， ∴ 当时， （2）略 （3）略 51．如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿射线运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点运动到在的延长线上，连接交延长线于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 【答案】(1) 证明：∵动点以每秒的速度从点出发， ∴时，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2)或 (3) 的长度不变化，．理由如下： 过点Q作，交的延长线于点F， ∵ ∴， 根据题意，， ∵， ∴， ∴，，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故的长度不变化，． 【分析】(1)利用等腰三角形三线合一性质，证明即可． (2)分和，两种情况，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，列式计算即可． (3)过点Q作，交的延长线于点F，证明，得到，再证明即可得证． 【详解】（1）略 （2）∵动点以每秒的速度从点出发，另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发， ∴，， ∵ ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得 如图，时，， ∴，    ∴， 解得 故当是直角三角形时，或． （3）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，含特殊角的直角三角形，分类思想，熟练掌握分类思想，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征是解题的关键． 覆盖十八最值问题 52．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 53．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 【答案】(1)，两点之间线段最短 (2)如图，点即为所求 (3)，6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 图略； （2）略； （3）如图③， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得，，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 54．【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】 （1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①略 ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 覆盖十九等腰三角形的新定义 55．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． (1)如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点，则_________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1)；； (2)的度数为或． 【分析】（1）作的平分线交于点，根据三角形内角和得到，可知的三个内角与的三个内角相等，根据可知是等腰三角形，则是“和谐分割线”； （2）分三种情况根据“和谐分割线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：作的平分线交于点，图略； ，， ， ， 在中，， 的三个内角与的三个内角相等， ， ∴， 是等腰三角形， 是“和谐分割线”； （2）解：如图，分三种情况： ①当时，， ∵是的“和谐分割线”， ∴ ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵是的“和谐分割线”， ∴， 则， ∴； ③当时，，则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 56．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 【答案】(1)③ (2)，理由如下： 如图2中，作交的延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) ， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交的延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）略 （3）略 57．在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且．则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是___________． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为___________．（直接写出答案） 【答案】(1)或； (2) ①如图所示，直线即为所求 ②． 【分析】（1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解． 【详解】（1）解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或； （2）解：①理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点横坐标为， 又∵点的坐标为， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一全等三角形的判定 1．如图，，，．求证：． 2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 3．如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 覆盖二 轴对称的网格作图 4．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)将向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，画出； (3)借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段． 6．作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 覆盖三 无刻度尺网格作图 7．仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．请保留作图痕迹 8．如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图． (1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形； (2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形． 9．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．只用无刻度的直尺，在每个图中作出一个与有公共边且全等（不含）的格点三角形．    覆盖四 三角形的内角与外角求角度 10．在中，，，求的度数． 11．已知一个三角形的最大角的度数为，最小角的度数为．求x的取值范围． 12．如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 覆盖五角平分线与垂直平分线的尺规作图 13．如图，已知，请你按下列步骤画图：（用尺规作图，不写画法，只保留画图痕迹） (1)画的平分线交线段于点； (2)过点画的平行线交射线于点． 14．如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 覆盖六 三角形的角平分线与高夹角问题 16．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 18．如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 覆盖七全等三角形的性质与判定 19．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 21．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 覆盖八角平分线的性质与判定 22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 23．如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 24．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 覆盖九垂直平分线的性质与判定 25．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 26．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 27．如图，为的角平分线，，垂足分别为点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：． 覆盖十等腰三角形的性质与判定 28．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 29．如图，，交于点，，点在线段上，且，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 30．如图，在 中，，过B作 交于点 D．过点D作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)过点A作于点G，若，求证：． 覆盖十一等边三角形的性质与判定 31．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 32．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 33．【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，（理由1） 在中，，（理由2） ．即． (1)请你填写证明中的两处理由：理由1：_______________________； 理由2：____________________； 【拓展应用】 (2)请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． （提示：先用含的代数式表示，再用作差法证明，即可证明） 覆盖十二测距方案问题 34．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：_______方案二：_______． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 35．根据以下素材，完成探索任务． 素材 如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河岸的点A处，测得河南岸的一棵树底部B点恰好在点A的正南方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，观测者在河南岸从点B出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得 观测者从B点向正东走到C点，O是的中点，继续从点C沿垂直于的方向走，直到点A，O，D在一条直线上 测量示意图 问题解决 任务1 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段_____的长度． 任务2 （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 任务3 （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性． 36．学习利用三角形全等测距离后，实践小组同学就“测量河两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B和C在同一条直线上，且； ②测得，； ③延长至点E，使得； ④测得米． (1)请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． (2)创新小组了解了他们的方案后，觉得有点麻烦，给出了新的方案及示意图，如下： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点O和点D，使得，点B，O，D在同一条直线上，且； ②…… 请帮他们补全方案及示意图． 覆盖十三 角平分线与垂直平分线的结合问题 37．（1）如图1，中，，平分交于D，过C点作的垂线交的垂直平分线于M，连，N在的延长线上．求证：平分； （2）把（1）中的“平分交于D”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若（如图3），且，作于，求的长度． 38．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线与交于点O，平分，平分． ①若，则的度数为_______度； ②若，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，是某农科院的一块试验田，是一条小路，为了进行更多种类农作物的培养试验，现计划对该试验田进行扩建，并将小路继续延长．首先从边的中点E处向外修一条与边垂直的小路，该小路与小路的延长线交于点F（即），再从点F向边设立一道垂直于的篱笆墙，交的延长线于点G（即），最后从F向B设立一道篱笆墙．已知平分，，，求扩建后的试验田的总面积（即四边形的面积）． 39．如图，已知平分，点D，E分别在射线，上，连接，的垂直平分线交于F，交于P，过点F作，，垂足分别为G，H．求证：．    覆盖十四 三角形折叠求解 40．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 41．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 42．（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 覆盖十五全等三角形中的动点求t 43．如图所示，长方形中，．点P从点A出发沿边向做往返运动，每秒移动，动直线a与边重合，交于点M、于点N．直线a与点P同时出发，沿方向移动，每秒移动，移动t秒，当直线a与边重合时，移动全部停止． (1)用含t的代数式表示的长度： (2)当t为何值时，点P在直线a上； (3)连接，直接写出当t为何值时，与全等． 44．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒． （1）在运动过程中，当______秒时，； （2）在运动过程中，当时，求出的值； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 覆盖十六 平面直角坐标系中的等腰直角三角形 46．如图： (1)如图（1）所示，已知△OAC为等腰直角三角形，，以点D为坐标图点建立坐标平面，作轴于H点，求证： ① ②若点A坐标为，求出点C的坐标． (2)如图（2）所示，已知△OAB，以点O为原点建立平面直角坐标系，若点A坐标为，点B的坐标为，求证：△OAB是等腰直角三角形． (3)如图（3）所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，若△OAB是以OA为腰的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标． 47．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，点在轴上，点在第二象限，．                       (1)在线段上找一点，使得，连接、，求证：； (2)将绕点逆时针旋转，使得点落在轴正半轴上． 如图，轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则与有怎样的数量关系？并说明理由， 如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于点下，在滑动的过程中，是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由． 48．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 覆盖十七直角三角形动点求t 49．如图，在边长为12cm的等边中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达A点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．求： (1)用含t的代数式表示_______． (2)是否存在t，使得为等边三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t，使得为直角三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半） 50．阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 51．如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿射线运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点运动到在的延长线上，连接交延长线于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 覆盖十八最值问题 52．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 53．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 54．【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 覆盖十九等腰三角形的新定义 55．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． (1)如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点，则_________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 56．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 57．在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且．则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是___________． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为___________．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $