期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题（二十种类型共80题）-2026-2027学年人教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 聚焦三角形与全等、轴对称等核心知识，分基础常考与中等易错模块，通过选择、填空、解答题覆盖概念辨析与综合应用，突出几何直观与推理能力，强化易错点突破。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础常考|10类型，每类3-4题|概念辨析（如高线、稳定性）、基本应用（三角形条件、等腰定义）|从三角形基本概念到全等判定、轴对称，层层递进，构建知识网络| |中等易错|10类型，每类3-4题|综合应用（中线面积、角平分线性质）、动态问题（动点求t）、方案设计|整合性质与实际，迁移知识解决复杂问题，培养数学表达与应用意识|

期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、三角形的高线与稳定性(选、填) 1．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 2．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，工人在新做的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是利用了三角形的__________性． 4．如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 类型二、配玻璃块与全等依据(选、填) 1．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（    ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃． A．① B．② C．③ D．①②③ 2．如图，，垂足为，，垂足为，，，依据上述条件可以判定，这种判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 3．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是___． 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是全等三角形的_______________．三角形全等的依据是_________． 类型三、组成三角形的条件及应用(选、填) 1．活动课上老师要求同学们用三根小棒围成一个三角形，应该选择（   ）． A． B． C． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，5 C．3，4，5 D．3，3，6 3．已知三角形中两条边的长度分别为2和5，则此三角形的第三边的长度可能是_______．（写出一个值即可）． 4．已知a，b，c是的三边长，则______． 类型四、等腰三角形与直角三角形的定义(选、填) 1．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 2．如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 3．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______． 4．在中，高，所在直线相交于点（点不与点，，重合）．若，则________． 类型五、三角形的外角与折叠求角度(选、填、解) 1．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 4．如图，，三角形的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分．若，，求的度数． 类型六、全等三角形的性质与判定(选、填、解) 1．已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 4．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 类型七、轴对称图形的定义与作图(选、填、解) 1．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 3．如图，已知，，与关于直线成轴对称，则________ 4．（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 类型八、角平分线与垂直平分线的尺规作图(选、填、解) 1．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 2．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 4．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 类型九、平行线与三角形的证明问题(解) 1．如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 2．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 3．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 4．如图，已知：，．      (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型十、无刻度尺作图(解) 1．请仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留作图痕迹）    (1)如图1，在中，分别为的中点，请在图1中画出的中点M； (2)如图2，在四边形内找一点O，使之和最小； (3)在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点已知A，B，C均为格点，请仅用无刻度直尺利用格点完成画图； ①在图3中，画的高； ②在图4中，过点B画的平行线（注：本小题D为格点） 2．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，，，作的平分线． (2)如图②，，，作边的垂直平分线． 3．如图，已知， 且点B，C，D 在同一直线上．请仅用无刻度的直尺按下列要 求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出，使 (2)在图2中，在直线的上方作出，使 4．如图，与都是等边三角形，为的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)请在图1中作的中线． (2)请在图2中作的中线． 【中等易错】 类型一、三角形中线平分面积与周长(选、填) 1．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 2．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 4．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 类型二、正方形图形与复杂图形角度和(选、填) 1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 3．如图是与在的网格上的位置，则________． 4．如图所示，，则的度数为__度． 类型三、角平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 3．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 4．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 类型四、垂直平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长等于（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．如图，在中，，边上的垂直平分线交、分别于点D、E，则的周长等于______． 4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 类型五、等腰三角形的性质与判定(选、填、解) 1．已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，，，则的度数为________． 4．在中，于点，，，于点． (1)如图1，若为等边三角形，求证：； (2)如图2，若，交于点，与交于点，求证：． 类型六、等边三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 2．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 4．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 类型七、三角形的角平分线与高夹角问题(选、填、解) 1．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 4．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 类型八、三角形的三种角平分线(选、填、解) 1．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 2．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 3．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 4．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 类型九、全等三角形中的动点求t ( 解) 1．如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 2．已知中，，，D为的中点，动点P从B出发沿向C点方向运动，Q点从A出发沿向终点C运动，若P的速度的2个单位/每秒，Q的速度的4个单位/每秒，运动时间的t秒．    (1)当运动时间的t秒时，则______，______（用含t的代数式表示）； (2)当时，与全等吗？说明理由； (3)若的周长为，问t为何值时是等腰三角形？ 3．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 4．如图，在中，，，，，直线过点．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，到各自终点结束．分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）： (1)当、两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，用含的代数式表示的长； (3)当与全等时，请直接写出的值； (4)当点不与、重合时，请直接写出点落在某个内角平分线上时的值． 类型十、方案问题(解) 1．项目化学习 项目背景：某公园广场上设置了一个大型喷泉，综合实践小组的同学要测量喷泉喷水时构成的圆形水网的外围，之间的距离，因喷泉喷水中而无法直接测量．同学们设计方案、实施测量，并形成如下项目报告． 项目主题 测量不能直接到达的喷泉圆形水网外围上两点之间的距离 驱动问题 利用现有的工具、借助所学数学知识设计测量方案 测量工具 足够长度的卷尺，角度仪 测量方案 测量步骤 测量方案示意图 第一步：在圆形水网外的地面上，取的垂线上两，点，，使． 第二步：画的垂线，使得点与，点，在同一直线上． 第三步：测量，之间的距离，即是，两点之间的距离． 数学思考 上述测量方案的原理如下：由题意得，． …… 反思交流 是否还可以设计其他测量方案？ 任务1：补全测量方案数学思考中的证明过程； 任务2：请写出一个与上述方案不同的测量方案，写出测量步骤，并画出示意图． 2．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 3．项目学习 项目背景 某学校内有一池塘，在数学综合实践活动课上，老师要求学生利用三角形有关知识测量池塘A、B两端（两点均在地面上，但无法直接测量）的距离． 项目主题 距离的测量与计算 测量小组 甲组 乙组 丙组 测量示意图 测量方案 如图①，设A、B两点所在直线为东西方向，沿点A南偏东方向作射线，沿点B南偏东的方向作射线，交于点C，最后测量的长即可． 如图②，过点B作射线，过点A作于C，以A为顶点作，边交射线于D，最后测量的长即可． 如图③，在地面上取一个可以直接到达A，B两端的点O，连接并延长到C，使，连接并延长到D，使，连接，最后测量的长即可． (1)甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是_______组；（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)请你选择一个可行的方案，并说明可行的理由； (3)对于（1）中不可行的方案，请只改变或添加某一个条件使该方案可行，并说明理由；或你自己利用三角形有关知识另外设计一个新的可行方案，画出示意图，写出测量方案，并说明理由． 4．（1）如图1，在△中，，，求证：． ①请补全证明过程 证明：如图2．取中点，连接．． 在△中，， ；． 又，． △为 三角形．． ②请用文字概括①所证明的命题； ． （2）如图3，某三个城镇中心、、恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇为出发点设计了三种连接方案： 方案； 方案；（以为中点）； 方案；（以为△三边的垂直平分线的交点）． ①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短； ②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、三角形的高线与稳定性(选、填) 1．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 【答案】A 【分析】设的边上的高为，求出的面积为，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 2．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高， 题目要求是的高，需要满足：过顶点，作对边所在直线的垂线，垂足为； 对四个选项逐一判断： A、，不垂直于，不符合； B、不垂直于，不符合； C、，不垂直于，不符合； D、过顶点作延长线的垂线，垂足为，符合三角形高的定义． 3．如图，工人在新做的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是利用了三角形的__________性． 【答案】稳定 【详解】解：这样做的道理是利用了三角形的稳定性． 4．如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 【答案】 三角形具有稳定性 【详解】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 类型二、配玻璃块与全等依据(选、填) 1．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（    ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃． A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理解答． 【详解】解：第③保留有原三角形的两个角和一条边，可以利用ASA证明两个三角形全等， 故选：C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、ASA、AAS、SAS、HL，熟记各判定定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 2．如图，，垂足为，，垂足为，，，依据上述条件可以判定，这种判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形全等的判定有：、、、，选择合适的方法进行证明是解此题的关键． 【详解】解：，垂足为，，垂足为， ， 在和中， ， ， ∴这种判定三角形全等的依据是， 故选：D． 3．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是___． 【答案】① 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：带①②去，符合ASA判定，选项符合题意； 带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故答案为：①． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解本题的关键． 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是全等三角形的_______________．三角形全等的依据是_________． 【答案】 对应角相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有． 从作图可知，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：， 理由是：从作图可知， ∵在和中 ， ， ∴（全等三角形的对应角相等）， 故答案为：对应角相等，． 类型三、组成三角形的条件及应用(选、填) 1．活动课上老师要求同学们用三根小棒围成一个三角形，应该选择（   ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根的长度和是否大于最长边，满足条件即可围成三角形. 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需比较较短两边的和与最长边的大小即可判断. 选项A中，较短两边为和，，与最长边相等，不满足三边关系，不能围成三角形， 选项B中，较短两边为和，，不满足三边关系，不能围成三角形， 选项C中，较短两边为和，，满足三边关系，可以围成三角形， 所以应选择C. 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，5 C．3，4，5 D．3，3，6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：选项A∵，两条较短边的和等于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意． 选项B∵，两条较短边的和小于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意． 选项C∵，两条较短边的和大于最长边，满足三边关系，∴能组成三角形，符合题意． 选项D∵，两条较短边的和等于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意． 综上，选C． 3．已知三角形中两条边的长度分别为2和5，则此三角形的第三边的长度可能是_______．（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解：设三角形第三边的长度为， 根据三角形三边关系可得，即， ∴第三边的长度可以为（答案不唯一）． 4．已知a，b，c是的三边长，则______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系定理，确定绝对值中式子的符号后化简即可． 【详解】∵a，b，c是的三边长， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴ = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 类型四、等腰三角形与直角三角形的定义(选、填) 1．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 2．如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 3．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______． 【答案】15或18厘米 【分析】由等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，故其三边为4、4、7或4、7、7，分别求出其周长即可. 【详解】∵一个等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm， ∴第三边可能为4cm或7cm， 即三边为4、4、7或4、7、7， 求得周长分别为15cm,18cm, 故填15或18. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的三边关系，分情况讨论是易错点. 4．在中，高，所在直线相交于点（点不与点，，重合）．若，则________． 【答案】 或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的高，对顶角的性质，需要利用分类讨论思想，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况计算，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为锐角三角形时， ，是的高，， ∴， 在四边形中，， （对顶角相等）， ∴； 当为钝角三角形，且是钝角时， ，是的高， ∴，， ∴； 当为钝角三角形，且是钝角时， ，是的高， ∴，， ∴ ∴； 综上所述，或． 类型五、三角形的外角与折叠求角度(选、填、解) 1．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 4．如图，，三角形的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分．若，，求的度数． 【答案】 【分析】依据三角形内角和定理可得，再根据平分，，即可得到，再根据是的外角，即可得出． 【详解】解：因为， 所以， 因为平分，， 所以， 因为是的外角， 所以． 类型六、全等三角形的性质与判定(选、填、解) 1．已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 2．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 3．如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【答案】 【分析】根据题意容易判断，已有一组直角边对应相等，因此添加一组斜边相等． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴若要用“”证明还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即． 4．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， ， ， 又，， ； (2) 【分析】（1）利用“角边角”即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 又， ， 又， ∴， ， ． 类型七、轴对称图形的定义与作图(选、填、解) 1．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意． 2．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 3．如图，已知，，与关于直线成轴对称，则________ 【答案】/25度 【分析】根据轴对称的性质得出的度数，再根据三角形内角和计算的度数． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ． 在中，， ． 4．（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】（1）①； ②如图所示： ③如图，取点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求： （2）①如图，作的垂直平分线，直线即为所求， ②如图，连接，交于点，延长、交于点，作直线即为所求对称轴， 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是理解成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分这一性质． （1）①用正方形面积减去三个小三角形的面积即可得的面积； ②利用平移的性质，找出平移后的对应点，顺次连接即可； ③利用网格，找出点关于的对称点，连接并延长交于点，根据轴对称的性质即可得答案； （2）①依据对应点连线被对称轴垂直平分，作的垂直平分线来确定对称轴即可； ②连接，交于点，延长、交于点，作直线即可得答案． 【详解】解：（1）①． 故答案为： ② 略 ③ 略 （2）① 略 ② 略 类型八、角平分线与垂直平分线的尺规作图(选、填、解) 1．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 2．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 【详解】解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 4．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 【答案】(1)如图，点即为所求作的点； (2)如图，点即为所求作的点． 【分析】（1）由题意得，点在的垂直平分线，即作的垂直平分线交于点，点即为所求作的点； （2）延长至点，作的平分线的过点的垂线，延长交于点，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，点即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2）解：图略 理由：于点，于点，平分 ， 在和中， ， ， ， 将沿着直线折叠，点能落在边上的点处． 类型九、平行线与三角形的证明问题(解) 1．如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 2．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 3．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知：，．      (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，结合可得，进而可得； （2）根据（1）的结论可得，根据三角形内角和即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 类型十、无刻度尺作图(解) 1．请仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留作图痕迹）    (1)如图1，在中，分别为的中点，请在图1中画出的中点M； (2)如图2，在四边形内找一点O，使之和最小； (3)在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点已知A，B，C均为格点，请仅用无刻度直尺利用格点完成画图； ①在图3中，画的高； ②在图4中，过点B画的平行线（注：本小题D为格点） 【答案】(1) 如图所示，连接并延长，交于点M，则点M即为所求；    (2) 如图所示，连接相交于点O，点O即为所求；    (3) ①如图所示，即为所求；    ②如图所示，即为所求．    【分析】本题主要考查了作图的知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据三角形中线的性质，即可获得答案； （2）连接相交于点O，即可获得答案； （3）①取点，连接交于点，即可获得答案；②取点，连接，即可获得答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：①略； ②略． 2．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，，，作的平分线． (2)如图②，，，作边的垂直平分线． 【答案】(1) 即为所求． (2) 即为所求． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质解答即可． （2）根据三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴平分， 则即为所求． （2）解：连接，二线交于点O， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 连接AO，并延长交于点F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 则即为所求． ． 3．如图，已知， 且点B，C，D 在同一直线上．请仅用无刻度的直尺按下列要 求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出，使 (2)在图2中，在直线的上方作出，使 【答案】(1) 如图，连接，则即为， (2) 如图，延长交于点，即为， 【分析】本题考查了复杂作图，全等三角形和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练利用全等三角形的性质是解题的关键． （1）连接，则即为； （2）延长交于点，即为． 【详解】（1）解：如图，连接，则即为， ， ， ，， ； （2）解：如图，延长交于点，即为， ， ， ． 4．如图，与都是等边三角形，为的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)请在图1中作的中线． (2)请在图2中作的中线． 【答案】(1) 如图所示，为所作； (2) 如图所示，为所作． 【分析】本题考查了作图之复杂作图： （1）延长交于点，连接即为所求； （2）在（1）的基础上，连接，交于点，再连接，延长交于，即即为所求． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【中等易错】 类型一、三角形中线平分面积与周长(选、填) 1．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 2．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 3．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 4．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 类型二、正方形图形与复杂图形角度和(选、填) 1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 2．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：． 【详解】解：如下图所示，在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图是与在的网格上的位置，则________． 【答案】/度 【分析】如图，取格点，连接，，证（），得，同理可证：，得，，再证明， 利用直角三角形的两锐角互余即可得解。 【详解】解：如图，取格点，连接，， ∵，，， ∴（）， ∴， 同理可证：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质及等边对等角是解题的关键。 4．如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 类型三、角平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 2．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 3．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 类型四、垂直平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长等于（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．如图，在中，，边上的垂直平分线交、分别于点D、E，则的周长等于______． 【答案】15 【分析】根据垂直平分线的性质，将转化为，即的长，代入数值计算即可． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线， ， ， ， ， ， 的周长为． 4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ． 类型五、等腰三角形的性质与判定(选、填、解) 1．已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形性质可得，由等腰三角形性质可求的度数，结合角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 4．在中，于点，，，于点． (1)如图1，若为等边三角形，求证：； (2)如图2，若，交于点，与交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形和等腰三角形的性质求出即可证明； （2）证明及得，再证即可； 本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等． 【详解】（1）略； （2）略． 类型六、等边三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 2．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 【答案】 【分析】先证明，从而得到，再根据垂线段最短得到，点E为中点，求出的长，再根据等边三角形求出的长，从而求得m． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 和为等边三角形，， ， ， ， ， 当时，最短， 此时点E是中点， ， ， ． 4．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【答案】(1)证明：∵，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴， ，即， ． (3)； 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取，构造，从而证得，，再用线段的和与差即可证得； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， 即， ， 平分， ∴如图所示，点E在的内角的角平分线上上运动． ∴点E的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ∵， ， 即点E的运动路程为． 类型七、三角形的角平分线与高夹角问题(选、填、解) 1．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴ ． 3．如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理得，计算即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， ， ． 4．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 类型八、三角形的三种角平分线(选、填、解) 1．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的综合运用，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线定义推导角度． 先根据角平分线定义表示出、，再由的内角和求出，进而得到外角和的一半，最后结合三角形外角和求出． 【详解】解：平分，平分， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， 解得． 故选：B． 3．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 4．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到； （4）同理（1）和（2）可得，，，则． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ； （4）解：，理由如下： 、的平分线交于点， 同理（1）可得， 的平分线与的平分线的延长线相交于点， 同理（2）可得， ． 类型九、全等三角形中的动点求t ( 解) 1．如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)当或4时， 【分析】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． （1）根据点从点出发、点从点出发的速度、结合图形解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点从点运动至点、从点返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，； （2）解：由题意得，， 当时，有，即，此时无解； 当时，有，即， 解得； （3）解：当时，， 则，即， 解得， 当时，， 则，即， 解得， 综上所述：当或4时，． 2．已知中，，，D为的中点，动点P从B出发沿向C点方向运动，Q点从A出发沿向终点C运动，若P的速度的2个单位/每秒，Q的速度的4个单位/每秒，运动时间的t秒．    (1)当运动时间的t秒时，则______，______（用含t的代数式表示）； (2)当时，与全等吗？说明理由； (3)若的周长为，问t为何值时是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2) 当时，，理由如下： ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴，， ∴．    (3)当时，是等腰三角形，且的周长为 【分析】（1）根据路程速度时间就可以得出结论； （2）根据时，，，求出，得出，，证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵P的速度的2个单位/每秒，Q的速度的4个单位/每秒，运动时间的t秒， ∴，； 故答案为：；． （2）略 （3）解：∵已知中，，P的速度的2个单位/每秒，Q的速度的4个单位/每秒 ∴当是等腰三角形时，只有或 ∵，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，过点A作于点E，过点Q作于点F，连接，如图所示：   ， 解得：， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， ∴， ∴此时不符合题意舍去； 综上分析可知，当时，是等腰三角形，且的周长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，等腰三角形的性质和判断，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法，并注意分类讨论． 3．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或4 【分析】本题考查了列代数式，三角形的面积，全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解即可； （3）根据，得出，列出关于t的方程，解方程即可； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：∵， ∴，且此时点P在上， ∴， 解得， ∴当时，； （4）解：根据题意可知：， 当点在上时，， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，， ∵， ， 解得； 综上所述，的值为或4时，和面积相等． 4．如图，在中，，，，，直线过点．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，到各自终点结束．分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）： (1)当、两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，用含的代数式表示的长； (3)当与全等时，请直接写出的值； (4)当点不与、重合时，请直接写出点落在某个内角平分线上时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或18 (4)或 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． （1）由题意得，即可求得t的值； （2）根据题意分两种情况：当点在上时，即时，；当点在上时，即时，，即可求解； （3）分情况讨论：①当D在上，E在上时；当D在上，E在上时；当D在上，E在上时，得出关于t的方程，解方程求得t的值； （4）分情况讨论：当点在的平分线上时；当点在的平分线上时；当点在的平分线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：（秒）， 当、两点相遇时，t的值为秒； （2）解：由题意可知，，， 当点在上时，即时，； 当点在上时，即时，； 则的长为； （3）解：①当D在上，E在上时， ∵，     ∴， ∵于F，于G．     ∴， ∴， 要使与全等，   只需， ∴ 解得， 点到达点用时，点到达点用时， 则当D在上，E在上时，可知当D、E重合时，与全等，如图， 则， 由题意得，，         解得：， 当D在上，E在上时， ∵当E到达A时，用时，此时点运动个单位长度，还未到达点， ∴A、E重合后，点D在上时，如图，同①可得只需时，与全等， 则， 解得， 综上，当与全等时，满足条件的t等于或或18． （4）解：当点在的平分线上时，如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 当点在的平分线上时，不存在； 当点在的平分线上时，如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 综上，或． 类型十、方案问题(解) 1．项目化学习 项目背景：某公园广场上设置了一个大型喷泉，综合实践小组的同学要测量喷泉喷水时构成的圆形水网的外围，之间的距离，因喷泉喷水中而无法直接测量．同学们设计方案、实施测量，并形成如下项目报告． 项目主题 测量不能直接到达的喷泉圆形水网外围上两点之间的距离 驱动问题 利用现有的工具、借助所学数学知识设计测量方案 测量工具 足够长度的卷尺，角度仪 测量方案 测量步骤 测量方案示意图 第一步：在圆形水网外的地面上，取的垂线上两，点，，使． 第二步：画的垂线，使得点与，点，在同一直线上． 第三步：测量，之间的距离，即是，两点之间的距离． 数学思考 上述测量方案的原理如下：由题意得，． …… 反思交流 是否还可以设计其他测量方案？ 任务1：补全测量方案数学思考中的证明过程； 任务2：请写出一个与上述方案不同的测量方案，写出测量步骤，并画出示意图． 【答案】 任务一：证明：由题意得， 在和中 任务二：测量方案及测量步骤： 如图所示 第一步：在圆形水网外的地面上，取点，点可以直接到达点和点，连接并延长到点，使． 第二步：连接并延长到点，使． 第三步：连接，那么量出的长就是，两点的距离． 理由如下：∵，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则，即可解答； （2）第一步：在圆形水网外的地面上，取点，点可以直接到达点和点，连接并延长到点，使，第二步：连接并延长到点，使． 第三步：连接，那么量出的长就是，两点的距离，证明，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 2．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【答案】(1)①；② (2) 理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． (3)方案二 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【详解】（1）解：①；②． （2）略 （3）解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 3．项目学习 项目背景 某学校内有一池塘，在数学综合实践活动课上，老师要求学生利用三角形有关知识测量池塘A、B两端（两点均在地面上，但无法直接测量）的距离． 项目主题 距离的测量与计算 测量小组 甲组 乙组 丙组 测量示意图 测量方案 如图①，设A、B两点所在直线为东西方向，沿点A南偏东方向作射线，沿点B南偏东的方向作射线，交于点C，最后测量的长即可． 如图②，过点B作射线，过点A作于C，以A为顶点作，边交射线于D，最后测量的长即可． 如图③，在地面上取一个可以直接到达A，B两端的点O，连接并延长到C，使，连接并延长到D，使，连接，最后测量的长即可． (1)甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是_______组；（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)请你选择一个可行的方案，并说明可行的理由； (3)对于（1）中不可行的方案，请只改变或添加某一个条件使该方案可行，并说明理由；或你自己利用三角形有关知识另外设计一个新的可行方案，画出示意图，写出测量方案，并说明理由． 【答案】(1)甲和丙 (2) 解：①甲组方案：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故测量的长即可； ②丙组方案：在和中， ， ∴， ∴， 故测量的长即可； (3) 解：①改变一个条件（答案不唯一）： 将改为． 理由如下：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； ②添加一个条件（答案不唯一）： 添加．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．即为等边三角形， ∴； ③设计新方案：（答案不唯一） 测量方案：如图，以B为顶点作， 过点A作于C， 测量出的长，最后计算即可． 理由：∵在中，，， ∴， ∴， 故测量出的长，最后计算即可． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）分析三种方法看能否求出即可； （2）①甲组方案：证明，得到，故测量的长即可； ②丙组方案：证明，得到，故测量的长即可； （3）①将改为．则是的垂直平分线，得到； ②添加．证明即为等边三角形，得到； ③设计新方案：以B为顶点作，过点A作于C，测量出的长，最后计算即可． 【详解】（1）解：甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是甲和丙组， 故答案为：甲和丙； （2）略 （3）略 4．（1）如图1，在△中，，，求证：． ①请补全证明过程 证明：如图2．取中点，连接．． 在△中，， ；． 又，． △为 三角形．． ②请用文字概括①所证明的命题； ． （2）如图3，某三个城镇中心、、恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇为出发点设计了三种连接方案： 方案； 方案；（以为中点）； 方案；（以为△三边的垂直平分线的交点）． ①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短； ②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由． 【答案】（1）① ；等边 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）①方案， 方案是等边三角形， ，． 为的中点， ，，．， ， ， 方案3：如图3，延长交于， 为三边垂直平分线的交点， ． ， ，，， ，， ，， ， ， 方案三最短，方案一最长； ②设， 方案， 方案是等边三角形， ，． 为的中点， ，，．， ， ， 如图3，延长交于， 为三边垂直平分线的交点， ． ， ，，， ，， ，， ， ， 方案三最短，方案一最长． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得证是等边三角形，可得结论；②由直角三角形的性质可得结论； （2）①由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出三种方案中铺设的光缆的长度，即可求解；②由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出三种方案中铺设的光缆的长度，即可求解． 【详解】解：（1）①如图2.取中点，连接． ． 在中，， ，． 又， ． 为等边三角形． ， 故答案为：；等边； ②命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （2） 略 1 学科网（北京）股份有限公司 $