第二十七章 反比例函数(培优讲义)2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过表格系统构建知识体系，梳理反比例函数的概念、图象性质、比例系数几何意义及实际应用等模块，明确核心内容、关键方法与易错提醒，并用解题方法图表归纳待定系数法、面积法等技巧，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层例题设计与核心素养培养，如基础型辨析函数概念、提高型跨象限比较函数值、奥数型结合几何面积综合题，通过高铁运行等实践活动强化模型观念，易错避坑指南助力学生自主复习，教师可依此实施精准分层教学。

第二十七章 反比例函数 核心素养与单元目标 1 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 第二部分 单元考点精讲与题型突破 3 考点一 反比例函数的概念与解析式 3 考点二 反比例函数的图象与性质 5 考点三 比例系数的几何意义 7 考点四 反比例函数的实际应用 10 第三部分 综合与实践 高铁列车运行中的数量关系 11 第四部分 单元易错避坑指南 12 易错点1：忽略反比例函数中的条件 12 易错点2：增减性表述遗漏“在每个象限内” 13 易错点3：跨象限比较函数值大小，直接用增减性 13 易错点4：的几何意义混淆符号 13 易错点5：实际问题忽略自变量取值范围 13 易错点6：混淆反比例与正比例关系 14 第五部分 单元分层进阶达标自测 15 第六部分 达标自测精准解析 19 学科网（北京）股份有限公司 核心素养与单元目标 核心素养 运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识。 单元目标 1. 知识技能：理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象与性质（象限分布、增减性、中心对称性）；理解比例系数的几何意义；能运用待定系数法求反比例函数解析式；能运用反比例函数解决工程、行程、杠杆、压强、电路等实际问题。 2. 数学思考：经历反比例函数图象的探究过程，体会数形结合、分类讨论、转化思想；能从图象中读取代数信息，由解析式想象图象特征，建立数与形的双向对应；理解反比例关系的本质。 3. 问题解决：能建立反比例函数模型解决实际问题；掌握实际问题中自变量取值范围分析方法，能结合图象性质解决最值、范围类问题；提升从实际情境中抽象数学模型的能力。 4. 情感态度：通过“高铁列车运行中的数量关系”综合实践，体会函数模型在现实中的广泛应用；提升探究意识，感受数学的实用价值。 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 本单元是初中函数板块的重要组成部分，在一次函数、二次函数的基础上，研究另一类基本函数模型。本章是中考填空、选择、解答题的高频考点，同时为高中继续学习幂函数、反比例关系物理模型打下重要基础。 一、知识体系全景梳理 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 反比例函数的概念 定义、三种表达形式、比例系数、自变量取值范围 定义判定法、待定系数法 忽略；混淆反比例函数与反比例关系；误将分式函数都当作反比例函数 反比例函数的图象与性质 双曲线形状、象限分布、增减性、中心对称性 图象观察法、性质推导法 增减性表述遗漏“在每个象限内”；跨象限比较函数值大小；混淆的符号与图象位置 比例系数的几何意义 矩形面积、三角形面积、图象上点的面积不变性 面积法、整体代入法 忽略面积的绝对值；面积与的符号对应错误 反比例函数实际应用 行程、工程、杠杆、压强、电路、密度体积等反比例模型 建模四步法：设元→找等量→列函数→定范围→求解检验 忽略自变量实际取值范围；直接套用性质不检验实际意义；混淆正比例与反比例关系 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 待定系数法 已知点坐标求反比例函数解析式 ①设解析式；②代入点坐标求；③回代写出解析式 一点求，一代入，一回代 图象性质分析法 由图象判断符号、比较函数值、解不等式 ①看象限定；②看增减比大小；③结合图象写范围 一象限看，增减分象限，范围看图象 的几何意义法 图象上点与坐标轴围成的面积问题 ①过点作坐标轴垂线；②矩形面积等于，三角形面积等于；③结合图形转化求解。 矩形面积等于，三角形面积等于，与点的位置无关； 反比例建模法 行程、杠杆、压强、电路等实际问题 ①确定两个变量；②找乘积定值关系；③写出反比例函数；④限定自变量范围求解 乘积为定值，反比例模型；建模先定域 对称性质法 中心对称、轴对称相关问题 ①关于原点对称，横纵坐标都变号；②关于对称，横纵坐标互换；③利用对称性求点坐标 原点对称全变号，对称坐标倒 三、奥数思维提升 1. 分类讨论思想：含参数反比例函数、函数值大小比较 核心要点：当比例系数含参数、或比较不同象限点的函数值时，按的符号、点所在象限分类讨论，做到不重不漏。 示例：反比例函数上有两点，，若 2. 数形结合思想：解析式与双曲线图象双向转化 核心要点：由解析式读出符号、象限、增减性；由图象读出符号、特殊点坐标；代数条件翻译成图象特征，图象信息翻译成代数等式、不等式。 示例：反比例函数图象两支分别在二、四象限，翻译为。 3. 转化思想：反比例关系与正比例关系互相转化 核心要点：乘积为定值的两个量成反比例；比值为定值的两个量成正比例；可以根据题意灵活转化，选择更简便的模型。 示例：路程一定，速度与时间成反比例；速度一定，路程与时间成正比例。 4. 模型思想：实际情境抽象反比例函数模型 核心要点：从行程、杠杆、压强、电路、密度等问题中，找到“乘积为定值”的等量关系，建立反比例函数，必须同步确定自变量取值限制。 示例：压力一定，压强与受力面积成反比例；电压一定，电流与电阻成反比例。 5. 整体思想：的几何意义与代数式整体代入 核心要点：利用双曲线上点满足，整体代入变形代数式，避免求解复杂参数；利用面积不变性，整体转化图形面积。 示例：已知双曲线上一点，不求，直接利用整体代入求值。 第二部分 单元考点精讲与题型突破 考点一 反比例函数的概念与解析式 典型例题1（基础型） 题目：下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 解题步骤： ① 选项A是正比例函数，不符合； ② 选项B分母是，不是的一次式，不是反比例函数； ③ 选项C符合形式，，是反比例函数； ④ 选项D变形得，，也是反比例函数； ⑤ 综上，答案选CD。 【答案】CD 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的概念判定； ② 解题方法：反比例函数三种等价形式：、、（ ）；判断时先化简变形，再核对“、分母是自变量一次式”两个核心条件； ③ 易错提醒：分母是的不是反比例函数；正比例函数是比值为定值，反比例函数是乘积为定值，不要混淆。 典型例题2（提高型） 题目：已知是的反比例函数，且当时，。 (1) 求函数解析式； (2) 当时，求的值； (3) 当时，求的值。 解题步骤： ① 设反比例函数解析式为； ② 将，代入：，解得； ③ 函数解析式为； ④ 当时，； ⑤ 当时，，解得。 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法求反比例函数解析式； ② 解题方法：已知一个点坐标即可求反比例函数解析式；代入时注意的符号；求自变量或函数值时，直接代入解析式解方程； ③ 易错提醒：不要漏掉的前提；计算时注意符号。 典型例题3（奥数型） 题目：已知与成反比例，且当时，。 (1) 写出关于的函数解析式； (2) 当时，求的值。 解题步骤： ① 设； ② 将，代入：，解得； ③ 函数解析式为； ④ 当时，。 【答案】(1)；(2) 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例关系的拓展形式； ② 解题方法：看清是“与成反比例”还是“与的某次方成反比例”，对应设出解析式；本质都是乘积为定值； ③ 易错提醒：不要看到“反比例”就直接设，注意自变量的形式。 考点二 反比例函数的图象与性质 典型例题1（基础型） 题目：关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 在每个象限内，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 解题步骤： ① ，图象位于第一、第三象限，选项B错误； ② 代入，，点不在图象上，选项A错误； ③ ，在每个象限内，随的增大而减小，选项C正确，选项D错误； ④ 综上，答案选C。 【答案】C 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的图象与性质； ② 解题方法：，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；，图象在二、四象限，每个象限内随增大而增大；增减性必须限定“在每个象限内”； ③ 易错提醒：不能笼统说“随的增大而减小”，必须说明在每个象限内；跨象限的点不能直接用增减性比较。 典型例题2（提高型） 题目：反比例函数的图象经过点，点，在图象上，且，比较与的大小。 解题步骤： ① 将代入解析式，，解得； ② 图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大； ③ 因为 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的增减性与函数值比较； ② 解题方法：先确定符号，再看点所在的象限；同一象限内用增减性比较；不同象限的点，直接根据正负判断大小； ③ 易错提醒：不看象限直接用增减性，是高频错误。 典型例题3（奥数型） 题目：若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是？ 解题步骤： ① ，反比例函数图象位于第二、四象限； ② ，点在第二象限，因此； ③ ，点、在第四象限，因此，； ④ 第四象限内，随的增大而增大，由得； ⑤ 综上，正数大于负数，因此大小关系为：。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：跨象限函数值大小比较； ② 解题方法：先分象限，再比较；第二象限的函数值恒正，第四象限恒负，正的一定大于负的；同一象限内再用增减性； ③ 易错提醒：直接按大小排序，忽略象限差异。 考点三 比例系数的几何意义 典型例题1（基础型） 题目：如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，轴于点，求矩形的面积。 解题步骤： ① 设点的坐标为，因为点在上，所以； ② 矩形的长为，宽为，面积； ③ 所以。 【答案】矩形面积为 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义（矩形面积）； ② 解题方法：过双曲线上任意一点作两坐标轴的垂线，围成的矩形面积等于；与点的位置无关，是定值； ③ 易错提醒：面积是绝对值，恒为正；为负时，不要写成面积为负。 典型例题2（提高型） 题目：如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的值。 解题步骤： ① 设点，的面积； ② 已知，所以，； ③ 图象在第一象限，，所以。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义（三角形面积）； ② 解题方法：过双曲线上一点作轴垂线，连接原点，所得直角三角形面积为；先算面积再根据象限定的符号； ③ 易错提醒：不要漏掉，也不要忘记的符号。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上，且轴，求的面积。 解题步骤： ① 延长交轴于点，则轴，轴； ② 点在上，的面积为； ③ 点在上，的面积为； ④ 的面积。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义拓展，两个反比例函数的面积差； ② 解题方法：平行于轴的线段，延长到轴，转化为两个直角三角形的面积差；利用的几何意义整体计算，不需要求点坐标； ③ 易错提醒：注意两个函数的大小，面积差不要减反。 考点四 反比例函数的实际应用 典型例题1（基础型·行程问题） 题目：甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地开往乙地，写出汽车全程的平均速度（单位：km/h）与行驶时间（单位：h）的函数关系式；若汽车全程用了3小时，求平均速度。 解题步骤： ① 路程为定值300km，根据，得； ② 当时，（km/h）。 答：函数关系式为；平均速度为100km/h。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数行程模型； ② 解题方法：路程一定，速度与时间成反比例；建立函数时必须写出自变量的实际取值范围； ③ 易错提醒：时间、速度均为正数，自变量范围不能漏。 典型例题2（提高型·杠杆原理） 题目：用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N，阻力臂为0.5m。 (1) 写出动力（单位：N）与动力臂（单位：m）的函数关系式； (2) 当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ 解题步骤： ① 根据杠杆原理：； ② 所以； ③ 当时，（N）。 答：(1)；(2)至少需要400N的力。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数杠杆模型； ② 解题方法：杠杆原理核心是“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，乘积为定值，符合反比例关系； ③ 易错提醒：动力臂越长越省力，符合反比例函数增减性。 典型例题3（奥数型·压强问题） 题目：在一个平底容器中，某种物体对地面的压力为600N，受力面积为（单位：），压强为（单位：Pa）。 (1) 写出与的函数关系式； (2) 若受力面积为，求压强； (3) 若要求压强不超过3000Pa，受力面积至少为多大？ 解题步骤： ① 压力，根据压强公式，得； ② 当时，（Pa）； ③ 要求，即，因为，两边乘得，解得。 答：(1)；(2)压强为3000Pa；(3)受力面积至少为。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数压强模型； ② 解题方法：压力一定，压强与受力面积成反比例；解不等式时，注意自变量为正，不等号方向； ③ 易错提醒：解分式不等式时，要注意分母的正负，避免不等号方向出错。 第三部分 综合与实践 高铁列车运行中的数量关系 活动主题 探究高铁列车运行中的速度、时间、路程、密度等数量关系，建立函数模型。 活动目标 1. 通过高铁运行情境，理解反比例函数模型的实际应用，提升建模能力； 2. 经历“实际问题→抽象模型→求解验证”的过程，体会函数模型的实用价值； 3. 了解中国高铁发展，增强科技自信与民族自豪感。 活动过程 活动一 速度与时间的反比例关系 任务1：京沪高铁全程约1318km，设列车全程平均速度为（km/h），运行时间为（h），写出关于的函数关系式； 任务2：若全程运行时间约4.5h，求列车平均速度； 任务3：若列车平均速度不低于300km/h，全程运行时间最多为多少？ 活动二 列车载客密度与车厢数量 任务1：某趟高铁列车定员1000人，设每节车厢定员人，车厢节数为，写出关于的函数关系式； 任务2：若每节车厢定员100人，需要多少节车厢？ 任务3：若每节车厢定员增加20人，需要的车厢数量如何变化？ 活动三 综合建模拓展 任务1：列车行驶阻力与速度的平方成正比例，功率一定时，速度与阻力成反比例，分析速度与功率的关系； 任务2：结合生活，举出3个反比例函数的实际应用例子。 活动结论 路程一定时，速度与时间成反比例；总人数一定时，车厢节数与每节定员成反比例；现实中大量“乘积为定值”的问题，都可以用反比例函数模型解决。 第四部分 单元易错避坑指南 易错点1：忽略反比例函数中的条件 错误示例：若函数是反比例函数，直接得，解得。 正确分析：反比例函数必须同时满足：自变量次数为，且比例系数不为0；，所以。 修正方法：只要题目说“反比例函数”，第一反应写上比例系数不等于0的限制条件。 易错点2：增减性表述遗漏“在每个象限内” 错误示例：“反比例函数，随的增大而减小”。 正确分析：反比例函数的增减性只在每个象限内成立，跨象限不成立；正确表述：“在每个象限内，随的增大而减小”。 修正方法：提到反比例函数增减性，必须加上“在每个象限内”的限定。 易错点3：跨象限比较函数值大小，直接用增减性 错误示例：反比例函数上两点，，因为，所以 但不能直接用增减性；第二象限的点函数值为负，第一象限为正，直接判断正负即可。 修正方法：比较函数值先看象限，同一象限用增减性，不同象限看正负。 易错点4：的几何意义混淆符号 错误示例：第二象限的点，矩形面积为。 正确分析：面积是绝对值，恒为正；的符号由象限决定，第二象限，矩形面积。 修正方法：面积永远为正，先写，再根据象限确定的符号。 易错点5：实际问题忽略自变量取值范围 错误示例：行程问题，直接写出，不写。 正确分析：实际问题中，时间、速度、长度、面积等都为正数，必须写出自变量的取值范围。 修正方法：所有实际应用问题，写出函数解析式后，紧跟自变量的实际取值范围。 易错点6：混淆反比例与正比例关系 错误示例：速度一定，路程与时间成反比例。 正确分析：速度一定，路程与时间比值为定值，成正比例；路程一定，速度与时间乘积为定值，成反比例。 修正方法：比值为定值是正比例，乘积为定值是反比例。 第五部分 单元分层进阶达标自测 一、基础夯实篇（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 反比例函数，当时，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 随的增大而减小 C. 恒大于0 D. 恒小于0 4. 反比例函数经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个矩形的面积为，则它的长（cm）关于宽（cm）的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数图象上一点，作轴于，则的面积为________。 8. 已知与成反比例，且当时，，则当时，________。 二、能力进阶篇（共7小题，每小题6分，共42分） 9. 已知反比例函数图象经过点，求函数解析式，并写出图象所在象限。 10. 已知反比例函数上有三点，，，比较的大小。 11. 如图，点在反比例函数上，轴于，的面积为4，求的值。 12. 某蓄电池电压为220V，写出电路中电流（A）与电阻（Ω）的函数关系式；若电阻为110Ω，求电流大小。 13. 某工厂现有一批原材料600吨，每天用吨，可以用天，写出关于的函数关系式；若每天用12吨，可以用多少天？ 14. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，求反比例函数解析式及另一个交点坐标。 15. 如图，在第一象限内，反比例函数和的图象为两支曲线。点在的图象上，过点分别作轴于点、轴于点；交于点，交于点；过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点。求图中阴影部分（矩形减去矩形）的面积。 三、思维跃迁篇（共5小题，每小题5分，共26分） 16. 若函数是反比例函数，求的值。 17. 已知反比例函数，当时，，求的取值范围。 18. 已知点，都在反比例函数上，过点作轴于，过点作轴于，连接，，求证：。 19. 某超市要运送一批货物，总质量为120吨，载重量为吨的货车，每辆车运费为2万元。 (1) 求总运费（万元）与货车载重量的函数关系式； (2) 若每辆车最多载10吨，最少需要多少运费？ 20. 【综合实践】某高铁列车行驶全程1200km，设平均速度为km/h，运行时间为h。 (1) 写出关于的函数关系式； (2) 若全程运行时间不超过4小时，平均速度至少为多少？ (3) 若列车最高速度为350km/h，全程最少需要多长时间？（结果保留一位小数） 第六部分 达标自测精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】BD 解题步骤： ① 反比例函数定义：形如，或等价形式； ② 选项A是正比例函数；选项B符合定义；选项C是二次函数；选项D变形为，是反比例函数。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的概念； ② 解题方法：三种等价形式都可判定，必须满足； ③ 易错提醒：不要漏选的形式。 2. 【答案】C 解题步骤： ① ； ② 反比例函数，图象位于第二、四象限。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数图象的象限分布； ② 解题方法：一、三象限，二、四象限； ③ 易错提醒：不要记反象限。 3. 【答案】B 解题步骤： ① ，第一象限内随的增大而减小； ② 时，图象在第一象限，，但不是“恒大于0”的描述，增减性才是核心。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的增减性； ② 解题方法：限定，即在第一象限，时随增大而减小； ③ 易错提醒：增减性必须限定范围。 4. 【答案】B 解题步骤： ① 代入点：； ② 解得。 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法求； ② 解题方法：点在图象上，坐标满足解析式，直接代入计算； ③ 易错提醒：注意符号。 5. 【答案】B 解题步骤： ① 每个象限内随增大而增大，说明； ② 反比例函数增减性与符号对应。 【知识点睛】 ① 考点定位：增减性与符号的关系； ② 解题方法：增→，减→； ③ 易错提醒：不要搞反增减性与的对应。 6. 【答案】B 解题步骤： ① 矩形面积=长×宽，； ② 变形得。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数实际应用； ② 解题方法：面积一定，长与宽成反比例； ③ 易错提醒：不要写成正比例。 7. 【答案】4 解题步骤： ① 的面积； ② ，所以面积。 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义； ② 解题方法：直角三角形面积是； ③ 易错提醒：不要漏掉。 8. 【答案】2 解题步骤： ① 设，代入，，得； ② 解析式，当时，。 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法与求值； ② 解题方法：先求，再代入求值； ③ 易错提醒：计算不要出错。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】；图象位于第二、四象限 解题步骤： ① 设解析式，代入点，，解得； ② 解析式为； ③ ，图象位于第二、四象限。 【知识点睛】 ① 考点定位：待定系数法与图象性质； ② 解题方法：一点求，再根据判断象限； ③ 易错提醒：的符号不要算错。 10. 【答案】 解题步骤： ① ，图象在二、四象限； ② 、在第二象限，，随增大而增大，所以 【知识点睛】 ① 考点定位：跨象限函数值比较； ② 解题方法：分象限，先看正负，同一象限再用增减性； ③ 易错提醒：直接按大小排，忽略象限。 11. 【答案】k=8 解题步骤： ① ，所以； ② 图象在第一象限，，所以。 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义； ② 解题方法：三角形面积是，再根据象限定符号； ③ 易错提醒：不要忘记的符号。 12. 【答案】(R>0)；电流为2A 解题步骤： ① 电压一定，电流与电阻成反比例，，所以； ② 当时，（A）。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数电路模型； ② 解题方法：电压一定，电流与电阻成反比； ③ 易错提醒：电阻为正，自变量范围不能漏。 13. 【答案】；可以用50天 解题步骤： ① 总吨数一定，每天用量与天数成反比例，，； ② 当时，（天）。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数工程问题； ② 解题方法：总量一定，每天用量与天数成反比； ③ 易错提醒：天数、用量均为正。 14. 【答案】；另一个交点(−3,−1) 解题步骤： ① 点在一次函数上，，所以； ② 代入反比例函数，，，解析式； ③ 联立方程：，整理得，解得，； ④ 当时，，另一个交点。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数与一次函数交点； ② 解题方法：先求公共点坐标，求；联立方程求另一个交点； ③ 易错提醒：联立方程求解要检验。 15. 【答案】4 解题步骤： ① 设点的横坐标为，由点在上，得。 ② 由反比例函数的几何意义，矩形的面积为。 ③ 因为轴，点在上且在上，所以点的横坐标为，代入得；因为轴，点在上且在上，所以点的纵坐标为，代入得。 ④ 过作轴于，过作轴于，两线交于点，则点在上。 ⑤ 由反比例函数的几何意义，矩形的面积为。 ⑥ 阴影部分面积 = 矩形的面积 矩形的面积 。 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义综合应用； ② 解题方法：利用矩形面积分别为，整体作差，不需要求具体坐标； ③ 易错提醒：不要算错面积差。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】m=2 解题步骤： ① 反比例函数，自变量次数为，且比例系数不为0； ② ，解得，； ③ 又，，所以。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的定义与参数； ② 解题方法：次数为，且系数不为0，两个条件缺一不可； ③ 易错提醒：漏掉系数不为0的条件。 17. 【答案】 解题步骤： ① ，图象在第一、三象限； ② 时，随增大而减小，时； ③ 当时，；题目要求，所以 ④ 综上，的取值范围是。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数的增减性与范围； ② 解题方法：，时随增大而减小，是边界点； ③ 易错提醒：不要漏掉的前提。 18. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 点在反比例函数上，； ② 轴，的面积； ③ 点在反比例函数上，轴，的面积； ④ 所以。 【知识点睛】 ① 考点定位：的几何意义； ② 解题方法：双曲线上任意一点，与坐标轴垂线和原点围成的直角三角形面积都是，与点的位置无关； ③ 易错提醒：两个三角形方向不同，但面积相等。 19. 【答案】(1) ；(2) 最少需要 24 万元。 解题步骤： ① 总质量 120 吨，每车载重吨，需要车辆数为辆； ② 每辆车运费为 2 万元，总运费（万元），自变量； ③ 每辆车最多载 10 吨，即； ④ 在时，随增大而减小，因此当时总运费最少，（万元）。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数实际应用； ② 解题方法：先求车辆数，再算总运费； ③ 易错提醒：注意变量之间的关系，正确计算。 20. 【答案】(1)；(2)至少300km/h；(3)最少约3.4小时 解题步骤： ① 路程一定，速度与时间成反比例，，； ② 时间不超过4小时，即，，所以平均速度至少300km/h； ③ 速度最高350km/h，即，，（小时）。 【知识点睛】 ① 考点定位：反比例函数行程模型与不等式； ② 解题方法：路程一定，速度与时间成反比；解不等式注意不等号方向； ③ 易错提醒：时间最少对应速度最大，不要搞反。 1 学科网（北京）股份有限公司 $