第二十七章 反比例函数 2026年人教版八升九数学暑假预习讲义

第二十七章 反比例函数 九上暑假预习讲义 学习目标 1.理解反比例函数的概念，能正确识别反比例函数，掌握其三种表达形式. 2.掌握反比例函数的图象特征和性质，能根据图象或性质分析函数的增减性、所在象限. 3.理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能利用其求图形面积或参数. 4.会用待定系数法求反比例函数的解析式. 5.能结合一次函数与反比例函数解决综合问题，会利用图象比较函数值大小. 6.能运用反比例函数解决实际问题，建立函数模型解决行程、工程、物理等问题. 知识点一、反比例函数的概念 1.一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2.反比例函数的三种等价形式：  （） （，的指数为） （，积的形式） 3.反比例函数中，自变量，函数值，故函数图象与轴、轴无交点. 4.判断一个函数是否为反比例函数，关键看能否化为（）的形式，注意分母是单独的，. 【例1】下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【变式1】若函数是反比例函数，求的值. 知识点二、用反比例函数描述数量关系 实际问题中，当两个变量的乘积为定值时，它们成反比例关系.常见模型： 行程问题：路程一定时，速度与时间满足 面积问题：矩形面积一定时，长与宽满足 工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间满足 【例2】一个矩形的面积为，设它的长为，宽为. （1）写出关于的函数解析式； （2）判断是的什么函数； （3）求当时的值. 【变式2】已知菱形的面积为，两条对角线长分别为、，写出关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围. 知识点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数（）的图象是双曲线，它有两个分支. 2.图象和性质如下表： k的符号 k>0 k<0 图象 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 特征 反比例函数的图象图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交.它既是轴对称图形（对称轴为直线和），也是中心对称图形（对称中心为原点）. 【例3】已知反比例函数. （1）判断该函数的图象位于哪些象限； （2）在每一个象限内，随的增大如何变化？ 【变式3】关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A.图象在第一、三象限 B.在每个象限内，随的增大而减小 C.图象经过点 D.若，则 知识点四、反比例函数的几何意义 过双曲线（）上任意一点分别作轴、 轴的垂线，垂足分别为、，则： 1.矩形的面积. 2.三角形（或）的面积. 注意：面积只与有关，与的正负无关；无论点 在双曲线的哪个分支上，面积都保持不变. 【例4】点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3，求的值. 【变式4】如图，点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上，轴，分别 过、作轴的垂线，垂足为、，求四边形的面积. 知识点五、反比例函数解析式的确定 用待定系数法求反比例函数解析式： 1.设所求的反比例函数为（）； 2.把已知条件（一组、的对应值或图象上一个点的坐标）代入，得到关于的方程； 3.解方程求出的值； 4.将值代回解析式. 【例5】已知与成反比例，且当时，. （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值. 【变式5】已知，其中与成正比例，与成反比例，且当时，当时，求关于的函数解析式. 知识点六、反比例函数与一次函数的综合 1.交点问题：联立一次函数与反比例函数，解方程组即可求得交点坐标. 2.比较大小：观察图象，图象在上方的函数值大.解不等式或时，结合交点坐标和图象位置确定的范围. 3.面积问题：常利用的几何意义或割补法求三角形、四边形的面积. 【例6】如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点. （1）求和的值； （2）求点的坐标； （3）观察图象，写出的解集. 【变式6】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积. 知识点七、反比例函数的实际应用 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 1.审清题意，找出常量与变量之间的反比例关系； 2.设出解析式（）； 3.代入已知条件求出的值； 4.写出解析式，注意自变量的取值范围要符合实际意义； 5.利用函数性质解决问题（求值、比较大小、求最值等）. 常见跨学科应用： 物理：压强（一定时，与成反比）；欧姆定律（一定时，与成反比） 杠杆原理：（力和力臂成反比） 【例7】某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的压强（kPa）是气球体积（）的反比例函数，其图象经过点. （1）求关于的函数解析式； （2）当气球体积为时，求气体的压强； （3）若气球内气体的压强不得超过kPa，则气球的体积至少为多少？ 【变式7】在某一电路中，保持电压（V）不变，电流（A）与电阻（）成反比例关系，当电阻时，电流A. （1）求关于的函数解析式； （2）当电阻时，求电流； （3）如果电流不得超过A，求电阻的取值范围. 综合测评 1.下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A.　　 B. C.　　 D. 2.以下四个函数中，图象不过坐标原点的函数是（　　） A．y＝x2 B．y＝5x C．y＝x3 D． 3.反比例函数的图象位于（ ） A.第一、二象限　　 B.第一、三象限 C.第二、三象限　　 D.第二、四象限 4.某长方形的面积为，长为，宽为，则关于的函数图象大致是（ ） A.一条直线　　 B.双曲线在第一象限部分 C.抛物线　　 D.一条射线 5.对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A.图象分布在第二、四象限 B.当时，随的增大而增大 C.图象经过点 D.若点、都在图象上，且，则 6.反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的图象也经过点（　　） A.（﹣3，2） B.（﹣2，4） C.（﹣4，﹣2） D.（﹣2，﹣3） 7.点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点，则关于x的不等式解集是（　　） A.x＜0或1＜x＜4 B.x＜1或x＞4 C.0＜x＜1或x＞4 D.1＜x＜4 9．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则k﹣2的值为（　　） A.﹣6 B.6 C.﹣4 D.4 10.如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，已知OC在x轴上，点B的坐标是（﹣1，4），平行四边形ABCO的面积是4，则实数k的值为（　　） A.4 B.﹣4 C.﹣8 D.8 11.若函数是反比例函数，则______. 12.若反比例函数的图象经过点，则的值为______. 13．反比例函数中，当时，的取值范围是______. 14.已知反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是______. 15.点A（a，b）在函数的图象上，则ab﹣5的值为______. 16.一司机驾车从甲地到乙地，以km/h的速度行驶小时到达.按原路返回时，速度（km/h）与时间（h）的函数关系式为__________. 17.如图，反比例函数经过矩形OCAB的边AB中点D，则矩形OCAB面积为　 　 ． 18.已知与成反比例，且当时，. （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值. 19.已知反比例函数的图象位于第一、三象限. （1）求的取值范围； （2）若点和都在该函数图象上，比较与的大小. 20.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示. （1）写出关于的函数解析式； （2）当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 21.如图一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣1，6），点B的坐标为（3，n）． （1）求这两个函数的解析式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 22.通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜a时，图象是线段；当a≤x＜45时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）a＝　 　 ． （2）当0≤x＜10时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 知识点一反比例函数的概念 【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（B） A.——分母不是单独的x，不是反比例函数 B.——符合(k≠0)的形式，是反比例函数 C.——是正比例函数，不是反比例函数 D.——是一次函数，不是反比例函数 【变式1】若函数是反比例函数，求m的值. 解：由反比例函数的定义，x的指数为-1，且k≠0，即 且 又，即 所以 知识点二用反比例函数描述数量关系 【例2】一个矩形的面积为20cm²，设它的长为xcm，宽为ycm. （1）写出y关于x的函数解析式 解：由矩形面积公式，得 所以 （2）判断y是x的什么函数 解：符合(k≠0)的形式，y是x的反比例函数 （3）求当x=5时y的值 解：当时， 【变式2】已知菱形的面积为12，两条对角线长分别为x、y，写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围. 解：菱形面积 所以，即 自变量x的取值范围： 知识点三反比例函数的图象和性质 【例3】已知反比例函数 （1）判断该函数的图象位于哪些象限 解：，所以图象位于第一、三象限 （2）在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ 解：，在每个象限内，y随x的增大而减小 【变式3】关于反比例函数，下列说法正确的是（D） A.图象在第一、三象限——错误，，图象在第二、四象限 B.在每个象限内，y随x的增大而减小——错误，k<0时，在每个象限内y随x增大而增大 C.图象经过点(2,2)——错误，代入得 D.若x<0，则y>0——正确，当x<0时， 知识点四反比例函数k的几何意义 【例4】点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为3，求k的值. 解：设A点坐标为(x,y)，则 所以， 【变式4】如图，点A在双曲线的一支上，点B在双曲线的一支上，AB//x轴，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，求四边形ABDC的面积. 解：设A、B的纵坐标为，则 A点横坐标，B点横坐标 ， 四边形ABDC为直角梯形，面积为： 知识点五反比例函数解析式的确定 【例5】已知y与x成反比例，且当x=3时，y=4 （1）求y关于x的函数解析式 解：设(k≠0) 代入x=3,y=4，得， 所以 （2）当x=6时，求y的值 解：当时， 【变式5】已知，其中与x成正比例，与x成反比例，且当x=1时y=5，当x=2时y=7，求y关于x的函数解析式. 解：设()，() 则 代入x=1,y=5：……① 代入x=2,y=7：……② 由①得，代入②： 所以 知识点六反比例函数与一次函数的综合 【例6】如图，一次函数与反比例函数的图象交于A(2,m)、B两点. （1）求k和m的值 解：点A(2,m)在一次函数上 点A(2,1)在反比例函数上 ， （2）求点B的坐标 解：联立方程组： ， 或 当时， 所以 （3）观察图象，写出的解集 解：观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方时： 或 【变式6】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A(-1,4)、B(4,n)两点. （1）求一次函数和反比例函数的解析式 解：点A(-1,4)在反比例函数上 ， 所以反比例函数为 点B(4,n)在反比例函数上：，B(4,-1) 将A(-1,4)、B(4,-1)代入： ……① ……② ②-①：， 代入①：， 所以一次函数为 （2）求△AOB的面积 解：设一次函数与x轴交于点C 当时，，，C(3,0) 知识点七反比例函数的实际应用 【例7】某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的压强p(kPa)是气球体积V(m³)的反比例函数，其图象经过点(2,60). （1）求p关于V的函数解析式 解：设(k≠0) 代入V=2,p=60：， 所以 （2）当气球体积为1.5m³时，求气体的压强 解：当时，(kPa) （3）若气球内气体的压强不得超过150kPa，则气球的体积至少为多少？ 解：，即 所以气球的体积至少为0.8m³ 【变式7】在某一电路中，保持电压U(V)不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，当电阻R=5Ω时，电流I=2A. （1）求I关于R的函数解析式 解：设 代入R=5,I=2：， 所以 （2）当电阻R=8Ω时，求电流I 解：当时，(A) （3）如果电流I不得超过10A，求电阻R的取值范围 解：，即 所以电阻R的取值范围为(Ω) 综合测评答案 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（A） A.——符合反比例函数定义 B.——是正比例函数 C.——是一次函数 D.——x的指数为-2，不是反比例函数 2.以下四个函数中，图象不过坐标原点的函数是（D） A.——过原点(0,0) B.——过原点(0,0) C.——过原点(0,0) D.反比例函数(k≠0)——图象与坐标轴无交点，不过原点 3.反比例函数的图象位于（B） ，图象位于第一、三象限 4.某长方形的面积为20，长为x，宽为y，则y关于x的函数图象大致是（B） (x>0)，是双曲线在第一象限的部分 5.对于反比例函数，下列说法不正确的是（D） A.图象分布在第二、四象限——正确 B.当x>0时，y随x的增大而增大——正确 C.图象经过点(1,-2)——正确，代入得 D.若点、都在图象上，且，则——不正确，反比例函数在整体上不具有单调性，需分象限讨论 6.反比例函数的图象经过点(2,-3)，则此函数的图象也经过点（A） A.(-3,2)：正确 B.(-2,4)： C.(-4,-2)： D.(-2,-3)： 7.点A(-1,)、B(2,)、C(3,)都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（B） 所以，选项C正确 8.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A(1,m)、B(4,n)两点，则关于x的不等式的解集是（C） 根据图象，一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应x的取值范围为： 或 9.如图，平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则k-2的值为（C） 解：设A(,)在上，C(,)在上 由平行四边形性质， 所以， 又由平行四边形面积公式及图象可得 10.如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，已知OC在x轴上，点B的坐标是(-1,4)，平行四边形ABCO的面积是4，则实数k的值为（C） 解：设O(0,0)，C(c,0)，A(a,) 由平行四边形， ， ， A在上： 面积 ，由图象c>0， 11.若函数是反比例函数，则1 解：且 ， 又，所以 12.若反比例函数的图象经过点(2,-3)，则k的值为-6 解：， 13.反比例函数中，当时，y的取值范围是 14.已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是 解：， 15.点A(a,b)在函数的图象上，则的值为-2 解：，， 16.一司机驾车从甲地到乙地，以60km/h的速度行驶5小时到达.按原路返回时，速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为(t>0) 解：路程(km)， 17.如图，反比例函数经过矩形OCAB的边AB中点D，则矩形OCAB面积为2k 解：设A(,)，则D(,) D在上：， 矩形面积 18.已知y与x成反比例，且当x=4时，y=3 （1）求y关于x的函数解析式 解：设(k≠0) 代入x=4,y=3：， 所以 （2）当y=2时，求x的值 解：， 19.已知反比例函数的图象位于第一、三象限 （1）求k的取值范围 解：图象位于第一、三象限，则 （2）若点A(2,a)和B(3,b)都在该函数图象上，比较a与b的大小 解：，在每个象限内y随x的增大而减小 ，所以 20.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m³)的反比例函数，其图象如图所示. （1）写出p关于V的函数解析式 解：设(k≠0) 由图象过点(1,60)：， 所以 （2）当气体体积为0.8m³时，气压是多少？ 解：当时，(kPa) （3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 解：，即 所以气体的体积应不小于m³ 21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A(-1,6)、B(3,n)两点. （1）求这两个函数的解析式 解：A(-1,6)在反比例函数上 ， 所以反比例函数为 B(3,n)在反比例函数上：，B(3,-2) 将A(-1,6)、B(3,-2)代入： ……① ……② ②-①：， 代入①：， 所以一次函数为 （2）连接OA，OB，求△AOB的面积 解：一次函数与y轴交于点C 当x=0时，y=4，C(0,4) 22.23．通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜a时，图象是线段；当a≤x＜45时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）a＝　20　 ． （2）当0≤x＜10时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 【解答】，解：（1）由题意得，a＝20， 故答案为：20； （2）由（1）可知，点C的坐标为（20，90）， 设双曲线解析式为 将（20，90）代入，得：，解得 k＝1800， 将x＝40代入 ，解得 ∴点A的坐标为（0，45）， 由图可得点B的坐标为（10，90）， 设0≤x＜10时，求y与x的函数关系式为y＝mx+n， 将（0，45），（10.0）代入，得 ， 解得 ， ∴y与x的函数关系式为 ； （3）能使学生在听这道题目的讲解时专注度不低于60． 理由如下：将y＝60代入 得： 解得：， 将y＝60代入 得： ，解得：x＝30， ， ∴经过适当的安排能使学生在听这道题目的讲解时专注度不低于60． 学科网（北京）股份有限公司 $