第二十七章 反比例函数（5核心+8题型+3难点+复习讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，分5个核心知识点构建知识体系，涵盖概念辨析、图象性质、k的几何意义等内容，用对比方式区分反比例与正比例函数，清晰呈现知识内在联系。 讲义亮点在于题型分类与方法指导结合，如“比较函数值大小”题型强调分象限讨论，培养推理能力，“实际问题应用”题型引导建立函数模型，发展模型意识。基础达标与能力进阶分层练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握反比例函数知识。

第二十七章 反比例函数 复习要点 1. 理解反比例函数的概念及一般形式 y=（k≠0），能准确区分反比例函数与正比例函数（比值一定 vs 乘积一定），并能识别三种解析式形式（标准式、乘积式、负指数幂式）。 2. 掌握反比例函数的图象与性质，能区分当k > 0 与k < 0时图象所在象限（一三/二四象限）及增减性变化，理解“在每个象限内”这一前提条件的重要性。 3. 掌握反比例函数中比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线所围成的矩形面积为|k|，能利用该性质解决面积相关问题。 4. 掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法（一设、二代、三解、四写），能运用反比例函数模型解决实际问题，并根据实际意义确定自变量取值范围。 5. 理解反比例函数图象的三大对称性（关于原点中心对称，关于直y=x和 y=-x轴对称），并能用于解决函数值比较、交点坐标等问题。 复习重难点 重点：反比例函数的概念、图象与性质（象限分布、增减性），以及比例系数k的几何意义。 难点：准确理解反比例函数“在每个象限内”的增减性，区分k>0和k<0时的图象差异，避免跨象限比较时的错误；以及灵活运用k的几何意义解决面积综合问题。 知识点 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点速测 1．下列函数，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用 反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 要点速测 2．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 知识点 反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1） ：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2） ：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3） ：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于 或 ；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于 ，在每个象限内，值随值的 ； 　 （2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于 ，在每个象限内，值随值的 ； 要点速测 3．关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为 . 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 . 要点速测 4．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是 ． 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 要点速测 5．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 题型1 根据定义判别是否反比例函数 ▌例1 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-1下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 解题要点 1. 严格对照定义形式：反比例函数必须满足 y=k/x（k≠0） 或 xy=k（k≠0） 或 y=kx⁻¹（k≠0）。解题时检查函数式能否化为上述形式，且自变量x指数必须为-1，不能为其他幂次。 2. 注意隐含条件：关键条件是比例系数k≠0，自变量x≠0。含参问题需先化简，排除分式中分母含自变量但可约分的情况，确保分母中x的系数和指数准确符合定义。 ▌迁移练1-2下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ▌例2 已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 解题要点 1. 中心对称应用：反比例函数 y=k/x 的图象关于原点中心对称。若点 (a,b) 在图象上，则其关于原点的对称点 (-a,-b) 也在图象上。 2. 轴对称应用：图象还关于直线 y=x 和 y=-x 对称。若点 (a,b) 在图象上，则点 (b,a) 和 (-b,-a) 也在图象上，利用对称性可直接写出对称点坐标。 ▌迁移练2-1如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． ▌迁移练2-2在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． ▌迁移练2-3如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 题型3 比较反比例函数值或自变量的大小 ▌例3 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 解题要点 1. 分象限讨论：反比例函数在每个象限内单调（k＞0时递减，k＜0时递增）。比较时需先判断点是否在同一象限，不同象限时直接根据正负判断大小（正＞负）。 2. 利用图象数形结合：画出草图，标出各点位置，观察纵坐标（或横坐标）高低。若已知函数值大小求自变量范围，结合图象与分界点（坐标轴）列不等式组求解。注意x≠0。 ▌迁移练3-1已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________． ▌迁移练3-2反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________． ▌迁移练3-3若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 题型4 已知反比例函数的解析式求图象和性质 ▌例4 已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 解题要点 1. 确定图象位置与增减性：由解析式 y=k/x（k≠0）确定k的正负。k＞0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k＜0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。 2. 关注对称性与渐近线：图象关于原点中心对称，也关于直线y=x和y=-x对称。图象无限接近但永不与坐标轴相交（x≠0，y≠0），解题时常结合草图辅助分析。 ▌迁移练4-1已知反比例函数图象，如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形面积为8，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 ▌迁移练4-2已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．当，y的值随x值的增大而增大 B．图象必经过点， C．图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D．图象分别位于第二、四象限内 ▌迁移练4-3下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图象上 B．双曲线分布在第一、三象限 C．该函数图象上有两点，B ，若，则 D．当时，x的取值范围是 题型5 利用反比例函数的图象和性质求参数 ▌例5 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 解题要点 1. 代入点坐标建方程：若已知函数图象过某个点，直接将点坐标代入 y=k/x（或 xy=k）建立关于参数的方程，解方程并验证 k≠0 且自变量不为0。 2. 结合增减性列不等式：若已知函数在某区间内y随x增大而增大（或减小），根据性质推出k的正负，从而建立关于参数的不等式（如含参的k表达式＞0或＜0），注意化简后求解并确保x≠0。 ▌迁移练5-1若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． ▌迁移练5-2已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． ▌迁移练5-3已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 题型6 已知反比例函数的定义求函数的解析式 ▌例6 已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 解题要点 1. 设出标准形式：根据反比例函数定义，设解析式为 y=k/x（k≠0） 或 xy=k（k≠0），若题目给出自变量与函数值的对应关系，设一般式即可。 2. 代入条件解k：将已知的一组对应值（如x与y的值）或图象上一点的坐标代入所设形式，建立关于k的方程，解出k值，再代回原式，最后写出解析式并注明k≠0。 ▌迁移练6-1已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． ▌迁移练6-2已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． ▌迁移练6-3已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 题型7 一次函数与反比例函数的交点问题 ▌例7 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 解题要点 1. 联立解方程组求交点：将一次函数 y=k₁x+b 与反比例函数 y=k₂/x 联立成方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解出x值再代回求y，交点坐标即方程组的解。 2. 判别式与图象法判定：消元后的一元二次方程根的个数决定交点个数（Δ＞0⇔两个交点；Δ=0⇔一个交点（相切）；Δ＜0⇔无交点）。比较函数值大小时，结合图象和交点横坐标分区间讨论。注意反比例函数 x≠0，需检验增根。 ▌迁移练7-1如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为3，求的面积； (3)在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． ▌迁移练7-2如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P在x轴上，求的最大值． 题型8 利用反比例函数解决实际问题 ▌例8 小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 解题要点 1. 建模列式：仔细审题，找出两个变量之间的反比例关系（如乘积为定值）。设解析式为 y=k/x（k≠0），将已知一组对应值代入求出k，写出函数式并注明自变量取值范围。 2. 求值验实际：将已知变量值代入解析式求另一变量。关键要验证结果是否符合实际意义（如长度、人数为正，时间不为0等），必要时根据增减性分析变化趋势，最后作答要带单位。 ▌迁移练8-1某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） ▌迁移练8-2电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． ▌迁移练8-3盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 难点一 反比例函数与K值的几何意义 难点1：矩形与三角形面积的转化 K的几何意义为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线形成的矩形面积（|K|）。难点在于处理非标准图形（如斜三角形、不规则多边形）时，无法有效通过“割补法”或“坐标差”将其转化为矩形面积的一半，导致面积求解困难。 难点2：K值的符号与图形位置联动 K的正负直接决定双曲线所在象限。难点在于同时处理“面积值”与“K符号”的关系，当双曲线与一次函数或几何图形综合时，极易忽略K的符号对交点位置、不等式解集的影响，导致漏解或符号判断错误。 难点精练 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 难点二 反比例函数与几何图形的综合问题 难点1：几何条件向反比例解析式的转化 图形中的“中点”“面积比”“线段相等”等几何条件，需转化为双曲线上关键点的坐标关系。难点在于根据几何关系灵活设元（如用横坐标表示纵坐标），并结合K的几何意义建立方程，若设元不当则运算量激增。 难点2：多种图形约束的联立与筛选 问题常同时涉及三角形、四边形等多图形面积或边长的约束。难点在于需将各约束条件联立为方程组，并结合反比例函数所在象限与图形实际存在范围剔除不合理解，筛选过程极易因忽略位置限制而保留增根。 难点精练 1．（25-26八年级下·上海·期末）已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 2．（2026·山东临沂·二模）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 难点三 特殊反比例函数的图象和性质 难点1：渐近线偏移后的性质重构 当反比例函数添加常数项或分母含平移量时，渐近线从坐标轴变为 x=a 、y=b 。难点在于重新界定函数定义域、值域及增减区间，学生极易套用原始性质而忽略断点位置的偏移，导致单调区间描述错误。 难点2：多个参数对图象的复合影响 参数k、a、b 同时控制开口方向、渐近线位置和象限分布。难点在于分类讨论各参数的符号组合时，需同步分析渐近线位移与曲线走势的关系，若缺乏系统性分段推理，则极易混淆平移与翻转的综合效应。 难点精练 1．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 2．（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 3．参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 基础达标 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的值． 10．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 11．（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 13．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 14．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 二、填空题 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 4．（2026·山东枣庄·三模）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 三、解答题 5．（2026·河南新乡·二模）如图，平行四边形的顶点为原点，，的中点，点为的中点，过点作，交轴于点．反比例函数的第一象限部分经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 7．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 8．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 复习要点 1. 理解反比例函数的概念及一般形式 y=（k≠0），能准确区分反比例函数与正比例函数（比值一定 vs 乘积一定），并能识别三种解析式形式（标准式、乘积式、负指数幂式）。 2. 掌握反比例函数的图象与性质，能区分当k > 0 与k < 0时图象所在象限（一三/二四象限）及增减性变化，理解“在每个象限内”这一前提条件的重要性。 3. 掌握反比例函数中比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线所围成的矩形面积为|k|，能利用该性质解决面积相关问题。 4. 掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法（一设、二代、三解、四写），能运用反比例函数模型解决实际问题，并根据实际意义确定自变量取值范围。 5. 理解反比例函数图象的三大对称性（关于原点中心对称，关于直y=x和 y=-x轴对称），并能用于解决函数值比较、交点坐标等问题。 复习重难点 重点：反比例函数的概念、图象与性质（象限分布、增减性），以及比例系数k的几何意义。 难点：准确理解反比例函数“在每个象限内”的增减性，区分k>0和k<0时的图象差异，避免跨象限比较时的错误；以及灵活运用k的几何意义解决面积综合问题。 知识点 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点速测 1．下列函数，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数或，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】：解：A. 是正比例函数，不符合题意；     B. 当时，不是反比例函数，不符合题意；     C. 是反比例函数，符合题意；     D. 不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 知识点 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 要点速测 2．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 知识点 反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 要点速测 3．关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可． 【详解】①当时，，则函数图象一定经过点，故①正确； ②∵，∴函数图象在第一、三象限，即②正确； ③∵，∴函数值分别在第一象限和第三象限中，随的增大而减小，即③错误； ④、、为双曲线上的三点， ∴， ∴，故④正确． 即①②④三个正确； 故选：C． 知识点 反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点速测 4．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 要点速测 5．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 题型1 根据定义判别是否反比例函数 ▌例1 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．形如的函数叫作反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故本选项符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． ▌迁移练1-1下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解 【详解】解：A．是的一次函数，故该选项不符合题意； B．是的反比例函数，故该选项符合题意； C．是的正比例函数，故该选项不符合题意； D．是的二次函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 解题要点 1. 严格对照定义形式：反比例函数必须满足 y=k/x（k≠0） 或 xy=k（k≠0） 或 y=kx⁻¹（k≠0）。解题时检查函数式能否化为上述形式，且自变量x指数必须为-1，不能为其他幂次。 2. 注意隐含条件：关键条件是比例系数k≠0，自变量x≠0。含参问题需先化简，排除分式中分母含自变量但可约分的情况，确保分母中x的系数和指数准确符合定义。 ▌迁移练1-2下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、不是反比例函数，故A选项符合题意； B、是反比例函数，故B选项不符合题意； C、是反比例函数，故C选项不符合题意； D、是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：A． ▌迁移练1-3下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查的是反比例函数的识别，形如的函数是反比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有④；⑤，共2个， 故选：B 题型2 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ▌例2 已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查正比例和反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 解题要点 1. 中心对称应用：反比例函数 y=k/x 的图象关于原点中心对称。若点 (a,b) 在图象上，则其关于原点的对称点 (-a,-b) 也在图象上。 2. 轴对称应用：图象还关于直线 y=x 和 y=-x 对称。若点 (a,b) 在图象上，则点 (b,a) 和 (-b,-a) 也在图象上，利用对称性可直接写出对称点坐标。 ▌迁移练2-1如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为． ▌迁移练2-2在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． ▌迁移练2-3如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵B的坐标为， ∴A的坐标为， 故答案为：． 题型3 比较反比例函数值或自变量的大小 ▌例3 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可． 【详解】解：将，，分别代入， 得：，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：． 解题要点 1. 分象限讨论：反比例函数在每个象限内单调（k＞0时递减，k＜0时递增）。比较时需先判断点是否在同一象限，不同象限时直接根据正负判断大小（正＞负）。 2. 利用图象数形结合：画出草图，标出各点位置，观察纵坐标（或横坐标）高低。若已知函数值大小求自变量范围，结合图象与分界点（坐标轴）列不等式组求解。注意x≠0。 ▌迁移练3-1已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象性质，即可解答． 【详解】解：， ， 图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 当时，的取值范围是：， 故答案为：． ▌迁移练3-2反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据的取值判断即可； 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 当时，， 当时，，， ∴时，的范围为或， 故答案为：或． ▌迁移练3-3若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 【答案】 【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小． ∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且， ∴点不在同一象限， ∴点第一象限，点在第三象限． ∴， ∴． 故答案为：． 题型4 已知反比例函数的解析式求图象和性质 ▌例4 已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象经过点，故本选项正确，不符合题意； B．∴，∴图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C．∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D．当时，；当时，；故本选项错误，符合题意． 故选：D． 解题要点 1. 确定图象位置与增减性：由解析式 y=k/x（k≠0）确定k的正负。k＞0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k＜0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。 2. 关注对称性与渐近线：图象关于原点中心对称，也关于直线y=x和y=-x对称。图象无限接近但永不与坐标轴相交（x≠0，y≠0），解题时常结合草图辅助分析。 ▌迁移练4-1已知反比例函数图象，如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形面积为8，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、根据图形面积求比例系数（解析式）、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为8，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． ▌迁移练4-2已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．当，y的值随x值的增大而增大 B．图象必经过点， C．图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可． 【详解】解：A、∵，∴每个象限内y随着x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、当时，，所以图象必经过点，故本选项错误，符合题意； C、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、∵，∴图象分别位于第二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； 故选：B ． ▌迁移练4-3下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图象上 B．双曲线分布在第一、三象限 C．该函数图象上有两点，B ，若，则 D．当时，x的取值范围是 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的性质，将点代入解析式求解即可判断A选项，根据图象在一三象限即可判断B，根据性质在一三象限上随增大而减小即可判断C，根据增减性即可判断D． 【详解】解：由题意可得， 当时，，当时，，故A正确，不符合题意， ∵，∴图像在一三象限，故B正确，不符合题意， ∵没确定，的正负，故无法判断函数值的大小，故C错误，符合题意， ∵当时，即，解得，∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 题型5 利用反比例函数的图象和性质求参数 ▌例5 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 解题要点 1. 代入点坐标建方程：若已知函数图象过某个点，直接将点坐标代入 y=k/x（或 xy=k）建立关于参数的方程，解方程并验证 k≠0 且自变量不为0。 2. 结合增减性列不等式：若已知函数在某区间内y随x增大而增大（或减小），根据性质推出k的正负，从而建立关于参数的不等式（如含参的k表达式＞0或＜0），注意化简后求解并确保x≠0。 ▌迁移练5-1若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数是常数，的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二，四象限，在每一象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． ▌迁移练5-2已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． ▌迁移练5-3已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型6 已知反比例函数的定义求函数的解析式 ▌例6 已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 解题要点 1. 设出标准形式：根据反比例函数定义，设解析式为 y=k/x（k≠0） 或 xy=k（k≠0），若题目给出自变量与函数值的对应关系，设一般式即可。 2. 代入条件解k：将已知的一组对应值（如x与y的值）或图象上一点的坐标代入所设形式，建立关于k的方程，解出k值，再代回原式，最后写出解析式并注明k≠0。 ▌迁移练6-1已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1) (2)28 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）解：由（1）可知，，则 当时，． ▌迁移练6-2已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． ▌迁移练6-3已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、用反比例函数描述数量关系、正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 题型7 一次函数与反比例函数的交点问题 ▌例7 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或时，；当时，． 【分析】（1）将点A代入反比例函数，求得，将点B代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）得反比例函数和一次函数， 联立得， 解得或， ∴， 根据图象可知，，， 当时，或； （3）解：∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，． 解题要点 1. 联立解方程组求交点：将一次函数 y=k₁x+b 与反比例函数 y=k₂/x 联立成方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解出x值再代回求y，交点坐标即方程组的解。 2. 判别式与图象法判定：消元后的一元二次方程根的个数决定交点个数（Δ＞0⇔两个交点；Δ=0⇔一个交点（相切）；Δ＜0⇔无交点）。比较函数值大小时，结合图象和交点横坐标分区间讨论。注意反比例函数 x≠0，需检验增根。 ▌迁移练7-1如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为3，求的面积； (3)在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及数形结合思想的运用． (1)依据点在反比例函数图象上，即可得到m的值； (2) 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， 依据，即可得出；根据直线为，将、代入，即可得到t的值； (2)根据函数图象，即可得到的解集是∶ 或． 【详解】（1）解：将点代入中得：，解得， ． （2） 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， ， ， ， 点在， ， 直线为，将、代入得： ， 化简整理得：， 解得：，（舍去，因为点A在点 B的左侧）， ， ， ， ． （3）， 的解集是：或． ▌迁移练7-2如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P在x轴上，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质； （1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可； （2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可； （3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）把代入得：， ∴， ∴， 由函数图象得，不等式的解集为：或 ； （3）如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P， 由对称性可知， ∴， 在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴ ∴的最大值． 题型8 利用反比例函数解决实际问题 ▌例8 小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 解题要点 1. 建模列式：仔细审题，找出两个变量之间的反比例关系（如乘积为定值）。设解析式为 y=k/x（k≠0），将已知一组对应值代入求出k，写出函数式并注明自变量取值范围。 2. 求值验实际：将已知变量值代入解析式求另一变量。关键要验证结果是否符合实际意义（如长度、人数为正，时间不为0等），必要时根据增减性分析变化趋势，最后作答要带单位。 ▌迁移练8-1某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) (3)气体的体积应不少于． 【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知， 所以， 故； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． ▌迁移练8-2电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1)关于的函数解析式是； (2)130； (3)电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式； （2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． ▌迁移练8-3盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 难点一 反比例函数与K值的几何意义 难点1：矩形与三角形面积的转化 K的几何意义为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线形成的矩形面积（|K|）。难点在于处理非标准图形（如斜三角形、不规则多边形）时，无法有效通过“割补法”或“坐标差”将其转化为矩形面积的一半，导致面积求解困难。 难点2：K值的符号与图形位置联动 K的正负直接决定双曲线所在象限。难点在于同时处理“面积值”与“K符号”的关系，当双曲线与一次函数或几何图形综合时，极易忽略K的符号对交点位置、不等式解集的影响，导致漏解或符号判断错误。 难点精练 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 难点二 反比例函数与几何图形的综合问题 难点1：几何条件向反比例解析式的转化 图形中的“中点”“面积比”“线段相等”等几何条件，需转化为双曲线上关键点的坐标关系。难点在于根据几何关系灵活设元（如用横坐标表示纵坐标），并结合K的几何意义建立方程，若设元不当则运算量激增。 难点2：多种图形约束的联立与筛选 问题常同时涉及三角形、四边形等多图形面积或边长的约束。难点在于需将各约束条件联立为方程组，并结合反比例函数所在象限与图形实际存在范围剔除不合理解，筛选过程极易因忽略位置限制而保留增根。 难点精练 1．（25-26八年级下·上海·期末）已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）过点B作于点H，易得，设，求出，进而得到，设，代入双曲线，即可求解； （2）设，求出，分或或，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点B在第一象限， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或或， 当时，则，即， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，则，即， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则，即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 2．（2026·山东临沂·二模）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ； （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 难点三 特殊反比例函数的图象和性质 难点1：渐近线偏移后的性质重构 当反比例函数添加常数项或分母含平移量时，渐近线从坐标轴变为 x=a 、y=b 。难点在于重新界定函数定义域、值域及增减区间，学生极易套用原始性质而忽略断点位置的偏移，导致单调区间描述错误。 难点2：多个参数对图象的复合影响 参数k、a、b 同时控制开口方向、渐近线位置和象限分布。难点在于分类讨论各参数的符号组合时，需同步分析渐近线位移与曲线走势的关系，若缺乏系统性分段推理，则极易混淆平移与翻转的综合效应。 难点精练 1．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 2．（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)0；图见详解 (2)①减小②下，1；③ (3)2024 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 3．参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)减小；右，； 【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． （1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得 ， ， 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称. 故答案为： 减小；右，； . 基础达标 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质得到的面积，再根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵的面积为， ∴， ∵轴， ∴根据反比例函数的几何意义可知：， ∵函数的图象在第一象限， ∴． 二、填空题 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：函数的图象经过点 将点代入，得， 该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，． 10．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，两点横坐标绝对值的差，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 其交轴于点，则 ， 过点作轴于点，， 则的横坐标为， 在上，代入得， ， 点坐标为， 点B在反比例函数上， 将点B坐标代入得 ，， 则反比例函数表达式为 （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入得 ，， 点的坐标为 又为水平线， 为与的交点， 将代入得 ，， 点的坐标为 ． 11．（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设把时，代入，求得的值；设，把，，代入计算求出的值，即可确定与的函数解析式；将代入，可求得与的函数解析式， （2）将代入（1）中的解析式再计算即可． 【详解】（1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【分析】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式． （2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出． （3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． 13．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 14．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 【答案】(1) (2)根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 (3)连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长交x轴于点G，根据题意得出轴，轴，确定轴，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，设点坐标为，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即可； （2）根据题意设点坐标为，点坐标为，得出坐标为，点坐标为，设直线的函数表达式为，确定直线的函数表达式为，将点B代入即可判断； （3）连接交于点，根据矩形的性质得出，确定，，再由等边对等角得出，，利用三角形外角的性质及等量代换得出，再由平行线的性质结合图形即可证明． 【详解】（1）解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； （2）略． （3）略． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 二、填空题 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 4．（2026·山东枣庄·三模）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 【答案】 【分析】根据已知条件求出各点坐标，进而得到相关线段长度，再利用三角形面积公式求出每个三角形的面积，最后通过裂项相消法求出面积之和． 【详解】解：， ∴点，，,…，的坐标分别为， ，，…，， 又∵点，，，…，，在反比例函数的图象上， ∴点，，，…，，的坐标分别为， ，，…，，， ， ，，，…，， ， 即， 整理得：． 【点睛】通过各点坐标求出相关线段长度是解题的关键． 三、解答题 5．（2026·河南新乡·二模）如图，平行四边形的顶点为原点，，的中点，点为的中点，过点作，交轴于点．反比例函数的第一象限部分经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）过点B作轴于点F，根据中点坐标公式求出点B的坐标为，根据勾股定理求出，，根据中点定义得出，证明，得出，求出，最后根据点A的坐标，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的第一象限部分经过点， ∴把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：过点B作轴于点F，如图所示： 则， ∵的中点， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 7．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)32 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）由点的坐标为得到，由菱形的面积求出菱形的高，运用勾股定理可求出点横坐标，可得点、的坐标，从而可求出的最大值； （2）①根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； ②根据两点间距离公式求出的长即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵菱形的面积为20， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （2）解：①∵是菱形对角线的交点， ∴是的中点， ∴点的坐标为，即， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； ②；理由： ∵ ∴， 又， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $