精品解析：陕西省汉中市宁强天津高级中学2025-2026学年高一第二学期开学考试检测数学试卷

2025~2026学年度高一第二学期开学考试检测卷 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，那么（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _________． 13. 已知，，则_________． 14. 已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点． （1）求，，的值； （2）求的值． 16. 已知函数与轴交于点． （1）求函数的最小值； （2）求函数的零点． 17. 化简求值： （1）； （2）． 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性； （3）求不等式的解集． 19. 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． （1）求的函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高一第二学期开学考试检测卷 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 2. 已知，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的范围易判断结果. 【详解】因，故角是第一象限角. 故选：A. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可. 【详解】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 6. 已知，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方关系化简，再结合终边所在象限判断符号即可. 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由解得， 即的定义域为， 又， 故为奇函数， 当时，均单调递增， 故在时，单调递增， 则，等价于， 则，解得， 故不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 10. 下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正切函数的性质即可求解. 【详解】由已知，令，得． 当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以D正确； 当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以B正确； 当时，，所以函数图象的对称中心的是， 所以A正确； 显然选项C错误. 故选：ABD． 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以． 对于A：因为， 所以的图象不关于点对称，故A错误； 对于B：， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减， 又，，此时； 当，即时，单调递增， 又，，此时； 所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】可知， 因为，可知，因为，所以， 所以，所以， 可知. 14. 已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数单调性规律求出分段函数在上单调递增的参数的取值范围，再结合必要条件的集合包含关系求解的最大值. 【详解】因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 同时需满足分段点处左段函数值不大于右段函数值，即， 整理得，对任意实数恒成立. 综上，函数在上单调递增的充要条件为. 因为是在上单调递增的必要条件，即单调递增可推出恒成立， 所以需小于等于的最小值，即，故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点． （1）求，，的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义求解. （2）利用诱导公式化简并代入求值. 【小问1详解】 由角的终边经过点，得， 所以. 【小问2详解】 . 16. 已知函数与轴交于点． （1）求函数的最小值； （2）求函数的零点． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【小问1详解】 将点代入函数，得， 解得，故. 所以函数的最小值. 【小问2详解】 由，得， 所以，或，， 即，或，， 所以函数的零点为，或，. 17. 化简求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用切化弦，结合诱导公式得到，再利用辅助角公式得到，然后进行约分即可；（2）利用进行等量代换，再利用两角和的正弦公式将展开为，最后化简约分后即可求得原式. 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）偶函数 （3）若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【小问1详解】 由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. 【小问3详解】 可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 19. 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． （1）求的函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由题中信息可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出函数的解析式； （2）由余弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，结合可得答案； （3）求出函数的最小正周期，结合周期性可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 由题意得，解得，故． 【小问2详解】 由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，，得，， 又，所以的单调递增区间为，． 【小问3详解】 由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $