第10章 数的开方 单元试卷 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 华东师大版八年级上册第10章“数的开方”单元卷，覆盖无理数、平方根、立方根等核心知识，通过几何直观、实际应用与数学推理，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|无理数识别、平方根计算、数轴表示|结合图形（如数轴找点）考查数感与几何直观| |填空题|4题|平方根与立方根综合、无理数估算|设置开放题（如比√2大比√5小的整数）培养创新意识| |解答题|6题|开方运算、方程求解、图形拼接应用|21题通过正方形拼接关联面积与无理数，22题引入“比差法”发展推理能力，体现数学思维与表达|

第10章 数的开方 单元试卷 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 一、单选题 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0.1010010001… 2．的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（　　） A．＝﹣1 B．＝±2 C．＝±2 D．＝﹣3 4．下列判断正确的是（    ） A．的立方根是 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，其中最适合表示的点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．若一个正数的平方根是与，则这个正数是（    ） A．1 B． C．2 D．4 9．对于数字-2+，下列说法中正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比0小 C．它是一个无理数 D．它的相反数为2+ 10．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 11．如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若＝2，＝－3，则b－a的值是________． 14．写出一个比大且比小的整数________． 15．若一个数有算术平方根为，则x的取值范围为________． 16．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，则的算术平方根为_______； （2）如果，为有理数，且，则的值为_______． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．求下列式子中的x． (1) (2)． 19．已知的立方根是3，的平方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 20．如图，把两个面积均为的小正方形分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长． (2)若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．若能，试求剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． 21．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 22．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方 单元试卷 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 一、单选题 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0.1010010001… 【答案】D 【分析】无理数的形式有：无限不循环小数，开方开不尽的数，π，据此可判断. 【详解】是分数，属于有理数； ，是有理数； 3.1415是有限小数，属于有理数； 0.1010010001…是无限不循环小数，是无理数. 故选D. 【点睛】本题考查实数的分类，熟记无理数的形式是解题的关键. 2．的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的值，再根据平方根的定义计算结果，注意区分所求的是哪个数的平方根． 【详解】解∶∵ ， 又∵ ， ∴ 的平方根为， 即的平方根是． 3．下列各式计算正确的是（　　） A．＝﹣1 B．＝±2 C．＝±2 D．＝﹣3 【答案】A 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根等知识逐项排查即可． 【详解】解：A.-1，故A选项符合题意； B.= 2，故B选项不符合题意； C.，故C选项不符合题意； D.=3，故D选项不符合题意． 故选:A． 【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，掌握平方根和算术平方根的区别与联系是解答本题的关键． 4．下列判断正确的是（    ） A．的立方根是 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的概念及求法，熟记立方根、平方根及算术平方根的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、的立方根是，判断正确，符合题意； B、49的算术平方根是，判断错误，不符合题意； C、的立方根是，判断错误，不符合题意； D、的平方根是，判断错误，不符合题意； 故选：A． 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先运用非负数的性质求得，的值，再代入求解． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了非负数性质的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行运算． 6．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 7．如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，其中最适合表示的点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴．估算出在2和3之间，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在2和3之间， ∴最适合表示的点是点Q． 故选：D 8．若一个正数的平方根是与，则这个正数是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求得的值，然后即可求得这个正数． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴ 解得 故选D 【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的平方根互为相反数是解题的关键． 9．对于数字-2+，下列说法中正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比0小 C．它是一个无理数 D．它的相反数为2+ 【答案】C 【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可． 【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意； B．，故该说法错误，不符合题意； C．是一个无理数，故该说法正确，符合题意； D．的相反数为，故该说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键． 10．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 11．如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是． 12．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的估算，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 13．若＝2，＝－3，则b－a的值是________． 【答案】31 【分析】根据已知等式先求出a和b，再进行计算. 【详解】＝2   ＝－3     故答案为31 【点睛】此题重点考查学生对开方的理解，掌握开方的方法是解题的关键. 14．写出一个比大且比小的整数________． 【答案】2/3/4 【分析】利用估算无理数大小的逼近方法，求出 和的范围，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ∴比大且比小的整数为：2或3或4． 故答案为：2或3或4（写其一即可）． 【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键． 15．若一个数有算术平方根为，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，算术平方根为可得，然后进行计算即可解答； 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：． 16．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，则的算术平方根为_______； （2）如果，为有理数，且，则的值为_______． 【答案】 或 【分析】根据题干给出的结论，将原式整理为“有理数部分加无理数与有理数的乘积等于”的形式，令无理数的系数和有理数部分分别为，得到方程组求解后，再进行计算即可. 【详解】解：（1）∵， 整理，得， ∵，为有理数，为无理数， ∴， 解得； 将，代入得， 的算术平方根为，因此的算术平方根为； （2）∵， 整理，得， ∵，为有理数，为无理数， ∴， ∴ 当，时， 当，时， 因此的值为或. 三、解答题 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用实数的混合运算法则，即可求解； （2）利用实数的混合运算法则，即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．求下列式子中的x． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用立方根解方程以及平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，得，然后得，再开平方，即可作答． （2）先移项，得，然后得，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：， 先移项，得， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 先移项，得， ∴， ∴， ∴． 19．已知的立方根是3，的平方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的意义，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的意义． （1）运用立方根和平方根的意义求解． （2）根据平方根的计算方法，即可解答． 【详解】（1）解：的立方根是3，的平方根是， ，， ，； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为． 20．如图，把两个面积均为的小正方形分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长． (2)若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．若能，试求剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1) (2) 不能，理由为： 设长方形纸片的长为，宽为， 则，∴． ∵， ∴，则． ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴沿此大正方形边的方向裁剪不能裁剪出长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积公式和无理数的估算得到，，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是． （2）略 【点睛】本题考查正方形和长方形的面积公式、求一个数的算术平方根、无理数的估算，理解题意，正确求解是解答的关键． 21．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)， (3)1， 如下图所示作图： 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； （2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； （3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为； 图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为； 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 22．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5； (2)； 【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $