八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第10章 数的开方～第11章 整式的乘除）

**基本信息** 八年级数学上学期培优卷，覆盖数的开方与整式乘除，精选各地期末及中考真题改编，通过25题分层设计（选择10题、填空6题、解答9题），融合数学文化（如华罗庚立方根估算）与实际应用（日历结构运算），考查抽象能力、运算能力及推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、因式分解定义|结合期末真题，基础概念辨析| |填空题|6/18|平方根性质、完全平方公式补项|阶段检测题改编，强化运算能力| |解答题|9/72|立方根估算（华罗庚方法）、杨辉三角应用、日历模型构建|综合题融合数学文化与实际情境，发展创新意识与模型观念|

八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第10章 数的开方~第11章 整式的乘除 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东梅州·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 5．（2026·宁夏·中考真题）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 8．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．（25-26八年级上·河南许昌·期末）在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则S1﹣S2的值为（　 　） A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 12．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 13．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解__________． 14．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 15．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，，则______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 19．（6分）（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 20．（8分）（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 21．（8分）（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 22．（9分）（25-26八年级下·甘肃武威·期中）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． (1)若，，则图阴影部分的面积是______； (2)若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是______． 23．（9分）（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 24．（10分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 25．（10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：，， 、、、、均为有理数，仅是无理数， 则，，0.618，，，，无理数的个数有1个． 3．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 4．（25-26八年级下·广东梅州·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 5．（2026·宁夏·中考真题）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用平方法将无理数与整数的大小比较转化为有理数比较． 【详解】解：，，需找平方后在和之间的正数， A、 ， ，A不符合； ， ，B不符合； ，， ，C符合； ， ，D不符合． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 8．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是做题的关键．将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得三边关系，从而可以判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ， ∴是等边三角形． 故选：D． 10．（25-26八年级上·河南许昌·期末）在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则S1﹣S2的值为（　 　） A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b 【答案】D 【分析】利用面积的和差分别表示出S1、S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差. 【详解】∵ ∴ 故选D. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 【答案】4 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 得． 13．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解__________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，先展开乘积，再合并常数项，最后应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【答案】或或 【分析】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【详解】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 15．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 由条件 可得，再代入 求得，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由，得， 即， 所以， 代入，得， 所以， 故， 则，，， 所以，，， 因此原式． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．（6分）（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 20．（8分）（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 21．（8分）（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． （3）解：， ,， ，， 原式． 22．（9分）（25-26八年级下·甘肃武威·期中）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． (1)若，，则图阴影部分的面积是______； (2)若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解. 【详解】（1）解：阴影部分的面积是； （2）解：由题意得：，图中是梯形， ∵，，高， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分面积为． 23．（9分）（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 24．（10分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 25．（10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11． (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 【分析】（1）按顺序计算出结果再开方即可； （2）将变形为含的完全平方公式即可解答； （3）根据题意列方程，结合日历的数据特点即可解答． 【详解】（1）解： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $