第20章 二次根式 单元试卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 第20章二次根式单元卷，适配华东师大版九年级上册单元复习，覆盖概念、运算、应用等核心知识，注重抽象能力、运算能力与应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|自变量取值范围、最简二次根式、同类二次根式|基础巩固，梯度分布| |填空题|4|二次根式化简、数轴与根式结合、规律探究|能力提升，联系数形| |解答题|6|大小比较、实际应用（矩形面积）、构造对偶式|创新应用，情境真实，体现运算推理与模型意识|

第20章 二次根式 单元试卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0，且分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的自变量的取值范围，一般来说，函数自变量取值范围包括如下几点：分母不为0，二次根式中被开方数大于等于0等． 2．计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．下列二次根式中为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可得出答案． 【详解】解： 选项A：，不是最简二次根式； 选项B：是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：被开方数含分母，不是最简二次根式． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 5．计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式后相加，即可得到结果． 【详解】解：×＋ ． 6．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的取值范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 7．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式的定义，即最简二次根式的被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， 是最简二次根式，且与是同类二次根式， 二者被开方数相等， ， 移项得， 解得． 8．若（a，b为有理数），那么等于（   ） A． B．9 C． D．11 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算．根据完全平方公式展开，即可得出答案． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故选：D． 9．某小区有一块矩形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，打算为这块矩形草地围上低矮栅栏．若所需栅栏的总长为，那么这块草地的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的周长和宽可求得长方形的长，即可求得长方形的面积． 【详解】这块草地的长为：， 所以这块草地的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 10．若，则代数式的值为（　　） A． B．2019 C． D．2023 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值以及运用完全平方公式进行计算，熟练中午那个相关运算法则和运算公式是解题关键．根据题意可得，然后将整理为，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 11．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用积的乘方得到原式•，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 故选D． 【点睛】本题考查了积的乘方运算的应用，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 12．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（   ） 1 …   …    … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可知，第n行最后一个数为据此可得答案. 【详解】由图形可知，第n行最后一个数为 ∴第8行最后一个数为 则第9行从左至右第5个数是 故选B. 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为 二、填空题 13．若，则__________． 【答案】 【详解】解：， ． 14．当时，化简：______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和化简，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置确定a，b的取值范围，判断a，b及的符号，利用二次根式的性质将原式化简，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】由数轴可知： ，，且 ， ， 原式 ． 16．阅读下列解题过程： 请利用上面的解法，计算： ______________． 【答案】 【分析】根据阅读材料先分母有理化，然后合并即可． 【详解】解：原式= = = = = 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 三、解答题 17．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的大小比较．对于正数，被开方数越大，平方根越大；对于负数，被开方数越大，负平方根越小（即更负）．比较时，可通过比较被开方数或通分后比较分子来判断大小． （1）根据二次根式的大小比较方法判断即可； （2）根据二次根式的大小比较方法判断即可； （3）根据二次根式的大小比较方法判断即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 即； （2）解：∵和分母相同，分子， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴． 18．化简计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把分子中的二次根式化简并合并、运用二次根式乘法法则计算乘法项，再相减即可； （3）先利用乘法分配律展开，再化简根式后合并同类二次根式即可； （4）先分别用乘方运算法则、平方差公式化简前后两段式子，再相减即可； （5）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （6）先按二次根式乘除法则计算前一个式子，并把后一个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 19．有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)剩余木板的面积为 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 20．已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； 由已知可得，，再利用完全平方公式将原式变形为，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 21．已知、为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，，再化简，代入计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得：且， 解得且， 所以， 将代入，得：． 当，时， 原式 ． 22．阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小圣同学的解答过程如下： ， ． 这种计算方法称为“构造对偶式”． (1)若代数式有意义，则的取值范围是___________． (2)已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意可得，再进一步求解即可； （2）①根据题意可得 ，然后问题可求解； ②由，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵代数式有意义， ∴， 解得：； （2）解：①由题意得： ， ∵ ， ； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 单元试卷 026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 2．计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 3．下列二次根式中为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 6．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 7．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 8．若（a，b为有理数），那么等于（   ） A． B．9 C． D．11 9．某小区有一块矩形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，打算为这块矩形草地围上低矮栅栏．若所需栅栏的总长为，那么这块草地的面积为（  ） A． B． C． D． 10．若，则代数式的值为（　　） A． B．2019 C． D．2023 11．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 12．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（   ） 1 …   …    … A． B． C． D． 二、填空题 13．若，则__________． 14．当时，化简：______． 15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 16．阅读下列解题过程： 请利用上面的解法，计算： ______________． 三、解答题 17．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 18．化简计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 19．有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 20．已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 21．已知、为实数，且，求的值． 22．阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小圣同学的解答过程如下： ， ． 这种计算方法称为“构造对偶式”． (1)若代数式有意义，则的取值范围是___________． (2)已知． ①求的值； ②求的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $