九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第20章 二次根式～第21章 一元二次方程）

**基本信息** 聚焦二次根式与一元二次方程，23题分层设计，融合赵爽图解法等文化素材与几何图形面积计算，适配九年级拔尖生学情自测，可量化知识掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式化简、根的判别式|新定义运算（第6题）、几何直观应用（第7题）| |填空题|6/18|韦达定理、二次根式整数条件|图形面积转换（第14题）、根的判别式综合（第15题）| |解答题|7/72|二次根式计算、方程与几何综合|“差根方程”定义应用（第22题）、赵爽图解法（第23题），体现数学思维与语言表达|

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第20章 二次根式~第21章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 7．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．若，则或 B．当时，的值为2，则或 C．有最大值 D．若，则关于x的方程有两个不相等的实数根 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 12．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 16．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 19．（10分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 20．（10分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 21．（12分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 22．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 23．（14分）（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴得出，则，，再化简二次根式，计算整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 3．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解： ，， ， 原式， 故选：C． 6．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 7．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 8．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．若，则或 B．当时，的值为2，则或 C．有最大值 D．若，则关于x的方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】A选项：令，代入表达式化简得，解方程即可判断； B选项：当时，代入，化简得，解得或，即可判断； C选项：计算得，因平方项非负，表达式无最大值，即可判断； D选项：令，化简得，判别式，方程有两个不相等实根，即可判断． 【详解】解：A选项： 若， 则， 将，代入得： ， 化简：， 解得或，故A选项错误； B选项： 当时，代入， ， 代入：， 解得或， 并非或，故B选项错误； C选项， 所以无最大值，故C选项错误； D选项，若，则， 将，代入得： ， 化简：， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故D选项正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，取所有条件的公共范围即可求解． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴，且， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴当且时，在实数范围内有意义． 12．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简每一项二次根式，再合并同类项得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 19．（10分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 20．（10分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 21．（12分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解： （2）略 （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 22．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 23．（14分）（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $