安徽省江南十校2027届高三9月综合素质检测试卷

高三数学参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．A 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．ACD 11．BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．6 1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．解：（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 2分 所以， 3分 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 5分 因为，所以． 7分 （2）因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 10分 所以， 11分 又， 12分 所以实数的取值范围为． 13分 16．（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点，）， 所以， 1分 又平面，平面， 所以平面， 3分 又平面，平面平面， 所以． 5分 （2）解：因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 7分 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 8分 则，，，，， 所以，， 所以，，， 11分 设平面的法向量为， 则 令，得，，， 13分 所以点到平面的距离为． 15分 17．解：（1）（i）设事件为“抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”，则其对立事件为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历”． 所以， 2分 所以． 4分 （ii）设事件为“第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历”，事件为“2次抽到的学生均有获奖经历”，事件为“第2次抽到的学生有获奖经历”． ，， 6分 由（i）可知， 7分 ， 8分 所以． 10分 （2）设事件为“从‘算法优化’小组抽取的2名学生中，恰有人有编程竞赛获奖经历”（），事件为“从‘智能感知’小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”． 由题知，，此时“智能感知”08888小组有3人有获奖经历，共10人，； 11分 ，此时“智能感知”小组有4人有获奖经历，共10人，； 12分 ，此时‘智能感知’小组有5人有获奖经历，共10人，， 13分 所以由全概率公式得 ． 15分 18．解：（1）设半焦距为，由题意知解得 3分 所以的方程为． 4分 （2）（i）由（1）可得右焦点为， 所以直线的方程为， 5分 点到直线的距离， 6分 联立，消去并整理得， 显然，设、的横坐标分别为、， 则，， 8分 所以， 9分 所以． 11分 （ii）为定值． 12分 设：，，，， 则，， 联立消去并整理得， 所以，， 14分 所以 ，为定值． 17分 19．（1）解：函数不是区间上的“2距函数”， 1分 理由如下： 所以当时，，； 当时，，， 所以在区间上，， 所以， 即函数不是区间上的“2距函数”． 3分 （2）证明：因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 所以，解得， 所以（）， 4分 所以（）， 所以在区间上单调递增， 所以，， 所以， 所以是区间上的“距函数”，且． 6分 （3）解：（i）因为， 即， 令，，则， 所以在上单调递增， 而， 即，则， 所以对任意，关于的不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 8分 令，，则，， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，所以， 所以的最小值． 10分 （ii）由题知，函数是在区间上的“1距函数”， 易知，则，即或． 当，即时，在上单调递减， 则，， 所以，解得或（舍去）， 所以，即在上为“1距函数”； 11分 当时在上单调递增， 则，， 所以，方程无解，故舍去； 12分 时，即时， 因为，令，即，解得或， 因为，， 所以当时，在上的最小值为8，最大值不可能为9，故不符合题意； 13分 当，即时在上单调递减， 则，， 所以，解得（舍去）或， 所以，即在上为“1距函数”； 14分 当时，即时，在上单调递增， 则，， 所以，方程无解，故舍去； 15分 当时，即， 因为，令，即， 解得或， 因为，， 所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意． 16分 综上，或． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届9月高三综合素质检测 数学试卷 考生注意★： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题号的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据0.12，0.09，0.15，0.08，0.11，0.18，0.14的中位数是 A．0.08 B．0.14 C．0.12 D．0.13 2．若集合，，则 A． B． C． D． 3．复数满足，则 A． B．5 C．15 D．25 4．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为 A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知向量，不共线，且实数，满足，则的值为 A． B． C． D．9 6．已知，则 A．0 B． C． D． 7．若函数在区间上有最小值，则正整数的值有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制．抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是 A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 10．记等差数列的前项和为，，，则 A．数列的公差为2 B．数列是等比数列 C．的最小值为1 D．数列为递增等差数列 11．已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则 A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________． 13．已知函数（，），为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴，且在区间上单调，则________，________． 14．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱．为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，．将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点，），平面与交于点． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营．培训营分设“算法优化”和“智能感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训．“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历． （1）若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次． （i）求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率； （ii）已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历的概率． （2）若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：（）的离心率为，左顶点为． （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 19．（本小题满分17分） 若函数在区间（）上的最大值与最小值之差为定值（），则称函数是在区间上的“距函数”． （1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值； （3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为． （i）求的值； （ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $