安徽省江南十校2027届高三9月综合素质检测试卷

2027届9月高三综合素质检测 数学试卷 考生注意★： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡 上将对应题号的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上 作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.样本数据0.12,0.09,0.15,0.08,0.11,0.18,0.14的中位数是 A.0.08 B.0.14 C.0.12 D.0.13 2.若集合P={x|一3<x-2<3),Q=(-1,0,1,2,4),则P∩Q= A.(-1,0,1,2,4) B.(-1,0,1,2) C.(0,1,2,4) D.(1,2,4) 3.复数z满足z·(2-i)=5-10i,则|z= A.√15 B.5 C.15 D.25 4.抛物线C:y2=8x的焦点为F,点P在抛物线上，且点P到焦点F的距离为6，则点P的横坐 标为 A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知向量e1,e2不共线，且实数x,y满足(x-y)e1十5e2=e1十(3.x一4y)e2,则3的值为 A.3 B号 c号 D.9 6.已知(1-2x)2025=a0十a1x十a2x2+…十a22sx202s,则a2十a1十…十422s= A.0 B.3202s C32e8 D3202w-1 2 2 7.若函数了(x)-了-合r-2mx十3在区间（一3,3）上有最小值，则正整数m的值有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【高三综合素质检测数学试卷第1页（共4页）】 8.某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制.抽奖箱中有12个除奖品内容 不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地 连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为Y1:试验 二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的 个数为Y2.Y,的期望和方差分别为E(Y),D(Y)(i为1,2)，则下列判断正确的是 A.E(Y)<E(Y2)B.E(Y)>E(Y2) C.D(Y1)>D(Y,) D.D(Y)<D(Y2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.双曲线C:5y2一4x2=20的上、下焦点分别为F1,F2,下列结论正确的是 A.C的虚轴长为2√5 BC的离心率为号 C.若P为C上一点，则|PF,|一|PF2=4 D.C的渐近线方程为y=±5 10.记等差数列(an)的前n项和为Sn,4:十ag=10,S=16,则 A.数列(a.)的公差为2 B.数列(Sn)是等比数列 C:的最小值为1 D数列各}为递增等差数列 11.已知圆M:(x一2)2+(y-1)2=4,圆N:(x十2)2+(y-1)2=4,直线1：y=k.x+b与圆M、圆 N均相交，且截两圆所得的弦长分别为m,n,则 A.圆M与圆N的公共弦所在直线方程为x=O B.若直线l过点(0,1)，则m=n恒成立 C.满足m十n=4v3的直线l恰有2条 D.当b=1时，m十n的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线f(x)=x一3lnx十3在点A处的切线与直线2x十y一1=0平行，则点A的坐标为 13.已知函数f(x)=sin(ox十p)(w>0,0<g<,(段，0)为f(x)图象的-个对称中心，直线x=否为 fx)图象的对称轴，且f()在区间0，哥)上单调，则w=一（胥）= 14.已知四棱锥P一ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA=PB=PC=PD=AB=2.E为 侧棱PC的中点，三棱锥E一PAB的外接球球心为G,则平面EAB与平面GBD夹角的正 弦值为 【高三综合素质检测数学试卷第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2 ccos B一bcos A=acos B. (1)求角B的大小； (2)若a十c=2,求b的取值范围， 16.(本小题满分15分) 如图1，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.将△ABD沿 直线BD折叠，使得平面ABDL平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的三等 分点（靠近点C,B),平面EGH与CD交于点F. (1)证明：BC∥EF; (2)求点B到平面EFG的距离. 图1 图2 17.(本小题满分15分) 某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营.培训营分设“算法优化”和“智能 感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训.“算法优化”小组现有12名学生，其中 7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人 具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历！ (1)若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次， ()求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率； ()已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有 编程竞赛获奖经历的概率. (2)若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小 组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程 竞赛获奖经历的概率. 【高三综合素质检测数学试卷第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C后+芳=1(@>6>0)的离心率为分，左顶点为A(-2,0. (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F作斜率不为0的直线U交C于M,N两点， (i)若直线1的倾斜角为45°，O为坐标原点，求△OMN的面积： (i)设直线AM与直线AN的斜率分别为k1,k2,试判断k1·k3是否为定值？若是，求出 该定值；若不是，说明理由 19.(本小题满分17分) 若函数∫(x)在区间[m,n](m<n)上的最大值与最小值之差为定值k(k>0),则称函数f(x) 是在区间[m,n]上的“k距函数”， (1)判断函数f(x)=|x2一2x是否是区间[0,3]上的“2距函数”，并说明理由； (2)已知函数g()=竿岁是定义在[-1,1上的奇函数，且（分）=号证明：g(x)是区间 [-1,1]上的“k距函数”，并求出k的值； (3)若对任意x∈(-1，十∞)，关于x的不等式1+ln(x+1)≤ce+lnc恒成立且实数c的 最小值为d. (i)求d的值； (iD已知函数h(x)=x十1是在区间[m,m十d]上的“1距函数”，求实数m的值 2】 【高三综合素质检测数学试卷第4页（共4页）】 高三数学参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.C将这组数据按从小到大的顺序排列为0.08,0.09,0.11,0.12,0.14,0.15,0.18，所以中位 数为第4个数据0.12，故选C 2.CP=(x|-1<2<5),Q=(-1,0,1,2,4),所以P∩Q={0,1,2,4),故选C. 3B11=5-15201-55=5,故选B 2-i2-i-5 4.B焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=一2，由抛物线定义得PF=xp十2=6，解得xp= 4,故选B. 5.A因为x-e+5e=e干3x=e则。0解得2则3三3定 y=-2. √3.故选A. 6.D令x=0,则a0=1,令x=1,则a0十a1十a2十…十a2026=(-1)2026=1①，令x=-1,则a0 -a1十a2-a3十…十a226=32026②，①+②得2ao十2a2十…+2a226=1+32026, 所以a十a十…十a%-31故选D 7.Af(x)=z2-x-2m,令f(x)=22-x-2m=0,得△=1+8m>0,所以21= 1上孤，+哑，所以于()在(=中画，+)上单涧递减，在 2 2 2 (-0,1一)牛8m),(1+中8m,十∞)上单调递增，因为函数f(x)在区间(-3,3)上有 2 2 最小值，所以-3<1+中8m<3,又1+牛8m>0>-3恒成立，所以只需1+牛8m 2 2 <3,解得m<3,又m为正整数，得m=1或m=2,当m=1时，f(-3)=-号，由f(x)=x -x-2=0,得x=-1或2，f2)=-}>-昌，无最小值：当m=2时，(-3)=是，由f(x) =--4=0,得x=1过亚，1+)<0<号成立，综上m=2.故选A 2 8.C试验-（有放回：每次抽到"恭客中奖”的概率为P=意=分，Y~B(4,宁，所以EY,) =4X号-专，D(Y,)=4X号×(1-)=8试验二（无放回）Y出，服从超几何分布，P0,=0) =诗P(Y,=1)-器，PY,=2)=8器，P出：=3)=祸，PY,==,总体容量N=12, 其中“恭喜中奖”个数M=4,抽取n=4次，E(Y,)=n·兴=4×急=号，D(Y,)=清× 0-寺+×1-号+8器×(2-音+器×3-台+×4-学2-路所以 E(Y1)=E(Y2),D(Y1)>D(Y2),故A,B,D错误，C正确，故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD由题得苦-若-1，a=2,6=5,c=4干=3，所以C的虚轴长为26=25，故A正 确，C的离心率为e=:-号，放B正确；1PR,一PF=,故C错误；C的渐近线方程为 a y=士后2=士2，故D正确，故选ABD a1+a5=2a1+4d=10 10.ACD 由题知， S,=4a+4X3d=16 解得份放A正确：S=叶a×2=的， 2 故B错误务=n(∈N~),所以受的最小值为1，故C正确；因为竿一=1(nEN~)为 n+l n 大于0的常数，所以数列（气）为递增等差数列，故D正确，故选ACD. 11.BD由题知，圆M的圆心为M(2,1),半径为2，圆N的圆心为N(-2,1),半径为2，因为直 线1：kz一y十b=0,所以点M到直线L的距离为山，=2一1+61，点N到直线L的距离为 √k+1 山，=一2-1+61，所以m=2√4-d,n=2V4-d.对于A,由1MN1=4,故两圆外切， √k2+1 没有公共弦，故A错误；对于B,将点(0,1)代人l:y=x十b得6=1，所以d,=2-1+1 √2+1 =2L,d,=一2点-1+1=2a,所以d=d,所以m=,故B正确对于C,m十 vk2+1 √k2+I√2+I n=2V4-d+2√4-d=43,所以√4-d+√4-d=2,设 u=√4-d,v=√4-d,易知d1,d2∈[0,2)，则u十v=23,且u, 23 v∈(0,2]，如图，线段AB上的点都满足u十v=2√3，所以满足m十n =43的直线l有无数条，故C错误；对于D,由选项B可知，当b=1 时，d1=d2,此时m十n=2√4-d+2√4-d=4√4-d,又d= 22W3 42 2十=4一十1当且仅当=0时，好取得最小值0，此时m十n取 4 得最大值8，故D正确，故选BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1,4)(2)=1-3,直线2x十y-1=0的斜率为-2，由1-3=-2，解得2x=1,又f(1) 2 =4,所以点A的坐标为(1,4). 50十p=x,1∈Z, 13.61由题意知 百w十p=kx十受，：∈Z 所以0-受+(k:-1),令=，一k1∈乙，所 以2w=+m,所以w=6+12=6(1+2),因为f(x)在区间(0，否)上单调，所以否-0≤ 召=吾，所以0<w≤9，所以w=6,所以fa)=sin(6x十p,所以吾×6十一k,k∈乙，又0 <p<元，所以p=,所以f(x)=sin(6x+)=cos6z,所以f()=cos2x=1. 14.3四 11 连接AC、BD交于点O,连接PO,由题可得PO⊥平面ABCD,AC⊥BD,则以O为 原点，OB、OC、OP所在直线分别为x、y、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,一√2,0)， B20,0,C0nE,0,D-20,0,P0,0w,所以E0,号，号 设三棱锥E一PAB的外接球球心为G(x,y,z),由GE2=GP2= GA=GB,可得G(停，-，9，设平面EAB的法向量为m= ,又店=Ev2,0,应=(，39，》，则 AB·m=√2x+2y1=0, a正·m=要n+号=0， 取x1=3,则m=(1,一1,3)，同理可 得平面GBD的-个法向量为n三0，L,D,所以cos(m,m=:名=2，所一 以平面EAB与平面GBD夹角的正孩值为，1一(-3严 11 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)因为2 ccos B-bcos A=acos B, 所以由正弦定理得2 sin Ccos B一sin Bcos A=sin Acos B, 即sin Acos B-+cos Asin B=2 sin Ccos B,…2分 所以Sin(A十B)=2 sin Ccos B,… 3分 因为A十B+C=元，所以sin(A十B)=sinC, 又0<C<π，所以sinC≠0， 所以2c0sB=1,即cosB=分， 5分 因为0<B<,所以B=于 …7分 (2)因为a十(=2，c0sB=号， 所以=a2+e2-2 cB=-a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=4-3ac≥4-3X(生)‘=4-3 =1,当且仅当a=c=1时，取等号，…10分 所以b≥1，… 11分 又b<a十c=2,… 12分 所以实数b的取值范围为[1,2).… 13分 16.(1)证明：因为G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近点C,B), 所以GH∥BC,… 1分 又BC￠平面EFGH,GHC平面EFGH, 所以BC/∥平面EFGH,…3分 又BCC平面BCD,平面BCD∩平面EFGH=EF, 所以BC∥EF.…5分 (2)解：因为菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E, 所以E为BD的中点，EA⊥BD,EC⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AEC平 面ABD, 所以AE⊥平面BCD, 又ECC平面BCD,所以EA⊥EC. 7分 以E为原点，EB,EC,EA所在直线分别为x,y,x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …8分 则E(0,0,0),B(3,0,0),D(-3,0,0),A(0,0,3√3)，C(0,3√3,0)， 所以F-是，3,0)，G0,25w, 所以=(3,00，=(-是，3,0)，忘=(0,2w), 11分 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), 则 成n=-是x+3 y=0, EG.n=25y十3x=0, 令y=1,得x=3,z=-2,n=(3,1,-2),… 13分 所以点B到平面EFG的距离为EB·ml=一33 n 15分 V3+1+4 4 17.解：(1)(i)设事件A为“抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”，则其对立事件A 为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历” 所以PA)=一最 2分 所以P(A)=1-P(A)=28 31 4分 ()设事件B为“第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历”，事件C为 “2次抽到的学生均有获奖经历”，事件D为“第2次抽到的学生有获奖经历”， P(B)= 1-品，P(o 5×7_ 7×6 42 。。。。0。。。。。。。。。。◆。。。。。e，。。。。,。。g。。。。。 12×11-132’ 6分 由0可知P(A)=器 7分 P(BUC)=P(B)+P(C)=3542=7 132 12’ 8分 1 所以P(D1A)=PDnA)=P(BUC)=12=14 P(A) P(A) 28 -16 10分 33 (2)设事件Fk为“从‘算法优化’小组抽取的2名学生中，恰有k人有编程竞赛获奖经历”(k =0,1,2),事件G为“从‘智能感知’小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”. 由题知，P(F。)= 慧=，此时“智能感知”088小组有3人有获奖经历，共10人 P(G引F)=0 11分 P(F)= CC&=35 Ci2 一品，此时“智能感知小组有4人有获奖经历，共10人，P(GR)=是=号： …12分 P(F2)= 器-克，此时智能感知'小组有5人有获奖经历，关10人，P(GR)=是=立， 13分 所以由全概率公式得P(G)=P(F。)P(G引F)+P(F)P(G引F)十P(F2)P(G引F2) 品×品+×号+品×- 15分 2 a=2, Q 18.解：(1)设半焦距为c,由题意知 a=2, 解得b=√， 3分 b2=a2-c2, (c=1, 所以C的方程为号+号-1. 4分 (2)(i)由(1)可得右焦点为F(1,0), 所以直线l的方程为y=x一1， 5分 点0(0,0)到直线x-y-1=0的距离d=1= √2 2 6分 y=x-1 联立 4十3 =1消去y并整理得722-8z-8=0, 显然△>0，设M、N的横坐标分别为xM、zN, 8 8 则2M十xN=号，xM·2N=-号， …8分 所以IMN=E×VaM+xw2-4=2X√（9)+4X号-24， …9分 所以saN=2MN1·d=×4×号-6吗 7 11分 (i)b·2为定值.… 12分 设l:x=my+1,M(21y1),N(z2,y2),A(-2,0), 2十22=2 则1=1。 2+2 联立 +号=1消去工并数得(m十)+6my一9=0， x=my+1, 61n 9 所以y1十y2三 3m2+4y12= 3m2+4' 14分 yiy2 yiy2 y1y2 所以k1·b,=(2+2)Cx2+2)-(my+3)(my2+3)-m2y12+3m(y+2)+9 9 3m2+4 9m2 18m2 17分 3+43m年4+ =一为定值 19.(1)解：函数f(x)=|x2一2x不是区间[0,3]上的“2距函数”，…1分 提由如吓-2-42-02 所以当0≤x≤2时，f(2)mx=f(1)=1,f(2)mim=f(0)=f(2)=0; 当2<x≤3时，f(x)mx=f(3)=3,f(x)>f(2)=0, 所以在区间[0,3]上f(2)mx=3,f(x)min=0, 所以k=f(z)mx一f(x)nmin=3一0=3， 即函数f(x)=|z2一2x不是区间[0,3]上的“2距函数”.…3分 (2)证明：因为g)-群尝是定义在[-1,1止的奇函数， 所以g0)=b=0,所以gx=1千经， 所以g(合)】 2a ，解得a=1, 2 所以g(z)=2(-1≤2≤)……4分 所以g'()=1十2-222=1-22 1十22)2-(1+22)2≥0(-1≤x≤1)， 所以g(x)在区间[一1,1]上单调递增， 所以g(2)=g(1)=2,g(x)m=g(-1)=- 2 所以k=g(x）mx一g(z)nmin=1, 所以g(x)是区间[-1,1]上的“k距函数”，且k=1. 6分 (3)解：(i)因为1+ln(x+1)≤ce+lnc, 即x+1+ln(x+1)≤cer+ln(cer), 令p(0)=+ln,>0,则g(e)=1+>0, 所以p(t)在(0，十o∞)上单调递增， 而x+1+ln(x+l)≤ce+ln(ce), 即p(x+1)≤p(ce),则x十1≤ce*, 所以对任意x∈（一1，十oo),关于x的不等式1十ln(z十1）≤ce十lnc恒成立， 等价于士<对任意x∈（一1，十o∞）恒成立， …8分 令a(a)=2+,xe(-1,+o∞，则()=-吉，ze(-1,+o), 所以当x∈(0，十∞)时，'(x)<0,则u(x)在(0，十∞)上单调递减； 当x∈（一1,0)时，(x)>0,则u(x)在（一1,0）上单调递增， 所以u(x)mmx=u(0)=1,所以c≥1， 所以c的最小值d=1.…10分 ()由题知，函数h(x)=z十1是在区间[m,m十1]上的“1距函数”， 易知x≠0，则0任[m,m十1]，即m>0或m<一1. 当+4即0<m≤3时，h)在[m十1止单调造减， 则A(a)m=i(m)=n+识，A()=h(m+1)=m+1+ m+1, 所以m十9-m十1+)=1，解得m=二1区或m=二12Y(舍去)， m 2 2 所以m=二1+3，即x在[1+3,1+)压]上为“1距函数”； 2 2 2 …11分 当m≥4时h(x)在[m,m十1]上单调递增， 则h()m=h(m）=m+只A()m=h(m十1)=m十1+ m+1’ 十号一(m+9)=1,方程无解，故会去； 所以m+1+16 12分 m 4∈(m,m+1)时，即3<m<4时， 因为(4)=8，令h()=9,即x十1=9，解得z-9十厘或x=9-匝， 2 因为4-9-亚=7-11,9+厘-4=1+1， 2 2 2 2 所以当4∈(m,m十1)时，h(x)在[m,m十1]上的最小值为8，最大值不可能为9，故不符合题 意；6…0……13分 当（网10即-4Cm<-1时A在[m,十]上竿调道藏 则A()=A(m=m+识，A()m=hm+1)=m+1+m片 m+1, 所以m十9-(a+1+片与)=1，解得m=1中之压（含去成m=1国， m 2 2 所以m=-1,压，即（在1，压，1二死]上为“1距函数”； 2 2 2 …14分 当m+1≤-4时，即m≤-5时，h(x)在[m,m十1]上单调递增， 则A(）m=h(m)=m+识，A(=ACm+1)=m+1+,9 m+1’ 厅以m十1十6一(m十)三1，方程无解，故舍去；…… 15分 m 当-4∈(m,m+1)时，即-5<m<-4, 因为h(-4)=-8,令h(x)=一9，即x+5=-9, 解得x=二9+7或x=9,应 2 2 因为-4-9，匝-7+11,9+亚-（-4)=厘-1>1， 2 2 2 2 所以当一4∈(m,m十1)时，h(x)在[m,m十1]的最大值为一8，最小值不可能为一9，故不符 合题意.…16分 综上，m=-1+3压或1,3」 2 2