精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某科技公司对一批新型锂电池的续航时间（单位：小时）进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数约为（ ） A. 8.2 B. 8.3 C. 8.5 D. 8.6 5. 函数的图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是异面直线，，则（ ） A. 当时，与可能平行 B. 存在平面，使得 C. 当，且时， D. 当与不平行时，与可能平行，或与可能平行 10. 一个书架上摆放着4本科普读物、3本历史传记、2本经典文学书籍.现每次从书架上不放回地随机取出一本书，记事件表示“第次取出的书籍是历史传记”，k=1，2，3，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上至少有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点） C. 曲线上存在一点，使得点与点间的距离大于1 D. 曲线所围成的区域的面积小于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记等差数列的前项和为，且，，则____. 13. 若对任意实数，恒成立，则满足条件的一组，的值分别为____，____. 14. 甲、乙两人开启跑步健身计划.甲每次健身跑步的里程数比上一次多1公里，乙每次健身跑步的里程数比上一次增加.设甲、乙两人第n次健身跑步的里程数分别为，（单位：公里）.已知，，则当最大时，n的值为____.（参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知条件：①；②；③.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：的内角的对边分别为，满足：　　　　. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求边长的取值范围. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 16. 已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知，函数，. （1）若的最大值为，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，若不等式对任意恒成立，求的最大值. 19. 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、…、第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一个子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足，，. （1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明理由. 数列①：4，6，8，10，12；数列②：3，6，12，24. （2）数列的子列的长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6. （3）数列的子列的长度，且为完全数列，求++++的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵集合， ∴集合， ∵， ∴， ∴， 解得且， 则实数a的取值范围是． 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的基本运算可得，由“”，求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 解得， 故“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知向量是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式即可. 【详解】. 所以向量在向量上的投影向量为. 4. 某科技公司对一批新型锂电池的续航时间（单位：小时）进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数约为（ ） A. 8.2 B. 8.3 C. 8.5 D. 8.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和为1可得，分析可知这组样本数据的分位数在区间内，结合百分位数的定义列式求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 因为，， 所以这组样本数据的分位数在区间内，设其为t， 则，解得. 5. 函数的图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，根据定义域关于直线对称，猜测的对称中心横坐标为，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】要使得有意义， 则， 解得或， 则的定义域关于直线对称． 又 ， 所以的图象的对称中心为． 6. 已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出轴截面图，由三角形的相似及，求得，再根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则, 因为与分别为的平分线， 因此，从而， 故，所以，又因为，所以，故， 故圆台的高为，故圆台的体积为. 7. 已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，由双曲线的渐近线方程得出，，进而得出，再由的周长列出方程即可求解离心率． 【详解】根据题意可得，双曲线的渐近线方程为，则， 设， 则， 所以，， 设，则， 则， 因为的周长为， 所以， 解得或（舍去）， 所以的离心率． 8. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将单调性问题转化为恒成立问题求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立. 设，， 故为上的单调递增函数，所以只需即可，即，解得， 又因为，所以a的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是异面直线，，则（ ） A. 当时，与可能平行 B. 存在平面，使得 C. 当，且时， D. 当与不平行时，与可能平行，或与可能平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间线面、面面位置关系的逻辑推导与反例构造即可得到答案. 【详解】对于A，如图： 取正方体，令直线为，直线为，平面为平面，平面为平面， 此时，，是异面直线且，且，故A正确； 对于B，若存在平面，使得，则，又,则是共面直线，与题设不符，故B错误； 对于C，假设与相交于直线，因且，由线面平行性质得到， 因且，同理，则得，与异面矛盾，假设不成立，即，故C正确； 对于D，如图： 取正方体，令直线为，直线为，平面为平面，平面为平面， 此时与相交于直线，不平行，且，，说明当与不平行时，与可能平行，或与可能平行，故D正确. 10. 一个书架上摆放着4本科普读物、3本历史传记、2本经典文学书籍.现每次从书架上不放回地随机取出一本书，记事件表示“第次取出的书籍是历史传记”，k=1，2，3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A ，，故A正确； 对于B ，，，，故B正确； 对于C ，，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上至少有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点） C. 曲线上存在一点，使得点与点间的距离大于1 D. 曲线所围成的区域的面积小于4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用代入法求解对称性判断A，先求出变量范围，再结合题意求出整点判断B，直接求解距离判断C，发现菱形的面积包裹在曲线之内，进而判断D即可. 【详解】对于曲线上任意一点，其关于轴对称的点为， 则，故曲线关于轴对称，A项正确； 由题意得曲线，且， 所以，解得， 而，则，解得，故， 当时，；当时，；当时，， 故曲线过点，，，B项正确； 曲线上的点与点间的距离大于1，C项正确； 曲线的大致图形如图所示，菱形完全包裹于曲线之内， 故曲线所围成的区域的面积大于，D项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记等差数列的前项和为，且，，则____. 【答案】5 【解析】 【分析】利用等差数列性质得，推出，再对递推式赋值得到另一关系式，联立方程求解出. 【详解】因为，又，， 所以，又，则，可得， 因为，所以，令，可得，又， 所以. 13. 若对任意实数，恒成立，则满足条件的一组，的值分别为____，____. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【详解】由题意得， 所以，，所以只需取，即可. 14. 甲、乙两人开启跑步健身计划.甲每次健身跑步的里程数比上一次多1公里，乙每次健身跑步的里程数比上一次增加.设甲、乙两人第n次健身跑步的里程数分别为，（单位：公里）.已知，，则当最大时，n的值为____.（参考数据：，） 【答案】15 【解析】 【分析】由题意可知：，，，利用作差法比较大小，结合对数运算性质求解即可. 【详解】由题意可知：，，， 则，， 令，， 则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 且， 当时，，即；当时，，即； 即，所以当最大时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知条件：①；②；③.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：的内角的对边分别为，满足：　　　　. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求边长的取值范围. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）条件①根据正弦和差角公式化简整理求角即可；条件②根据正弦定理及三角恒等变换求角即可；条件③根据式子化简和余弦定理求角即可. （2）因为为锐角三角形，求出角的范围，根据正弦定理及三角恒等变换化简得到，最后求出边长的取值范围即可. 【小问1详解】 选择条件①，. 则. 又，所以. 选择条件②，. 于是， 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即. 因为，所以，则，即. 又，所以. 选择条件③，，则，化简得， 所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，且，所以， 所以解得，又，所以结合正弦定理， 得. 因为，所以，则. 所以，即边长的取值范围为. 16. 已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算即可得； （2）设，则有，再表示出直线、的方程，即可得、点坐标，最后计算即可得解. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，，设， 因为点在椭圆上，所以，即有， ，则直线的方程为， 令，得，所以， ，则直线的方程为， 令，得，所以， 则，， 所以 . 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又是的中点，所以， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据线面垂直的判定得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知为二面角的平面角，由得出，由余弦定理得出，在中，由余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 记，则， 在中，，， 因为，， 设， ， 所以， 由余弦定理知 ，故， 在中，由余弦定理得， 又，所以． 【小问3详解】 因为平面平面， 所以平面平面， 以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为，， 所以， ，则， 所以，，， 设为平面的法向量，由，， 可得，取，得，故， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知，函数，. （1）若的最大值为，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，若不等式对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在、上单调递减，在上单调递增；当时在上单调递减；当时，在、上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，结合函数单调性及其最大值计算即可得； （2）由题意可得，求导后，分、、及讨论即可得； （3）令，由题意可得在上恒成立，求导后结合零点的存在性定理可得单调性，从而可得范围，即可得解. 【小问1详解】 ，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，故； 【小问2详解】 由，可得 则， 当，即时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令，得， 令，得或， 所以在、上单调递减，在上单调递增； 当，即时，，故在上单调递减； 当，即时，令，得或， 令，得， 所以在、上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在、上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递减； 当时，在、上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，， 因为，所以， 令，，故在上恒成立， ， 当时，，设， 则，故在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即有，故， 当时，，则， 当时，，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故 ， 由，由对勾函数性质可得，则， 故，又，故的最大值是. 19. 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、…、第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一个子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足，，. （1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明理由. 数列①：4，6，8，10，12；数列②：3，6，12，24. （2）数列的子列的长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6. （3）数列的子列的长度，且为完全数列，求++++的最大值. 【答案】（1）数列①：4，6，8，10，12不是的完全数列；数列②：3，6，12，24是的完全数列.理由如下： 数列①：4，6，8，10，12中，因为，所以数列①不是完全数列； 数列②：3，6，12，24中，所有项的和都不相等，数列②是完全数列 （2）假设数列的长度，不妨设，各项满足. 考虑数列的长度为的所有子列，一共有个. 记数列的长度为的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A， 所以， 所以其中必有两个子列的所有项之和相同，所以假设不成立. 再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意. 所以子列的最大长度为6. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意逐项分析判断即可； （2）根据题意利用反证法结合等差数列求和分析说明； （3）根据题意转化为求的各项最小值，结合题意分析运算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为长度，且为完全数列，且， 可知的最小值为1，的最小值为2，取； 因为，则的最小值为4，取； 因为，则的最小值为8，取； 因为， ， 则的最小值为16，取； 此时均取到对应的最小值，则均取到对应的最大值， 则， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $