空间向量与立体几何：线面角的最值与范围问题、二面角的最值与范围问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何中动态角问题，通过精选典例构建线面角、二面角最值求解的题型体系，强化空间观念与推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面角的最值与范围问题|3例+3变式|结合证明与动点参数，求线面角正弦值最值|从线面垂直证明到空间向量求角，通过函数或不等式求最值，体现空间观念与运算能力| |二面角的最值与范围问题|3例+3变式|涉及折叠、动点，求二面角余弦值范围|由面面位置关系推导，利用法向量计算二面角，通过参数控制实现最值求解，培养推理意识|

2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：线面角的最值与范围问题、二面角的最值与范围问题专项训练 考点目录 线面角的最值与范围问题 二面角的最值与范围问题 考点一 线面角的最值与范围问题 例1．（2026·广东茂名·二模）如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，进而可得，从而可得正弦值的最大值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以且. 又因为和都垂直平面，所以且. 由平行公理可得且，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，由线面平行判定定理， 所以平面. （2）因为和都垂直平面，所以，平面， 所以平面平面. 以点为坐标原点，以分别为轴，以平面为面，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设， 因为四边形为直角梯形，所以， 所以，得，即. 因为平面与平面重合，设平面的法向量为， ，由，得， 取，则，即. 所以线与平面所成角为， ， 当时，有最大值. 因此，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 例2．（2026·江苏·模拟预测）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，A，E，B，F四点共面，且和均为等腰直角三角形，. (1)求证：直线平面ADF； (2)若平面平面AEBF，，点P在直线DE上，求AP与平面BCF所成角的最大值. 【答案】(1)详见解析； (2). 【分析】（1）由题可得，再利用线面平行的判定定理即得； （2）利用坐标法，利用线面角的向量求法可得，再利用二次函数的性质即得. 【详解】（1）在四边形AEBF中， ∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 又平面ADF，平面ADF， ∴平面ADF， （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴DA⊥AB， 又∵平面ABCD⊥平面AEBF，DA⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面AEBF=AB， ∴DA⊥平面AEBF， 如图建立空间直角坐标系， 设，则， ∴， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 设AP与平面BCF所成角为，又， ∴， 要使最大，， ∴， ∴，即AP与平面BCF所成角的最大值为. 例3．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，. (1)点P为直线上的动点，求证：； (2)点P为直线上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出点P坐标，进而求出平面法向量和，设与平面所成角为，则求出，令，，通过二次函数求最值，即可求出直线与平面所成角正弦值的最大值. 【详解】（1）证明：连接交于点O，由题意知平面， 又因为平面，所以， 因为底面为菱形，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以. （2）以为x轴，为y轴，过O且垂直平面向上方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 因为点P为直线上的动点，所以可设，所以 ，即点P坐标为. ， 设平面法向量为， 则，取.……分 ， 设与平面所成角为， 则， 设，则，令，，则 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为. 变式1．（2026·江苏苏州·模拟预测）在四棱锥中，，二面角的大小为，且PA=PD=，. (1)求证：； (2)设E是直线PC上一点，求AE与平面PAB所成角正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1) 取中点，证明，由线面垂直判定定理证明平面，由此可证；(2)建立空间直角坐标系利用向量法求AE与平面PAB所成角正弦再求其最大值. 【详解】（1）取中点，则， PO，BO平面POB，， 平面，平面， ∴ ； （2）以为原点，为x，y轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，则， ， 设，则 设平面的法向量，则， 故取 设与平面所成角，则 故与平面所成角正弦的最大值， 变式2．（2026·广东潮州·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，D是棱BC的中点，E是线段AD上的动点（不包括端点）． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，，从而可证平面，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合基本不等式求解即可 【详解】（1）连接， ∵，， ∴， 又， ∴，即． 由正三棱柱的性质可知，平面平面ABC， 又，平面平面， ∴平面， ∴． 又，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴． （2）在平面内作直线，如图建立空间直角坐标系D-xyz， 不妨设，则，，， 设点E的坐标为（）， ∴，，． 设平面的法向量为， 由，，得 令，则． ∴． 而， 当且仅当，即时取等号． ∴的最大值为． 变式3．（2026·四川成都·模拟预测）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点. （1）判断四边形的形状并证明； （2）求与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】（1）矩形，证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知根据线面平行的判定定理证得平面.再运用面面平行的判定和性质证得四边形为平行四边形.运用线面垂直的判定定理可证得平面，从而得出结论. （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.运用线面角的向量求解方法可求得答案． 【详解】解：（1）四边形为矩形，证明如下： 取中点为，连接，.在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且平面平面，所以. 因为在三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以四边形为平行四边形. 在中，因为，是的中点，所以. 由题可知平面，所以，， 因为，所以平面， 所以，故四边形为矩形. （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，在中，，，所以， 所以，，，，则，. 因为，所以，即. 因为，所以.设平面的法向量为， 则即所以 令，则，，所以. 设与平面所成角为， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故与平面所成角的正弦值最大为. 【点睛】思路点睛：线面角的二种求法： 1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算. 2. 向量法：直线a的方向向量和平面的法向量分别为和.直线a的方向向量和平面所成的角θ满足: 考点二 二面角的最值与范围问题 例1．（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)取的中点，连接， ， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面， 平面， 平面． (2) 【分析】（1）取的中点，连接， ，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面 的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面 的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出. 【详解】（1）略 （2）设到平面 的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系 ， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得 ，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面 ，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 例2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在五边形中，四边形是矩形，，将沿着折起，使得点到达点的位置，且平面平面，点，分别为线段，的中点，点在线段上，且.    (1)当时，证明：平面； (2)设平面与平面的夹角为，求的最大值及此时的值. 【答案】(1)见解析 (2)的最大值为1,此时的值为. 【分析】（1）取的中点,连接,,证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可； （2）首先利用面面垂直的性质定理，再以点为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量，利用面面角的空间向量求法即可求出最值. 【详解】（1）取的中点,连接,, 分别为,的中点, , 四边形是矩形,点为的中点 . , 四边形为平行四边形，. 又平面平面, 平面. （2）由题可知，又点为的中点，, 平面平面,平面平面平面, 平面, 以点为坐标原点,的方向分别为,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,    则,， 由题设, 当时,显然不符合; 当时,, . 设平面的法向量为, 则， 取,则, ， 取平面的一个法向量为, ， 当时,,此时取得最大值1. 的最大值为1,此时的值为. 例3．（25-26高三下·安徽·阶段检测）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点， 是棱 上的动点，且. (1)若，证明：平面. (2)求平面与平面夹角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明：连接 ，记，连接 . 因为四边形 是正方形，所以 是 的中点， 因为 是的中点，所以. 因为分别是棱的中点，所以，所以. 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接 ，记，连接 ，则，，进而，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算可得，利用空间向量法求出平面、的法向量，设平面与平面的夹角为 ，结合空间向量数量积的定义可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）四边形 为菱形，所以， 由平面 ，、 平面 ，得， ， 故以 为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 从而，，，. 因为，所以， 则. 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面的法向量为， 则 令，得. 设平面与平面的夹角为 ( 为锐角)， 则. 因为，所以， 所以， 则当时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值. 变式1．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由二面角的向量求法可求得，结合二次函数的性质可求得的最大值. 【详解】（1）连接， ，，，又，， 为棱中点，，又，，平面， 平面，又平面，； 在直角梯形中，取中点，连接， ，，又，，， 四边形为正方形，，， ，又，，， ，平面，平面， 平面，； ，，，， 又，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，； ，，； 设平面的法向量为， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则 当时，，， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为. 变式2．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：如图．连接，，由已知得四边形是矩形， 故与交于点，且点为中点， 又是的中点，所以． 又由于平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，利用坐标法求得平面法向量，即可表示两平面夹角余弦值，进而可得取值范围. 【详解】（1）略 （2）由于在直三棱柱中，平面底面，且平面平面 故过在平面内作直线， 所以直线平面， 又，平面， 所以，， 由于直线，，两两垂直，故分别以直线，，为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系． 由于， 设，则，故，， 设点， 由于，，， 所以， 即，故， 设平面的法向量为，，，， 由于，所以， 令，则，即， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 由于，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围是. 变式3．（24-25高三下·甘肃白银·阶段检测）如图，在正方体中，，均为线段上的动点（不含端点），. (1)证明：. (2)设，，. （i）试探究是否为定值，并说明你的理由； （ii）求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) 证明：连接，，.在正方体中，平面，在平面，则. 又，，都在平面内， 所以平面，又在平面，所以.     同理可得，因为，都在平面内， 所以平面. 又因为平面，所以. (2)（i）为定值，理由： 连接，.设，则， 易知是正三角形，则，，其中. 因为，所以. 同理可得，， 故，为定值. （ii） 【分析】（1）连接，，，通过证明平面，即可求证； （2）（i）连接，.设，则，通过，，及，即可求解；（ii）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）设，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 所以，.     设平面的法向量为，则， 即，取，得. 同理可得平面的一个法向量为. . 因为，所以， 所以.     设，则. 因为，所以. 又，所以， 则.设， 则，， 所以. 由图可知二面角是锐角， 所以二面角的余弦值的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：线面角的最值与范围问题、二面角的最值与范围问题专项训练 考点目录 线面角的最值与范围问题 二面角的最值与范围问题 考点一 线面角的最值与范围问题 例1．（2026·广东茂名·二模）如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例2．（2026·江苏·模拟预测）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，A，E，B，F四点共面，且和均为等腰直角三角形，. (1)求证：直线平面ADF； (2)若平面平面AEBF，，点P在直线DE上，求AP与平面BCF所成角的最大值. 例3．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，. (1)点P为直线上的动点，求证：； (2)点P为直线上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值. 变式1．（2026·江苏苏州·模拟预测）在四棱锥中，，二面角的大小为，且PA=PD=，. (1)求证：； (2)设E是直线PC上一点，求AE与平面PAB所成角正弦的最大值. 变式2．（2026·广东潮州·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，D是棱BC的中点，E是线段AD上的动点（不包括端点）． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值． 变式3．（2026·四川成都·模拟预测）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点. （1）判断四边形的形状并证明； （2）求与平面所成角的正弦的最大值. 考点二 二面角的最值与范围问题 例1．（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 例2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在五边形中，四边形是矩形，，将沿着折起，使得点到达点的位置，且平面平面，点，分别为线段，的中点，点在线段上，且.    (1)当时，证明：平面； (2)设平面与平面的夹角为，求的最大值及此时的值. 例3．（25-26高三下·安徽·阶段检测）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点， 是棱 上的动点，且. (1)若，证明：平面. (2)求平面与平面夹角余弦值的最大值. 变式1．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 变式2．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 变式3．（24-25高三下·甘肃白银·阶段检测）如图，在正方体中，，均为线段上的动点（不含端点），. (1)证明：. (2)设，，. （i）试探究是否为定值，并说明你的理由； （ii）求二面角的余弦值的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $