7.10 向量法求距离的问题专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦向量法求空间距离，系统覆盖点面、点线、异面直线及面面距离题型，强化空间坐标系建立与法向量应用的逻辑训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点面距离|4题|含正方体、三棱锥等模型，需建系求法向量|空间向量→法向量→距离公式，体现几何直观与运算能力| |点线距离|3题|涉及动态点及中点问题，需用向量模长公式|方向向量→向量投影→距离计算，培养空间观念| |异面直线距离|3题|含定义应用及正方体模型，需求公垂向量|异面直线判定→公垂向量→最小值计算，发展推理意识| |面面距离|2题|以正方体中平行平面为背景，转化为点面距|平面平行判定→点面距转化，强化转化思想|

7.10 向量法求距离的问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·辽宁锦州·期末）已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·贵州遵义·阶段检测）已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·一模）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 10．（25-26高三·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 11．（25-26高三·江苏扬州·期中）如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B．当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C．存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D．存在F，使得点F到直线AE的距离为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·广东湛江·阶段检测）在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为______. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． 则(1)点到直线的距离为________； (2)直线到直线的距离为________； (3)点到平面的距离为________； (4)直线到平面的距离为________． 14．（25-26高三·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 16．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面，，，过点的平面分别与棱、、交于、、，，． (1)求到底面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 17．（25-26高三·广东梅州·阶段检测）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（25-26高三·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 19．（25-26高三·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.10 向量法求距离的问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高三·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 3．（25-26高三·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 4．（25-26高三·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 已知是棱上一点，（）， 则， ∵，∴，解得． 故选：C 5．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 6．（25-26高三·辽宁锦州·期末）已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 7．（25-26高三·贵州遵义·阶段检测）已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，求出平面的法向量，利用点面距的向量公式可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则; ; 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 得平面的一个法向量为， 设到平面的距离为， 则. 故选：D 8．（25-26高三·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·一模）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 10．（25-26高三·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，由空间向量线性运算的坐标表示，判断A；求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离的向量求法求得异面直线与间的距离，判断B；根据点到直线的距离的向量求法，求得点到直线的距离，判断C；根据点到平面距离的向量求法求得点到平面的距离，判断D. 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 11．（25-26高三·江苏扬州·期中）如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B．当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C．存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D．存在F，使得点F到直线AE的距离为3 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，所以B正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，所以C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以方程无解，故点不存在，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·广东湛江·阶段检测）在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离. 【详解】如图所示， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，， 则，， 设是平面的一个法向量，则， 令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． 则(1)点到直线的距离为________； (2)直线到直线的距离为________； (3)点到平面的距离为________； (4)直线到平面的距离为________． 【答案】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，然后根据向量的坐标公式求出平面的法向量、直线与平面夹角的余弦值、直线与直线夹角的三角函数值，进而可求出结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， （1）则，， 所以，所以. 所以，所以点到直线的距离为. （2）, 所以，所以，所以. 所以直线到直线的距离是点到直线的距离. 因为，所以， 所以，所以点到直线的距离为. 所以直线到直线的距离是. （3），设平面的法向量为. 则有，即，令，则. 所以，所以. 所以点到平面的距离为. （4），所以. 所以平面，所以直线到平面的距离为点到平面的距离. 因为，所以距离为. 故答案为：；；；. 14．（25-26高三·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 【答案】(1)如图所示，连接交于点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形， 则是的中点，又是中点，则. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离 【详解】（1）略 （2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，， 所以，所以. 因为平面，由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，，所以，所以. 又因为，，，平面.， 所以平面. 因为点为中点，所以点到平面的距离为. 由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 设平面的法向量为，则， 取，则，，即. 又，则点到平面的距离. 由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为. 16．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面，，，过点的平面分别与棱、、交于、、，，． (1)求到底面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）以为空间坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法及四点共面，求出的坐标，根据其竖坐标即可得答案； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得、、两两垂直， 故以为空间坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则,,,,, 又因为，． 所以为中点，为靠近的三等分点，所以，， 因为，在上，且设, 所以，所以, 又因为，，且四点共面， 所以，所以， 所以解得，所以， 解得，所以，所以到底面的距离为； （2）因为轴与平面垂直，所以轴与平面垂直， 取平面的法向量， 因为，所以设平面的法向量， 则，所以解得， 取，设平面与平面所成角为， 则, 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．（25-26高三·广东梅州·阶段检测）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 所以，点到直线的距离为. （2）由（1）可知，， 设平面的法向量，则， 令，得， 易知平面的一个法向量， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（25-26高三·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 【答案】(1) 证明：因为在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，又， 所以以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 因为，，所以， 因此. (2) (3)， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，要证线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为即可； （2）利用空间向量求二面角，先找出两个面的法向量，进而求出两个面法向量夹角的余弦值， 利用同角三角函数的关系求出二面角的正弦值即可； （3）利用线面所成角的正弦值等于直线的方向向量与面的法向量夹角余弦值的绝对值进行求解即可； 利用向量投影公式，求点到面的距离，即求向量在法向量上的投影长度即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知三棱柱为直三棱柱，， 则是平面的一个法向量，，． 设为平面的法向量，则，即， 取，则，，所以. 又因为，所以， 因此，二面角的正弦值为. （3）由（1）可得，又由（2）知为平面的法向量， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 又，所以点到平面的距离. 19．（25-26高三·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】(1) 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. (2) (3) 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $