重点强化练七　同角三角关系与诱导公式-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦同角三角关系与诱导公式，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一公式应用到综合证明与最值问题的进阶，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|诱导公式直接应用、同角基本关系|单选1-4（如sin值计算）、填空9（sin(π+α)），夯实公式记忆与直接运算| |中档层|象限角性质、单位圆几何意义、多公式综合|单选5（单位圆+弧长）、多选7-8（sin±cos关系）、解答12（面积计算），培养综合运算与推理意识| |提升层|三角恒等证明、最值问题|单选6（最小值求解）、解答13（证明题），发展数学思维与创新意识|

重点强化练七　同角三角关系与诱导公式 1.D　[解析] sin=sin=sin=-sin=-.故选D. 2.D　[解析] 由tan(π-x)=-tan x=,得tan x=-,则解得cos2x=,因为x是第二象限角,所以cos x=-.故选D. 3.D　[解析] 在角α的终边上任取一点(x,y),由题得(-x,y)为角β的终边上一点,此时r1==r2=,所以cos α=≠cos β=,故A错误;tan α=≠=tan β,故B错误;sin=cos α,由A知,C错误;cos(π-α)=-cos α,由A知,D正确.故选D. 4.A　[解析] 因为tan(π-α)=-tan α=-3,所以tan α=3,所以== ==2.故选A. 5.B　[解析] 设角β的终边为OQ,∵点P在该单位圆上按逆时针方向运动到点Q处,经过的圆弧PQ的长为,∴β=α+.∵cos α=-,sin2α+cos2α=1,∴sin2α=,又点P位于第三象限,∴sin α=-,∴cos β=cos=-sin α=-=,设点Q的横坐标为x,则cos β=x,∴x=.故选B. 6.D　[解析] 因为0<α<,所以sin α>0,cos α>0,+=(sin2α+cos2α) =10++≥10+2=16,当且仅当=,即tan α=,即α=时,等号成立.故选D. 7.ABC　[解析] 由已知可得1+2sin θcos θ=,则sin θcos θ=-<0,所以<θ<π,故A,B正确;sin θ-cos θ====①,故C正确;又sin θ+cos θ=②,联立①②解得sin θ=,cos θ=-,则tan θ==-2,故D错误.故选ABC. 8.BCD　[解析] 对于A,由<α<,得cos α<0,则tan α==-,故A错误;对于B,由tan α=3,<α<,得cos α=-=-=-,故B正确;对于C,由sin αcos α=,得=,则=,即2tan2α-5tan α+2=0,由<α<,得tan α>1,可得tan α=2,故C正确;对于D,tantan=·=·=1,故D正确.故选BCD. 9.　[解析] 因为角α的终边与单位圆的交点坐标为,所以sin α=-,所以sin(π+α)=-sin α=. 10.(答案不唯一)　(答案不唯一)　[解析] 因为sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合,故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+nπ,n∈Z,即α=+kπ,k∈Z,故取α=,β=可满足题设要求. 11.　[解析] 原式=== == =. 12.解:(1)由题意知,角α的终边与单位圆交于点A,角β的终边与单位圆交于点B, 所以+m2=1,+n2=1,解得m=或m=-,n=或n=-, 因为α是第一象限角,β是第二象限角,所以m=,n=-,所以tan α==,tan β==-, 则tan α·tan β=-. (2)由(1)知A,B, 所以sin α=,cos α=,sin β=,cos β=-, 又∠AOB=β-α, 所以sin ∠AOB=sin(β-α)=sin βcos α-cos βsin α=, 又OA=1,OB=1,所以S△AOB=sin×2cos=sin(β-α)=. 13.解:(1)因为点P在单位圆上,所以+y2=1,所以y2=, 又角θ的终边在第四象限,所以y<0,所以y=-. 由三角函数定义知sin θ=y=-,cos θ=x=, 则======2-. (2) 证明:====. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练七　同角三角关系与诱导公式 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C.- D.- 2.已知tan(π-x)=,x为第二象限角,则cos x= (　 ) A.- B.- C.- D.- 3.已知角α和β的终边关于y轴对称,则 (　 ) A.cos α=cos β B.tan α=tan β C.sin=cos β D.cos(π-α)=cos β 4.[2026·广西崇左高一期末] 已知tan(π-α)=-3,则= (　 ) A.2 B. C.- D.-2 5.[2026·北京二中高一检测] 在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆交于点P(点P位于第三象限),且cos α=-,点P在该单位圆上按逆时针方向运动到点Q处,若经过的圆弧PQ的长为,则点Q的横坐标为 (　 ) A.- B. C.- D. 6.已知α∈,则+取得最小值时α的值为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则下列结论正确的是 (　 ) A.<θ<π B.sin θcos θ=- C.sin θ-cos θ= D.tan θ=- 8.[2026·兰州大学附中高一期末] 已知<α<,则下列说法正确的是 (　 ) A.tan α= B.若tan α=3,则cos α=- C.若sin αcos α=,则tan α=2 D.tantan=1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.已知角α的终边与单位圆的交点坐标为,则sin(π+α)=　　　　.  10.[2025·北京卷] 已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组α=　　　　,β=　　　　.  11.化简:=　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作角α与β,它们的终边分别与单位圆相交于点A,B. (1)求tan α·tan β的值; (2)求△OAB的面积. 13.(15分)[2026·江苏天一中学高一检测] (1)已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点P,且点P的坐标为,求的值. (2)证明:=. 学科网（北京）股份有限公司 $