5.2.2同角三角函数的基本关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“同角三角函数基本关系”为核心，通过“基础公式应用—sinθ±cosθ型变形—弦的齐次综合”三层递进设计，覆盖从单一运算到推理证明的巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（考点一，3题）|同角三角函数基本公式直接应用|单选为主，如已知cosα求sinα，聚焦概念理解与符号判断| |提升层（考点二，4题）|sinθ±cosθ型化简与求值|含选择与解答，如已知sinx·cosx求cosx-sinx，强化公式变形能力| |综合层（考点三，10题）|弦的齐次式、证明及新定义应用|包含多选、证明题（如恒等式证明）、新定义题（如f(θ)与g(θ)），发展推理与应用意识|

5.2.2　同角三角函数的基本关系 1.D　[解析] ∵α为第四象限角,∴sin α<0,∵cos α=,∴sin α=-=-.故选D. [易错提醒] 求三角函数值时,要注意角所在的象限. 2.A　[解析] 方法一:由可得cos α=±,又α∈,所以cos α=-.故选A. 方法二:由α∈,可知cos α<0,又cos2α===,所以cos α=-.故选A. 3.二或第四　[解析] 因为sin θ=,cos θ=,且sin2θ+cos2θ=1,所以+=1,解得k=0或k=8.若k=0,则sin θ=-,cos θ=,此时θ的终边位于第四象限;若k=8,则sin θ=,cos θ=-,此时θ的终边位于第二象限.所以θ的终边位于第二或第四象限. 4.C　[解析] 由0°<44°<45°,得sin 44°<cos 44°,所以===cos 44°-sin 44°.故选C. 5.B　[解析] 因为<x<,所以cos x<sin x,则cos x-sin x<0,又(cos x-sin x)2=cos2x-2cos xsin x+sin2x=1-2×=,所以cos x-sin x=-.故选B. 6.B　[解析] 由sin x-cos x=两边取平方可得(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,解得sin xcos x=,则sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2×=.故选B. 7.解:sin α+cos α=两边平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-, 所以(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1+=,又0<α<π,所以sin α>0, 又sin αcos α<0,所以cos α<0,所以sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=. 综上,sin α·cos α=-,sin α-cos α=. 8.A　[解析] ==-1.故选A. 9.ABC　[解析] sin2θ===,故A正确;cos2θ-sin2θ===-,故B正确;3sin θcos θ===-,故C正确;cos2θ===,故D错误.故选ABC. 10.-　[解析] 由==1,解得tan θ=-. 11.解:由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ,则tan θ==-2, 所以=====. [思路与方法] 解决齐次式问题的主要方法是化切求值,具体思路如下: (1)已知tan α=m,求和的值,可以分别将分子、分母同时除以cos α和cos2α,将原式化成关于tan α的式子,从而可求值. (2)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可把其看成分母是1的式子,利用“1=sin2α+cos2α”进行代替后,分子、分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可求值. 12.B　[解析] 因为0<sin 10°<cos 10°,所以== ==1.故选B. 13.AD　[解析] 由θ∈(0,π),sin θ-cos θ=>1,得sin θ>0,cos θ<0,则θ∈,故A正确;由sin θ-cos θ=,两边平方可得1-2sin θcos θ=,则2sin θcos θ=-,则sin θ+cos θ=±=±=±=±,当sin θ+cos θ=时,由解得则tan θ==-,当sin θ+cos θ=-时,由解得则tan θ==-,故B,C错误;===sin θcos θ=-,故D正确.故选AD. 14.0　[解析] 由题意知Δ=m2+8>0,且sin θ+cos θ=,sin θcos θ=-,由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,可得m=0,即sin θ+cos θ=0,所以+===sin θ+cos θ=0. 15.证明:(1)cos2α+2sin2α+sin2αtan2α=1+sin2α+=1+(cos2α+sin2α) =1+==. (2)左边==tan2A,右边==(-tan A)2=tan2A=左边. 原等式得证. 16.AD　[解析] 由题知,f(θ)==sin θ+cos θ,g(θ)==sin θ-cos θ.对于A,f+g=sin+cos+sin-cos=2sin=1,故A正确;对于B,f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ,其定义域为R,因为f(-θ)g(-θ)=sin2(-θ)-cos2(-θ)=sin2θ-cos2θ=f(θ)g(θ),所以f(θ)g(θ)为偶函数,故B错误;对于C,由===2,解得tan θ=3,故C错误;对于D,[f(θ)]2+[g(θ)]2=(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2sin2θ+2cos2θ=2,故D正确.故选AD. 17.解:(1)因为sin α+cos α=, 所以(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-. (2)因为0<α<π,sin αcos α=-, 所以sin α>0,cos α<0, 所以+=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α===. (3)由(2)知sin α>0,cos α<0, 所以-=-=-= -=-=-=-=-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2　同角三角函数的基本关系 考点一　同角三角函数公式 1.已知cos α=,且α为第四象限角,则sin α= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.- C. D.- 2.已知α∈,tan α=-3,则cos α= (　 ) A.- B. C.- D. 3.设角θ满足条件则θ的终边位于第　　　　象限.  考点二　sin θ±cos θ型求值问题 4.化简的结果是 (　 ) A.sin 44°+cos 44° B.sin 44°-cos 44° C.cos 44°-sin 44° D.-cos 44°-sin 44° 5.[2026·江苏无锡一中高一质检] 已知sin x·cos x=且<x<,则cos x-sin x的值为 (　 ) A. B.- C. D.- 6.若sin x-cos x=,则sin4x+cos4x= (　 ) A. B. C. D. 7.已知0<α<π,sin α+cos α=,求sin α-cos α及sin α·cos α的值. 考点三　弦的齐次问题 8.[2026·浙江强基联盟高一联考] 已知tan α=3,则= (　 ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 9.(多选题)已知tan θ=-4,则 (　 ) A.sin2θ= B.cos2θ-sin2θ=- C.3sin θcos θ=- D.cos2θ= 10.已知=1,则tan θ=　　　　.  11.已知sin θ+2cos θ=0,求的值. 12.= (　 ) A.-1 B.1 C.sin 10° D.cos 10° 13.已知θ∈(0,π),sin θ-cos θ=,则下列结论正确的是 (　 ) A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.=- 14.已知sin θ,cos θ是方程2x2-mx-1=0的两根,则+=　　　　.  15.证明下列恒等式: (1)cos2α+2sin2α+sin2αtan2α=; (2)=. 16.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点M(a,b),OM=m(m>0),定义f(θ)=,g(θ)=,则 (　 ) A.f+g=1 B.f(θ)g(θ)是奇函数 C.若=2,则tan θ= D.[f(θ)]2+[g(θ)]2=2 17.[2026·武汉二中高一检测] 已知sin α+cos α=,0<α<π. (1)求sin αcos α的值; (2)求+的值; (3)求-的值. 学科网（北京）股份有限公司 $