专题03 特殊平行四边形与全等综合培优题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形与全等综合，通过解题通法引领、题型模版归纳及压轴挑战，系统培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|强调几何综合能力，明晰核心解法|以特殊平行四边形性质为基础，构建全等证明逻辑起点| |题型归纳|3类（菱形/矩形/正方形），每类1典例+3变式|提炼方程思想、分类讨论、数形结合，形成题型模版|从单一图形到综合变换，逐步深化性质应用与全等推理| |压轴挑战|6道综合题|深化多知识点融合，突破复杂图形动态问题|衔接中考命题趋势，整合翻折、旋转等变换，提升综合解题能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3特殊平行四边形与全等综合培优题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 菱形中的全等综合培优题型 题型二、矩形中的全等综合培优题型 题型三、正方形中的全等综合培优题型 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法明晰技心解法，助力能力迁移 特殊平行四边形全等综合培优是初中数学图形压轴题，所有题型均围绕菱形、矩形、正方形展开，解 题贯穿基本底线原则：是几何综合能力。 ◆◆ 夙题型归纳一精讲夹型题法，夺尖解题根基 题型一、菱形中的全等综合培优题型 典例1在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点. 图1 图2 (1)如图1，点G在BC边上时， ①连接BD,则△BDF的形状为-，若AB=2,BF=1,则DF的长是一一 1/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②连接CP,求证：CP⊥PG; (2)如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC.求证：CP⊥PG 【答案】(1)①直角三角形， 3 ②证明：如图，延长GP交CD于H, H 是 的中点， P DE :DP=PF, ,在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC=60°，∠BGF=60°， 、.∠DCB=120°，∠CGF=180°-∠BGF=120°， ∴.LDCB=∠CGF ∴.CD GF .∠HDP=∠GFP, 又：∠DPH=∠GPF,DP=PF, ∴△DPH≌AFPG(ASA) .DH=GF,HP=PG. :△BGF是等边三角形， :BG=GF, :DH=BG. ,在菱形ABCD中，BC=DC, ∴.CH=CG, 又HP=PG, .CP⊥PG; (2)证明：延长GP交AD于E,连接CE,CG 2/64 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， .BCI‖AD,CD=CB,∠ADC=6O°， :△BGF是等边三角形， ·∠GFB=∠ABC=60°，GF=GB, 、.GFBC, ∴.GF IBCI AD ∠EDP=LGFP, 在△DPE和△FPG中， ∠EDP=∠GFP DP=PF ∠DPE=∠FPG' ∴.△DPE≌△FPG(ASA) ∴PE=PG,DE=FG=BG, :在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC=60°，∠GBF=60°， :∠CBG=180°-LABC-∠GBF=60°， ∴.∠CDE=∠CBG, 在△CDE和△CBG中， CD=CB ∠CDE=∠CBG DE=BG .△CDE≌△CBG(SAS) ..CE=CG, .PE =PG, ∴CP⊥PG 3/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)①证明∠DBF=9O°，可知：△BDF是直角三角形：过A作AH L BD于H,先根据等腰三 BH=3 角形的性质和勾股定理求得 得BD的长，根据等边三角形的定义得BF=1,根据勾股定理可得 DF的长： ②延长GP交CD于H,先证 △DPH≌aFPG(SA),得到DH=GF,D=PG,进而可得可得CH=CG 然后可得CP⊥PG: (2)延长GP交DA于点E,连接CE,CG,先证明△DPE≌aFPG,再证得△CDE≌△CBG,进而得到 PE=PG,则CP⊥PG 【详解】(1)解：①连接BD,过A作AH⊥BD于H, 四边形 是菱形， ABCD ∠ABC=60° .∠DBC=30°，AB=AD,∠BAD=120°， :△BGF是等边三角形， ∠GBF=60°，BF=BG=1, ∴.∠DBF=∠DBC+∠GBF=90° ∴△BDF是直角三角形： :∠BAD=120°，AB=AD,AH⊥BD于H, ∴∠BAH=60, BH=DH-BD。 ∴.∠ABH=30°， Rt△ABH中，AB=2, ∴AH=1, :BH=V22-1=3 :BD=2BH=23 4/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得： DF=BD+BF2=(23+=13 ②略 (2)略 题型模版 1.特征：特殊四边形培优问题 2方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式1-1在菱形ABCD中，点G在对角线AC上，点E、F分别在边AB和AD上，连接EG,FG,且 BE=DF 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：EG=FG (2)如图2，延长EG交BC延长线于点K,连接FK交CD于点M,若M为CD中点.求证： AE+2FD=BK. (3)如图3，在(2)的条件下，若AC∥FK,∠BAC-∠BKE=45°，AB=10,求四边形ACKF的面积. 【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，∠BAC=∠DAC,AB=AD, .BE=DF, ∴.AE=AF .AG=AG ∴.△AEG≌△AFG(SAS) ∴.EG=FG. (2)证明：在菱形ABCD中，AD‖BC,AB=BC, M为CD中点， ..DM=CM. ·DF∥CK 5/64 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FKC=∠DFK .'∠CMK=∠FMD ∴.△FMD≌△CMK(AAS) ∴FD=CK .BC+CK BK .AB+FD=BK,AE+BE+FD=BK. BE=FD, ∴.AE+2FD=BK. (3)40 【分析】(1)利用菱形的性质证明△AEG≌△AFG即可； (2)利用菱形的性质证明△FMD≌△CMK即可； (3)取AC中点Q,连接EO,连接EF交AC于点N,由∠BAC-∠BKE=45°及菱形的性质可得 ∠EGF=9O°，△ENG和△FNG均为等腰直角三角形，EN=NG,证明四边形ACKF为平行四边形，得E 为AB中点：再证明△EOG≌△KCG,则得4W=2EN:在RtadEN中，由勾股定理求得4C、FN,即可 求得四边形ACKF的面积. 【详解】(1)证明：略： (2)证明：略： (3)解：如图，取AC中点O,连接E0,连接EF交AC于点N, .'∠BAC-∠BKE=45°，∠BAC=∠BCA, ∴.∠AGE=∠CGK=∠BCA-∠BKE=45 由(1)知△AEG≌△AFG, ∴.∠AGF=∠AGE=45°， 6/64 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EGF=90°， 由(1)AE=AF,∠BAC=∠DAC, ∴EF⊥AC,EN=FN. ∴△ENG和△FNG均为等腰直角三角形，EN=NG ACIl FK,AF II CK, :.四边形ACKF为平行四边形， .AF=CK=DF=AE=BE=AB=5 E为AB中点， ..EQ/BC.BQ-2BC-AE-CK-5.AN=NQ. .'∠EGQ=∠CGK,LQEG=∠GKC, ∴.△EQG≌△KCG(AAS) 0c=6c=c0=40=4N=0=w. 2 在RtAAEN中，∠ANE=90°，EN=2AW, .AE2=AN2+EN2=25, .AN=5 EN=NF=25 AC=45 .Sg边形4Cr=AC·FN=4V5×2V5=40 变式1-2综合与实践 D A D B EC 图1 图2 B 图3 【问题情境】 如图1，在菱形ABCD中，点E在BC边上，AE⊥BC,点F在CD上，AF⊥CD 7/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步探究】 (1)求证：AE=AF. 【深入探究】 (2)将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转得到△ABE',点B,E的对应点分别为点B',E. ①如图2，当线段AB经过点C时，直线B'E'分别与边CD,AD交于点P,O,求证：B'C=DD. ②已知BE=12,CE=1,在旋转过程中，AB交BC于点H,AE所在直线交CD于点K,延长AE交 B'E'于点R,若AH=AK,请在图3中画出示意图并求线段ER的长. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠B=∠D ,AE⊥BC,AF⊥CD, ∴.∠AEB=90°=∠AFD, 在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D ∠AEB=∠AFD AB=AD △ABE≌△ADF(AAS) .AE=AF: (2)①证明：：AC是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC, .AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠AEB=90°， ,将△ABE绕点A逆时针旋转得到△ABE, AB'=AB=AD,∠B'AE'=∠BAE,AE'=AE,∠AE'B'=∠AEB=90°， ÷.∠EAC=∠BAC-∠BAE=∠DAC-∠B'AE'=∠EAg,∠AE'Q=180°-∠AE'B'=180°-∠AEB=∠AEC, 在△AEC和△AEO中， [∠EAC=∠EAQ AE'=AE ∠AEC=∠AE'Q' △AEC≌△AE'Q(ASA) 8/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AC=40, :.AB'-AC=AD-A0, 即B'C=D0, E B H K ② R B 5√2-5 【分析】(1)根据菱形的性质及垂直的定义得AB=AD,∠B=∠D,∠AEB=90°=∠AFD,证明 △ABE≌△ADF(AAS) ,根据全等三角形的性质即可得证： (2)①根据菱形的性质及垂直的定义得AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠AEB=90°，根据旋转的性质得 △AB'E'≌△ABE,继而得到AB'=AB=AD,∠B'AE'=∠BAE,AE'=AE,∠AE'B=∠AEB=90°，证明 AAEC≌△AE'Q(ASA)得AC=A把，即可得证： 得 ②如图，过点A作AF⊥CD于点F,连接AC,∠B=2a,根据菱形的性质及垂直的定义得AB=BC=13, ∠BCA=∠DCA,∠AEB=90°=∠ABC,进一步得AF=AE=√AB-BE=5,∠B1E=90-20 ∠BAC=∠BCA=90-a,∠BAC=90-∠BCA=a,证明△PAC②aE1C(AAS)得∠FAC=∠EAC=a,证 R△4PK≌RaEH(L)得∠FAK=∠EH,推出∠CMK=∠C,根据旋转的性质得△ABE△ABE 继而得到∠BAE'=∠BAE=90°-2a,AE'=AE=5,∠AEB=∠AEB=90°，推出 ∠ARE'=90°-∠RAE'=45°=∠RAE ,然后根据等角对等边及勾股定理得R=VRE+AE=5V ,可得 答案。 9/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)①略： ②解：如图，过点A作AF⊥CD于点F,连接AC,设∠B=2a, D 3 B H K R 由(1)知：AE=AF,∠AFC=90°=∠AFK, :AC是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC,BE=12,CE=1, 、.AB=BC=BE+CE=l3,∠BCA=∠DCA,∠AEB=90°=∠AEC, :AF=AE=VAB2-BE=V132-12=5.∠BAE=90°-∠B=90°-2a ∠BAC=∠BC4=2180°-∠B）=l80°-2a）=90°-a, ∠AEH=∠AEC=90°=∠AFC=∠AFK, ∠EAC=90°-∠BCA=90°-(90°-a)=a 在△FAC和△EAC中， ∠ACE=∠ACF ∠AEC=∠AFC AC=AC △FAC≌△EAC(AAS) ∴.∠FAC=∠EAC=&, 在Rt△AFK和Rt△AEH中， AK=AH AF=AE, 10/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 RtA△AFK≌Rt△AEH(HL) .∠FAK=∠EAH, ∴∠FAK+∠FAC=∠EAH+∠EAC, .∠CAK=LCAH, ,将△ABE绕点A逆时针旋转得到△ABE, 、∠B'AE'=∠BAE=90°-2a,AE'=AE=5,∠AE'B'=∠AEB=90°， .CAK-CAH--2a)-4-a ∴.∠RAE'=∠EAC+∠CAK=a+45°-a=45°， ·.∠ARE'=90°-∠RAE'=45°=∠RAE', .RE'=AE'=5, 4R=VRE+4E-+5=5 ER=AR-AE=52-5 变式1-3在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=30°，以AB为边在其右侧作菱形ABCD,点C在EB的延长 线上 D H G B E B F E B C 图1 图2 图3 AC (1)如图1，连接AC,则AB 2如图2，点F是边BC上一点（不与B,C重合），过点C作CG1DC(C在BC上方)且9 CG=3BF 连接AF,FG. ①求证AF=FG, DH ②如图3，若点F是BC的中点，连接AG交CD于点H,求HC的值. 11/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AF2=FG, 边长为正， .AF=FG: DH 1 ②HC3· 【分析】(1)设BE=a,根据30度角的性质得到AB=2BE=2a,根据勾股定理得到 4E=√8-BE-5,根据菱形的性质得到8C=B=20。即2C=30,根据勾胶定理得到1C=250 AC 即可求出AB的值： (2①设MB=26:F=1,根据30度角的性质得到BE=方4B=b,根据勾股定理得到 AE=NAB2-BE=V5b,即EF=EB+BF=b+t,根据勾股定理得到 AF2=AE2+EF2=(N3b)2+(b+t)2=t2+2bt+4b2 根据三角形外角的性质得到∠ABC=120 ，根据菱形的 性质得到∠DBC=60°，则∠FCG=150°，延长FC,过G作GR⊥FC的延长线于R,则∠GCR=30°，同 理可得FG2=GR+FR2=P+2bt+4b,即可证明AF=FG; ②设4B=2b,则CD=B=2办，可知BF=b,CG=5BF=56,设DH=x,则 HC=CD-DH=2b-x,过A作AK⊥CD交CD延长线于K,根据菱形的性质得到 ∠ADH=∠ABC=120,进而求出∠DAK=30°，根据30度角的性质得到DK=24D=b,则 AK=VAD-DK=V5b,可知4K=CG,KH=b+x,证明 △CHG≌AKHA(AAS ,得到CH=KH,求 DH 出x的值，进而可求HC的值， 13/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：设BE=a, 在Rt△ABE中，∠BAE=30°， .'AB=2BE=2a, AE-VAB-BE=3a 菱形ABCD, BC=AB=2a, :.EC=EB+BC=3a, AC=AE+EC=(a)+3a)-2a 62 2a (2)①略： ②解：设AB=2b,则CD=AB=2b, ,F是BC中点， .BF=b, ,CG=V3·BF=3b 设DH=x,则HC=CD-DH=2b-x, 如图，过A作AK⊥CD交CD延长线于K, K D H G E B F 图3 ,菱形ABCD」 ∴∠ADH=∠ABC=120°， .∠ADK=60°， .∠DAK=30° 14/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在KD中，DK=号D=b, 4K-AD-DK= .AK =CG,KH=b+x, CG⊥DC, ∴.∠HCG=∠K=90°， :∠CHG=∠KHA, △CHG≌△KHA(AAS) :.CH=KH, ..2b-x=b+x, 解得：X2力， :DH=T6.HC-26-16= 3 b 2 DH 1 HC3. 类型二、矩形中的全等综合培优题型 典例2在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E为BC上的动点（不与B,C重合），连接AE,将 △ABE沿AE翻折得△AFE,点B对应点F. G H D B------ B----- E E 图1 图2 图3 (1)如图1，若E为BC中点，求证：AE∥FC: (2)如图2，是否存在点F在矩形ABCD内，使得△CDF是以DF为腰的等腰三角形？若存在，求CE的长： 若不存在，说明理由： 15/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在AD上取点G(不与A,D重合)，将四边形ABEG沿EG翻折，使得点B的对应点F落在 CD上，当点F是DC的三等分点时，求此时线段EF的长. 【答案】(1)证明：“E为BC中点， ..BE=CE, 由翻折性质得：BE=FE、∠AEB=∠AEF, ..FE=CE. ∴.∠EFC=∠ECF, 在△EFC中，∠FEC+2∠CFE=180°， :∠FEC+2∠AEF=180°， ∴∠CFE=∠AEF, .AE∥FC: 2溶在，CE的长为5-片 ⊙2或4-V5 517 3)EF的长为2或8 【分析】(1)根据翻折的性质和等腰三角形的性质易证得∠CFE=∠AEF,从而得出结论： (2)分情况讨论：当DF=DC时：易得到点F在AD的垂直平分线上，取AD中点M,连接FM,过点 F作FN L RC.于点N,由勾股定理求出PM的值，设BE=X,则BN=2- ,在R△EFN中，利用勾股 定理列方程求解CE的值；当DF=CF时：点F在CD的垂直平分线上，取CD中点N,连接FN,过点F 作FP⊥BC于点P、FM⊥AB于点M,同理求出CE的值： (3)设EF=a,由折叠的性质知EB=EF,分两种情况讨论，在RtACEF中，由勾股定理列式即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：由翻折性质得：AF=AB=3、BE=EF、∠AFE=∠B=90°， :四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=3、BC=AD=4, ①当DF=DC时： .DF DC=3. .AF =DF. 16/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.点F在AD的垂直平分线上， 取AD中点M,连接FM,过点F作FN⊥BC于点N, M Bt--- C AM=14D-2 .FM⊥AD 2 在Rt△AFM中，由勾股定理得： FM=AF2-AM2=32-22=5 :ADII BC、AB⊥AD, :FN=AB-FM=3-5 AM=2 ∴.EN=2-BE 设BE=x,则 N=2-x 在Rt△EFN中，EF=BE=x, 由勾股定理得： x2=(x-2}+3-5. 9-3V5 解得x= 2 :CE=BC-BE=4-9-35_35-1 2-2 ②当DF=CF时： ∴点F在CD的垂直平分线上， 取CD中点N,连接FN,过点F作FP⊥BC于点P、FM⊥AB于点M, D B---- .FN⊥CDFN∥BC 17/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FP=4B 3 22、AM=AB-FN=3-3-3 22 3W3 在R△AFM中，由勾股定理： 2, EP= 33 设BB=x,则P2-。 在RtEFP中，由勾殷定理： x=V3 解得 ..CE =BC-BE=4-3 综上所速，C的长为5成4-5： (3)解：设EF=a, 由折叠的性质知EB=EF, ..EB=EF=a,CE=4-EB=4-a, 1 当CF=3CD=l时， 在RtACEF中，由勾股定理得CF2+CE2=EF2, 即'+(4-a}=a2 解得a7 8； 当CF-3CD=2时. 3 在RtACEF中，由勾股定理得CF2+CE2=EF2, 即2+4-a=a2 18/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 解得a= 2 517 综上，线段EF的长为2或8， 1.特征：特殊四边形培优问题 2方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式2-1手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸 ABCD,其中AB=6,BC=4.大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： D B 图1 图2 图3 (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点A与顶点C重合，压出平整折痕EF,然后展平得到图1，请写出四边 形AFCE是什么特殊四边形： (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段AB的中点G，再沿着线段CG向内折叠，使顶 点B落在长方形内部的点B处，连接AB,如图2， ①试判断线段AB'与折痕CG的位置关系，并说明理由， ②求线段AB的长： (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段AD的中点E,沿线段CE折叠卡纸，让顶点D落在点P处，连接EP并延 长，交边AB于点F.展平后再次折叠纸片得到EG∥PC,如图3，请直接写出AF的长。 【答案】(1)四边形AFCE是菱形 (2)①位置关系：AB∥CG,理由如下： 连接BB交CG于点E,如图， 19/64 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B G 由翻折可知：CG垂直平分BB', BE=BE,BB⊥CG, :点G为AB的中点， ∴GE是△ABB的中位线， ∴.GE∥AB,即AB'∥CG: 18 ②线段AB的长为5： 间4r月 【分析】(I)连接AE,CF,设EF与AC交于点O,由翻折可知AE=CE,AF=CF,EF是AC的垂 直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AO=CO,EF⊥AC,由矩形的性质可得AB∥CD,推出 ∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA,证明 △COE≌△AOF(AAS 得出OE=OF,即可得证： (2)①连接BB交CG于点E,由翻折可知CG垂直平分BB,由线段垂直平分线的性质可得BE=BE, BB⊥CG,证明GE是△ABB'的中位线，得出GE∥AB,即可得解：②根据①可求出BG=3,由勾股定 里可得C-5:由等丙积状来业E-片，得出8 5,最后再由勾股定理计算即可得解： (3)延长CD交FE的延长线于点K,则ED=EP,∠EPC=∠EDC=90°，DC=PC,∠DCE=∠PCE, 根据矩形的性质即可证明 DEK≌a1EF(ASA),有DK=AF,结合平行线的性质得到∠GBC=∠DCE. 即有GE=GC,设GE=GC=x,则DG=6-x,利用勾股定理EG2=ED'+DG,求得x和DG,设 DK=a则KE2=a+4和KG=a+ 3,在△KEG中，利用勾股定理KE2+EG=KG2求得a即可： 【详解】(1)解：如图，连接AE,CF,设EF与AC交于点O, 20/64 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 由翻折可知：AE=CE,AF=CF,EF是AC的垂直平分线， 即有AO=CO,EF⊥AC, :四边形ABCD是矩形， AB∥CD. ∴.∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA, △COE≌△AOF(AAS) ..OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形， 又：AE=CE, ∴，四边形AECF是菱形： (2)解：①略 ②如图， D B 由①可知：BB=2BE,BB⊥CG, 在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=4, ,点G为AB的中点， :BG=)AB=3, 2 在RIACBG中，CG=VBC2+BG2=V④+3=5 21/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE-BG.BC_3x4 12 CG -5-5 :BB=2BE=24 , 又，AB'∥CG,CG⊥BB, AB⊥BB', :1B9=AB2-8B=6 25, .:4B'18 5: (3)解：延长CD交FE的延长线于点K,如图， G F B 则ED=EP,∠EPC=∠EDC=90°，DC=PC,∠DCE=∠PCE, ,四边形ABCD是矩形， .∠KDE=∠FAE=90°， 点E为线段AD的中点， ∴，ED=EA, ,∠DEK=∠AEF, △DEK≌△AEF(ASA) ∴DK=AF, ,EG∥PC, ∴.∠GEC=∠ECP. 由折叠得∠ECD=∠ECP, ∴.∠GEC=∠DCE, 则GE=GC, 22/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设GE=GC=x, ,AB=6 .'.DG=DC-CG=AB-CG=6-x, :BC=AD=4,点E为线段AD的中点， ∴.ED=2, .EG2=ED2+DG2, r=2+6- 解得ts10 , 则DG=6-108 33, 设DK=a则KE=DK'+DB=a+4KG=KD+DG=a+ .EG∥PC,∠EPC=90°， .∠KEG=90°， 在△KEG中，KE2+EG=KG2, r4g-er. 解得a 2, 则F=DK 2 变式2-2在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,点P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位 置（点B落在点E处）· (1)【问题解决】如图①，当点E落在边CD上时，可求得CE的长为 23/64 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① (2)【尝试应用】如图②，PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE, G ------B 图② ①求证：GF=PF: ②求BP的长 (3)【拓展提升】如图③，点O为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿C卫翻折，点B恰好落在直线D0上的 点B'处，直接写出B的长。 D C B A 图③ 【答案】(1)1 (2)①证明：四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°， 由翻折的性质知，∠E=∠B、BP=EP, .∠E=LC, 在△EFG和△CFP中， ∠E=∠C EF=CF ∠EFG=∠CFP' 24/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△EFG≌aCFP(A,S,A) :.GF=PF: 5 ②7 BO 19 3)的长为或 【分析】(1)由矩形的性质可得AD=BC=3、∠D=90°，利用折叠的性质可得AE=AB=5,再运用勾 股定理求解即可； △EFG≌ACFP(ASA) (2)①由矩形的性质、折叠的性质证明 ,再利用全等三角形的性质即可证明结论：② 设BP=EP=x,则GE=PC=3-x,进而得到DG=5-x、AG=x+2,再在Rt△ADG中，利用勾股定理 列方程求解即可： (3)分点Q在线段AB上和点Q在线段BA的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾 股定理求解即可. 【详解】(1)解：四边形ABCD是矩形， .AD=BC=3,CD=AB=5,∠D=90°， :将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， :AE=AB=5, 在R△MDE中，DE=VAE2-AD=S-3=4 :.CE=CD-DE=5-4=1 (2)①略 ②解：△EFG≌△CFP, ..GE=CP, 设BP=EP=x,则GE=PC=3-x, ..GC=GF+FC=PF+EF=EP=x. :.DG=CD-GC=5-x AG=AE-GE=5-(3-x)=x+2 在RtAADG中，AG2=AD+DG2, 25/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32+(5-x)}2=(x+2)2 15 解得：x=7, ..BP=15 7· (3)BQ的长为1或9 解：分两种情况讨论： 情况1：当点Q在线段AB上时，如图所示： D B B 由翻折的性质知，∠CQB=∠CQB'、B'C=BC=3、BQ=B'Q、∠CB'Q=∠B=-90°， ∴.∠CB'D=90° ~四边形ABCD是矩形， .CD∥AB ∴∠DCQ=∠CQB, .∠DCQ=LCQD, ∴QD=CD=5 .DB=VCD2-B'C2=V52-32=4 BQ=B'Q=QD-DB'=5-4=1: 情况2：当点Q在线段BA的延长线上时，如图所示： 26/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D B 由翻折的性质知，B'C=BC=3、BQ=B'Q、∠B'=∠B=90°， .DB'=VCD2-B'C2=V52-32=4 设B0=B'0=x,则D0=x-4、A0=QB-AB=x-5, ∠BAD=90° .∠DAQ=90° t△AD0QD2=AD2+AQ2 在 中 ·32+(x-5)}=(x-4 ,解得：x=9,即B0=9, 综上，BO的长为1或9 变式2-3如图1，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点P是边AD上一动点，连接BP,将△ABP沿BP 翻折，点A落在点E处，直线BE与直线CD交于点F. A G 图1 图2 备用图 (1)当点E落在CD边上时，求AP的长度； (2)如图2，在四边形ABEP中，G、H、1、J分别是边AB、BE、EPPA的中点，求证：四边形GHW是一 个矩形： (3)点P在边AD上运动过程中，是否存在线段AP与线段DF相等的情况？若存在，请直接写出线段AP的 长度：若不存在，请说明理由. 27/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 【答案】(1) (2)证明：如下图，连接AE, H 由折叠可知，AP=EP,BA=BE, ∴，BP垂直平分AE,即BP⊥AE, G、H分别是边AB、BE的中点， ∴.GH为△ABE的中位线， &GH=)AE,GH∥AE. 同理可符W=5AC,U∥AC, GH=J,GH∥J、 “四边形GHW为平行四边形， :G、J分别是边AB、PA的中点， ∴.GJ为△ABP的中位线， GJ∥PB, GH∥AE,BP⊥AE, ∴.GJ⊥GH, .∠JGH=90°， “四边形GHW是一个矩形： 1010 3)存在，线段4P的长度为3或7 【分析】(1)首先根据矩形的性质可得AD=BC=4,AB=CD=5,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，再由折 叠可知，BE=AB=5,AP=EP,在RtABCE中，由勾股定理解得CE的长度，进而可得DE=CD-CE=2, 28/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AP=EP=x,则PD=4-x,在Rt△PDE中，由勾股定理解得x的值，即可获得答案； (2)连接AE,易得BP垂直平分AE,再根据三角形中位线的性质可得GH=D,GH∥W,进而证明四边 形GHW为平行四边形：再证明∠GH=90°，即可证明结论： (3)分点F在AD下方和点F在AD上方两种情况，分别求解即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=4, AD=BC=4,AB=CD=5,∠A=∠ABC=LC=∠D=90°， 由折叠可知，BE=AB=5,AP=EP」 ∴在RtBCE中，CE=VBE2-BC2=VS-4=3 ∴DE=CD-CE=5-3=2, 设AP=EP=x,则PD=AD-AP=4-x, 在Rt△PDE中，可得PD+DE2=PE2, 5 “(4-x}+2=x2,解得x=2, :P=5 2: (2)略 (3)解：分两种情况讨论： 情况1，当点F在AD下方时，如下图，连接PF, B 由折叠可知，AP=PE,∠E=∠A=90°=∠D, .AP=DF, ∴.PE=DF, 又，PF=FP, 29/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 RtePDF≌Rt△FEP(HL) .PD=FE. 设AP=x,则DF=AP=x, .FE=PD=4-x,CF=5-x, BF=BE-FE=5-(4-x)=x+1 在Rt△BCF中，可得BC2+CF2=BF2, 10 ·42+(5-x=(x+,解得x=3, 10 ∴线段AP的长度为3： 情况2，当点F在AD上方时，如下图，连接PF, D 由折叠可知，AP=PE,∠PEB=∠A=90°， .∠PEF=180°-∠PEB=90°，∠ADF=180°-∠ADC=180°-90°=90° ∴∠PEF=∠ADF, .AP=DF, ∴PE=DF, 又：PF=FP, RtAPEF≌Rt△FDP(HL) ∴PD=FE 设AP=y,则DF=AP=y, ..FE=PD=4-y,CF=CD+DF=5+y, BF=BE+FE=5+(4-y)=9-y 30/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BCF中，可得BC2+CF2=BF2, 10 .4+(5+y2=(9-y)2,解得y=7, 10 ∴线段AP的长度为7· 1010 综上所述，线段P的长度为3或7· 题型三、正方形中的全等综合培优题型 典例3矩形ABCD中，AB=AD,E为AB上一点，过D作DF⊥DE交BC的延长线于点F D B C B C 图1 图2 图3 (1)若n=1,求证：CF=AE; (2)若n=2,判断CF与AE的数量关系，说明理由： (3)若n=2,AB=4,连接BD,若DB平分∠EDF,求AE的长. 【答案】(1)证明：当n=1时，AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形， .AD=CD,∠A=∠BCD=∠ADC=90°， .∠DCF=180°-∠BCD=90°， ∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， ∴.∠A=∠DCF ,DF⊥DE, 、∠EDF=90°，即∠CDF+∠EDC=90°， ∠ADE=∠CDF, △ADE≌ACDF(ASA) 31/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AE=CF (2)解：CF=2AE,理由如下 分别取CD、CF的中点M、,连接MN. D 图2 则MN∥DF, ∴.LCMN=∠CDF ,四边形ABCD为矩形，n=2, .CD=AB=2AD. M为CD的中点， ..CD=2CM, ∴.CM=AD ,四边形ABCD是矩形， :.∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCF=90°， ∴.∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， :DE⊥DF,即∠CDF+∠EDC=90°， ∴.∠ADE=∠CDF, .∠ADE=∠CMN. △ADE≌ACMN(ASA) ∴.AE=CN. N为CF的中点， ∴CF=2CN=2AE e房 【分析】(1)当n=1时，AB=AD,则矩形ABCD是正方形，得到AD=CD, 32/64 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠BCD=∠ADC=9O°，证得∠A=∠DCF,根据同角的余角相等得到∠ADE=∠CDF,从而可得 △ADE≌△CDF(AS4）,即可证明， (2)分别取CD、CF的中点MN,连接MN,根据三角形的中位线定理得到∠CMN=∠CDF.当n=2 时CD=AB=2AD,由M为CD的中点得到CD=2CM,从而CM=AD.根据矩形的性质得到 ∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCF=90°，根据同角的余角相等得到∠ADE=∠CDF,因此∠ADE=∠CMN, △ADE≌ACMN(ASA) 从而证得 即可得出CF=2CW=2AE (3)方法一：过B作BG1DE交其延长线于G,作BH⊥DF于H,则∠G=∠BHD=∠BHF=90°，结合 DF⊥DE得到四边形DGBH是矩形，因此∠GBH=90°，根据同角的余角相等得到∠GBE=∠HBF,根据 角平分线的性质得到BG=BH,因 △BGE≌BHF(ASA）,可得BE=BF,设4E=X,则 BE=AB-AE=4-x,CF=2AE=2x,BF=BC+CF=2+2x,根据BE=BF列出方程，求解即可； 方法二：过点B作BP⊥BD,交DF的延长线于点P,则∠DBP=9O°.由角平分线的定义得到 ∠EDB=∠BDF= 2∠EDF=45°，因此∠P=∠EDB,从而DB=BP:根据同角的余角相等得到 ∠EBD=∠FBP,即可证明 EBD≌AFBP(ASA) 得到EB=BF.同方法一求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：方法一： 过B作BG⊥DE交其延长线于G,作BH⊥DF于H,则∠G=∠BHD=∠BHF=9O°， B 图3 ,DF⊥DE, 33/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EDF=90°， ∴四边形DGBH是矩形， .∠GBH=90° .∠GBE+∠EBH=90°， ,在矩形ABCD中，∠ABC=90°， .∠HBF+∠ABH=90°， ∴.∠GBE=∠HBF ,DB平分∠EDF,BG⊥DG,BH⊥DF, .BG=BH, △BGE≌△BHF(ASA) .BE =BF. 设AE=x, ,AB=4, .'BE=AB-AE=4-x, 由(2)可得，CF=2AE=2x, AB=2AD=2BC=4, .'BC=2 ∴BF=BC+CF=2+2x, 由8E=BF,得4-X=2+2x:解得x=子 3 :4AE=2 3 方法二： 过点B作BP⊥BD,交DF的延长线于点P,则∠DBP=9O°， 34/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E --P 图3 DE⊥DF, .∠EDF=90°， DB平分∠EDF, A∠EDB=∠BDF=)∠EDF=45°， :∠P=180°-∠DBP-∠BDF=180°-90°-45°=45°， ∴.∠P=∠EDB, .'DB=BP. ,在矩形ABCD中，∠ABC=90°，即∠EBD+∠DBF=90°， :∠PBF+∠DBF=∠PBD=90°， .∠EBD=∠FBP, ,△EBD≌△FBP(ASA) ∴EB=BF, 设AE=x, .AB=4, ∴.BE=AB-AE=4-x, 由(2)可得，CF=2AE=2x. ..AB=2AD=2BC=4, .BC=2, .BF BC+CF=2+2x, 2 由BE=BF,得4-x=2+2x,解得x= 3, 35/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 .AE= 3· 题型模版 1.特征：特殊四边形培优问题. 2方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式3-1在正方形ABCD中，F是BC边上一点，PF⊥AF,且PF=AF. 图1 图2 备用图 (1)如图1，过点P作PE⊥BC于点E,求证：PE=CE: (2)如图2，连接BD,AP交于点G,求证：AG=PG: (3)在(2)的条件下，若FC=4,BG=42,请直接写出AF的长. 【答案】(1)证明：正方形ABCD,PF⊥AF,PE⊥BC, ·AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠AFP=∠PEF=90°， ∴.∠AFB+LBAF=90°=∠AFB+∠PFE, ∴∠BAF=∠PFE, .PF=AF, △ABF≌△FEP(AAS) ∴.BF=PE,AB=FE, ∴BC=BF+FC=FE=FC+CE, ∴BF=CE, .PE=CE (2证明：如图，连接CG,PC,过点P作PE⊥BC于点E, D G 36/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)得：PE=CE, .LPCE=LCPE=45°， :四边形ABCD是正方形， .∠ABD=∠CBD=45,AB=BC, .∠CBD=∠PCE=45°， ∴.PC∥BD. .∠BGC=∠GCP,∠BGA=∠CPG, ,AB=BC,∠ABD=∠CBD,BG=BG, △ABG≌ACBG(SAS) ∴.AG=CG,∠BGA=∠BGC, ∴∠PCG=∠CPG. ..GC=GP, ...AG=PG: B)F=20 【分析】(1)根据正方形的性质证明△MBF≌aFEP(AAS ,即可得证： (2)连接CG,PC,过点P作PE⊥BC于点B,根据正方形的性质证 △ABG≌△CBG(SAS) 即可得证： (3)连接GF,GC,过点G作GM⊥BC于点M,作GN⊥AB于点N,根据正方形的判定与性质，勾股定 理，即可解答 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，连接GF,GC,过点G作GM⊥BC于点M,作GN⊥AB于点N, 由(2)得AG=CG=PG,AF⊥PF,PF=AF, 37/64 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·FG⊥AP FG-AG-PG-1AP ..FG=CG. .GM⊥BC, FM =CM=FC=2, ∠ABC=90°，GM⊥BC,GN⊥AB, ∴.四边形NBMG为矩形：∠ABD=∠CBD=45°， ..GN=GM, ∴.四边形NBMG为正方形， BG=2GM=42, GM=4, :FG=2+4=2W5 :1G=FG=2W5 ÷1F=VAG2+FG2=2Ni0 变式3-2在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE,将△AED沿AE翻折得到△AEF,连接BF并 延长交CD于点G D E B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AF=BF,求证：FG=EG: EF (2)如图2，若F为BG的中点，求AE的值： 3)如图3，连接CF,若CF⊥BG,AB=6,直接写出DE的长. 38/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：如图1， D E B 图1 ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB=DC=BC,∠D=∠BAD=90°， 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠DEA=∠AEF,∠D=∠AFE=90°， AF=BF, .'AF BF =AB, .△ABF是等边三角形， .∠AFB=∠BAF=60°， ∴.∠FAD=∠BAD-∠BAF=30°，∠GFE=180°-∠AFE-∠BAF=30°， ∠DEF=360°-∠AFE-∠DAF-∠D=150°， .∠GEF=180°-∠DEF=30°， ∴.∠GFE=∠GEF, .'.FG=EG 1 (2)2 (3)2 【分析】(I)根据四边形ABCD是正方形，结合折叠性质证明△ABF是等边三角形，根据等边三角形性 质求出∠FAD=30°，∠GFE=30°，∠DEF=150°，进一步求出∠GEF等于30度，即可得∠GFE=∠GEF 再根据等角对等边即可证明FG=EG (2)根据四边形ABCD是正方形，即可得CD=AB,∠ABC=∠DCB=9O°，结合直角三角形斜边中线的 性质得CF-BF=FG-BG,可证明△1BF≌DCF(4S),即可得AF=DF,再根据折叠性质即可证明 △ADF是等边三角形，根据等边三角形性质求出∠DAE=∠EAF=30°，再根据30度角的直角三角形性质 39/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF 即可得AE的值. (3)延长EF交BC于M,连接AM交BF于N,根据折叠性质、结合四边形ABCD是正方形，即可证明 Rt△ABM≌Rt△AFM(HL ,根据全等性质得∠CBF=∠MFB,再根据CF⊥BG,结合余角性质得 ∠BCF=∠CFM, 等角对等边得MF=MC,结合已知条件得MF=MC=BM三一BC3设DE 用x的代数式表示出EF、EM、EC,在直角三角形MCE中，根据勾股定理列方程，解出即可得DE的长 【详解】(1)略. (2)解：如图2， B 图2 连接CF,DF, :F为BG的中点，△BCG是直角三角形， CF=BF-FG=IBG ∴.∠FBC=∠FCB, ,四边形ABCD是正方形， .CD=AB,∠ABC=∠DCB=90°， ,∠ABC-∠FBC=∠DCB-∠FCB, .∠ABF=∠DCF, ÷△1 BF2DCF(SMS) .AF=DF, 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠D=∠AFE=90°， 40/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AD=AF DF, .△ADF是等边三角形， .∠DAF=60°. .∠DAE=∠EAF=30°， EF 1 AE2 EF 4E的值为2： (3)解：如图3， G B M 图3 延长EF交BC于M,连接AM交BF于N,则：∠AFM=90°， 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠D=∠AFE=∠ABM=90°， DE EF, :四边形ABCD是正方形，AB=6, ∴AD=AB=DC=BC=6,∠ABC=∠DCB=90°， AB=AF,AM=AM, Rt△ABM≌RtAAFM(HL) .BM =MF, ·∠CBF=∠MFB, :CF⊥BG .∠CFB=90°， ∴.∠BCF+∠CBF=90°，∠CFM+∠MFB=90° 41/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCF=∠CFM, :.MF=MC, ÷.MF=MC=BM, M是BC的中点， :.MF-MC-BM-1BC=3 DE=x,DE=EF=x,EM=MF+EF=3+x,EC=DC-DE=6-x, 在直角三角形MCE中，根据勾股定理得：MC2+EC2-EM2, :3+6-=(B+列，解得：x=2。 .DE=2, ∴DE的长为2. 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键， ◆◆ ◆◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，定致思维上保 1,如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,以CE、CF为 邻边作平行四边形ECFG B 图1 图2 图3 (1)求证：平行四边形ECFG是菱形： (2)若∠ABC=120°，连接BG、CG、DG, 求证：①∠ECG=60°： ②△DGB是等边三角形. 42/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若∠ABC=90°，AB=8，,AD=14,M是EF中点，直接写出DM的长. 【答案】(1) 证明：，AF平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF, :四边形ABCD是平行四边形， ADIBC,AB∥DC, ∴.∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE ∴∠CEF=∠CFE, ∴.CE=CF, ,四边形ECFG是平行四边形， ∴平行四边形ECFG是菱形. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 、AB∥DC,AB=DC,AD=BC, ∠ABC=120°， .∠BCD=60°，∠BCF=120°. 由(1)得，四边形ECFG是菱形， CE=GE ∠BCG=∠BCF=60° 21 ∴.△ECG是等边三角形， ∴∠ECG=60° ②：∠BCD=60°，∠ECG=60° ∴.∠DCG=∠BCD+∠ECG=120°， ,EG∥DF. .∠BEG=120°， ∴.∠BEG=∠DCG, :AE为∠BAD的角平分线， ∠DAE=∠BAE, :AD川BC, 43/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=∠AEB, .∠BAF=∠AEB, ∴AB=BE, .DC=BE, △DGC≌△BGE(SAS) ∴BG=DG,∠BGE=∠DGC, ·.LBGD=∠CGE. .∠CGE=60°， ∴∠DGB=60° .△DGB是等边三角形. 9)30 【分析】(1)根据角平分线证明∠BAF=∠DAF,进而证明四边形ABCD平行四边形，进而即可求证； (2)①由(1)得，四边形ECFG是菱形，进而判定△ECG是等边三角形，即可解答；②根据题意 BG=DG,∠BGD=60°，进而判定△BGD是等边三角形： (3)连接BM,BD,MC,判定四边形ABCD是矩形，进而判定四边形ECFG是正方形，进而证明 △BME≌△DMC,证明△BMD是等腰直角三角形，从而求解： 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：连接BM,BD,MC, D ,∠ABC=90°， ∴，四边形ABCD是矩形， ∴.∠BCD=90° 44/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ECF=90°， ,四边形ECFG是菱形， .四边形ECFG是正方形， ,AF平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF=45°. ∴.BE=AB=DC, :点M为EF的中点， ∴.∠CEM=∠ECM=45° .EM=CM,∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME和△DMC中 BE=CD ∠BEM=∠DCM EM=CM △BME≌△DMC(SAS) ∴.MB=MD,∠DMC=∠BME ∴.∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴，△BMD是等腰直角三角形， AB=8,AD=14, BD=2V65 :0w-20=0 2.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC,BD交于点O,分别在AB,CD上取点E,F,使得 CF=2BE,连结AF,取AF中点G,连结EG. 45/64 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D G E B B 图1 图2 OB ()求4B的值. (2)判断EG与BD的数量和位置关系，并说明理由. (3)如图2，作EP⊥AF,分别交AF,AC于点P,Q,若PG=PO,AB=4,求CF的长. OB 1 【答案】()AB 2 (2)结论： EG/BD,EG=)BD,理由： 连接G0 D 四边形 是菱形，对角线、 互相平分， E 图1 ABCD AC BD ..A0=CO 又：G是AF的中点，即AG=FG, ∴GO是△ACF的中位线， GO∥CF, ABCD ABICD 中 E AB F CD 菱形 ，点在上，点在上， ∴.BE∥CF . :CF=2BE,即BE= ∴.GO=BE,且GO∥BE 46/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形BEGO是平行四边形， EG∥BO.EG=BO BD=2B0,即B0=BD 2 .EG//BD. EG=-BD B,6-25 【分析】(1)借助菱形邻边相等、对角线互相垂直平分、同旁内角互补的性质，由∠ABC=120°推出 ∠BD=60,定。1BD是等边三角形，得到BDAB:又因为08-BD,等量代换后即可求出侣的 OB 比值. 2)连接c0:利用G、0分别为P~4C中点，得到G0是A4CF中位线，得到G0平行且等于CP, 结合CF=2BE推得G0平行且等于BE,证出四边形BEGO是平行四边形，得到EG平行且等于BO,再根 据80=BD,推导出EG与BD的位置和数量关系。 (3)由(2)结论得到EG∥BD,结合菱形对角线互相垂直推出EG⊥AC,结合EP⊥AF、PG=PO, 证明△PAQ≌aPEG,得出4AP=EP,判定△APE为等腰直角三角形，得到∠FAB=45°：先计算菱形对角线 AC长度，过A作AH1CD,利用平行线性质得到△AHF为等腰直角三角形，求出HC与HF的长度，通 过CF=HC-HF计算出CF的长。 【详解】(1)解：·四边形ABCD是菱形， AB=AD'ADI‖BC,AC⊥BDOB=)BD 2 ∠ABC=120°， ∴.∠BAD=180°-∠ABC=180°-120°=60° △ABD是等边三角形，BD=AB. 1 OB=2B 47/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB 1 AB-2. (2)略 (3)解：，EG∥BD,AC⊥BD EG⊥AO ,EP⊥AF,PG=PQ 、.∠PA0+∠AGE=90°，∠AGE+∠PEG=90 ∴∠PAQ=∠PEG 在△PAO和△PEG中： ∠APQ=∠EPG=90° ∠PAQ=∠PEG PO=PG ∴.APAQ≌△PEG(AAS) .AP=EP. 又'EP⊥AF, △APE为等腰直角三角形，∠PAE=45°，即∠FAB=45°. 过点A作AH⊥CD,交CD延长线于H. H D 菱形边长 B AB=4 .AB=BC=CD=AD=4 :∠ABC=120°， ∠BCD=60°， ∠ACD=∠BCD=30 在RtCOD中，0D=)CD=2 2 48/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得0C=VCD2-0D=V4-2=2V5 .AC=20C=45 在Rt△ACH中，∠ACH=30°」 AH=.4C=×45=25 HC=√AC2-AH=V(4W3)2-(232=6 :AB∥CD ∴∠AFH=∠FAB=45°， ∴△AHF HF=AH=23 是等腰直角三角形， ∴.CF=HC-HF=6-25 3.如图，点F,G,H都在矩形ABCD的对角线AC上，点E为矩形ABCD内部一点，连接ED,EF, EH,EG,DG,若EF∥AD,EF=EG,EH=ED,∠FEG=∠HED. H G (1)求证：GE平分∠AGD； FH (2)求4C的值： AD 4 DH 3)连接DH,若AF=HG,CD3,直接写出FH的值. 【答案】(1)证明：：∠FEG=∠HED ∴.∠FEG-∠HEG=∠HED-∠HEG. :.∠FEH=∠GED, EF=EG,EH=ED, 49/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AFEH≌aGED(SAS) ∴.∠EFH=∠EGD. .EF=EG. ∠EFH=∠EGF, ∴.∠EGD=∠EGF, .GE平分∠AGD: FH 1 2)4C2 24 3)25 FEH≌aGED(SAS 【分析】(1)先证明 得出∠EFH=∠BGD,再结合等边对等角得出∠EFH=∠EGF 进而可得∠EGD=∠EGF,即可得证： (②)连接0与AC相交于点0由矩形的性质可得40=D0-4C,证明出DG:D0:由(A)可代 2 △FEH≌aGED,从而可得FH=DG,即可得出结果： )设4D=4k,则CD=3,BD=4C=5,连接BD,与4C相交于点O,则0A=0D.由之 得0D=DG,H=)4c=必 2 兰，证明出OH=HG,则DH1OG,由勾股定理计算得出0H石， D1号。即可得出结果 【详解】(1)略： (2)解：连接BD,与AC相交于点O,如图： D 四边形 是矩形， H C ABCD ∴.AC与BD相等且互相平分， 50/64 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :A0=D0=2AC ∠OAD=∠ODA, .∠DOC=2∠OAD, :EF∥AD, ∴.∠EFH=∠OAD. ∠DGF=2LEGF=2LEFH, ∴∠DOC=∠DGF, :.DG=DO. △FEH≌aGED, ∴.FH=DG. FH 1 AC2: AD 4 (3)解：CD3, ∴设AD=4k,则CD=3k, BD=AC=AD2+CD2=5k 连接BD,与AC相交于点O,如图： :0A=0D= 2, 由(2)可得OD=DG,H=)4C= 2 2, ∴.AO-FO=FH-FO, .'AF=OH, AF=HG. 51/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.OH=HG, ..OD=DG, .DH⊥OG, DH2=OD:-OH DH2=AD:-AH2=AD:-(4O+OH) OD2-OH2=AD2-(A0+0H)2 (-om-(4-(5+om 1k 解得01= :DH=JoD-on DH 水 24 .FH 25 2 4.实践与探究 数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动：如图1，矩形纸片ABCD 中，AB=6,BC=10,点E在CD边上.将纸片沿着直线BE折叠，点C的对应点记为点F;再沿着过点 B的直线折叠矩形纸片，使AB边恰好落在直线BF上，得到的折痕与AD交于点G,点A的对应点记为点 H. G D D H H 图1 图2 图3 备用图 【操作发现】 (1)∠GBE的度数为_°： 52/64 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步探究】 (2)如图2，若点F恰好落在AD边上，求GF的长： 【迁移延伸】 (3)如图3，延长EF,BG交于点P,点E在CD边上运动时（点E不与点C重合）： ①判断点P到AD的距离是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出点P到AD的距离： ②直接写出点P到直线AB的最小距离. 【答案】(1)45 (25 (3)①点P到AD的距离不变，为定值4：理由如下： 如图所示，过点P作PS⊥AD于点S,PK⊥BA交BA的延长线于点K, B .∠PKA=∠PSA=90°： :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠C=90°， ∴.∠KAS=180°-∠BAD=90°， 四边形AKPS是矩形， ..PS=AK: 由折叠的性质可得BF=BC=10,∠PBK=∠PBF,∠BFE=∠C=90°， .∠BFP=180°-∠BFE=90°， ∴.∠PKB=∠PFB, 又：BP=BP △PBK≌△PBF(AAS) ..BK=BF=10 53/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AK=BK-AB=4, .PS=4, ∴.点P到AD的距离不变，为定值4： @ 【分析】(1)由折叠的性质可得∠ABG=∠HBG,∠FBE=∠CBE,由矩形的性质得到 ∠ABG+∠HBG+∠FBE+∠CBE=90°，即可求出∠HBG+∠FBE=45°，即∠GBE=45°： (2)由矩形的性质得到∠A=∠D=90°，由折叠的性质可得BH=AB=6,BF=BC=10, ∠BHG=∠A=90°，4G=HG,则可求出∠GF=90,F=4 由勾股定理得1F=VBF2-AB=8 设GF=x,则4G=HG=8-x,由勾股定理得=(8-+4 解方程即可得到答案： (3)过点P作PS⊥AD于点S,PK⊥BA交BA的延长线于点K,证明四边形AKPS是矩形，得到 PS=AK;由折叠的性质可得BF=BC=10,∠PBK=∠PBF,∠BFE=∠C=90°，证明△PBK≌△PBF, 得到BK=BF=10,则可求出PS=4,故点P到AD的距离不变，为定值4：②可证明当点B运动到点D 时，此时PK有最小值，即此时点P到直线AB的距离有最小值；设AS=PK=PF=t,则 DS=10-4,PD=6+,由勾股定理行(6+=4+(0-，解方程即可得到答案 【详解】(1)解：由折叠的性质可得∠ABG=∠HBG,∠FBE=∠CBE, ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°， .∠ABG+∠HBG+∠FBE+∠CBE=90°， .∠HBG+∠FBE=45°，即∠GBE=45°： (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， 由折叠的性质可得BH=AB=6,BF=BC=10,∠BHG=∠A=90°，AG=HG, 54/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、.∠GHF=180°-90°=90°，HF=BF-BH=4: 在RtABF 中，由勾股定理得4F=VBF2-AB=8 设GF=x,则AG=HG=8-x, 在Rt△HGF中，由勾股定理得GF=GH+HF2, =8-x+4 解得x=5, GF=5: (3)解：①略： ②如图3-1所示， D G 图3-1 由(3)①得点P到AD的距离为4， ∴.点P在过点K且与AD平行的直线上运动： 由(1)可得∠PBE=45°， ,当点E从点C向点D运动过程中，∠CBE变大， ∴当点E从点C向点D运动过程中，∠CBP变大， ∴，当点E从点C向点D运动过程中，点P会越来越靠近点K, 当点E运动到点D时，此时PK有最小值，即此时点P到直线AB的距离有最小值： 如图3-2所示，当点E与点D重合时， 55/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D(E) 图3-2 ,四边形ABCD是矩形， ..CD=AB=6,AD=BC=10 由折叠的性质可得DF=CD=6, 由(3)①得△PBK≌△PBF,四边形AKPS是矩形，PS=4, .AS=PK=PF, 设AS=PK=PF=t,则DS=10-t,PD=6+t, 在RtAPSD中，由勾股定理得PD2=PS2+DS2, :(6+)=42+10-}2 解相。 5 ∴点P到直线4B的最小距离为2： 5.如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD上的点，连接AF,作EH⊥AF于点H,延 长EH交边AD于点G. G G G A D D B B B E E 图1 图2 备用图 (1)判断∠AFD与∠GEC的数量关系，并说明理由； 56/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若CE=CF,连接CH,判断线段EH,FH,CH的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，若AG=2,DG=1,则CH的长为_ 【答案】(L)∠AFD=∠GEC,理由如下： :四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°， ,EH⊥AF于点H, ∴.∠EHF=∠FHG=90° .∠GEC+∠CFH=360°-∠BCD-∠EHF=180°， :∠AFD+∠CFH=180°， :.∠AFD=LGEC; (2)H+FH-CH 理由如下： 如图2，作CI⊥EG于点I,CL⊥AF交AF的延长线于点L,则∠CIE=∠L=90°， G D B E 图2 :∠AFD=∠CEI,∠AFD=∠CFL, ∴∠CEI=∠CFL, 在△CEI和△CFL中， 「∠CIE=∠L ∠CEI=∠CFL CE=CF △CEI≌ACFL(AAS) ∴.EI=FL,CI=CL, ,∠CH=∠IHL=∠L=90°， ∴四边形CIHL是矩形， 57/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CI=CL, ·四边形CHL是正方形， .Hl=HL=CL」 .EH +FH=HI+EI +FH HI+FL+FH HI+HL=2HL, CH=HL+CL=2HE=HL m-cn. 2 ÷2Hm=2x5cI=5cH. 2 ∴.EH+FH=V2CH: 6V5 (3)5 【分析】(1)由正方形的性质得∠BCD=90°，由EH⊥AF,得∠EHF=∠FHG=90°，则 ∠GEC+∠CFH=360°-∠BCD-∠EHF=180°，再根据等角的补角相等，即可得出结论： (2)作CI1EG于点1，CLL4F交AF的延长线于点L,可证明 CEI≌ACFL(AAS) 得EI=FL CI=CL,再证明四边形CHL是正方形，得HⅢ=HL=CL,可推导出EH+FH=HI+HL=2HL,因为 GH=Nm+-L·所以L-号CH,进面可利结论 (3)作EK⊥AD于点K,连接FG,由AG=2,DG=1,得AB=CD=BC=AD=AG+DG=3,再证明 四边形ABEK是矩形，得BE=AK,EK=AB=AD,进而证明 KGADF(ASA)KG-DF BG=,由BE=DF,得K=DF=KG,可求得DF=l,由勾股定理求得 EG=AF=V10FG=√2 G=V10 由2oGl-2x1=5求出9 5,进而可求EH、FH,再结合(2)的结论即可求解. 【详解】(1)略 58/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：如图3，作EK⊥AD于点K,连接FG,则∠EKG=∠D=∠AHG=90°， B E 图3 .∠KEG=∠DAF=90°-∠AGH, AG=2,DG=1, .AB=CD=BC=AD=AG+DG=2+1=3. :LAKE=∠BAK=∠B=90°， ∴四边形ABEK是矩形， .'BE=AK,EK AB=AD, 在△EKG和△ADF中， ∠EKG=∠D EK=AD ∠KEG=∠DAF' AEKG≌AADF(ASA) ∴KG=DF,EG=AF, ..BC=CD,CE=CF, ..BC-CE=CD-CF, ∴BE=DF, ∴.AK=DF=KG, .AK+KG=AG=2, ∴.DF+DF=2, ∴.DF=1, 59/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG-AF-VAD+DF10 :FG-VDF+DG- :xi0GH-×2x1=5e. 1 2 :G4s10 5, m-0-6h-而-+.H=o-m-《-2 5 5 :EH+FH=4i0,21而6N10 555 由(2)得EH+FH=V2CH, ∴V2cH=6vi0 5, .CH=615 5. 6.在正方形ABCD中，点E在射线BA上，点F在边BC上，DE=DF. C C D C M F E B B E 图1 图2 图3 (I)如图1，点E在BA的延长线上，求证：AE=CF: AG (2)如图2，在(1)的条件下，EF交AC于点G,若AB=3AE,求GC的值； (3)如图3，点E在边AB上，过点F作FN⊥DE于点N,FN交BD于点M,若点M是BD的中点， AB=2,请直接写出DN的长是 60/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， AD=CD,∠DAB=∠DCB=90° DE=DF 在Rt△ADE和RtACDF中，AD=CD, Rt△ADE≌Rt△CDF(HL) ∴.AE=CF AG 1 2)GC2 2V10 (3)5 【分析】(1)根据正方形的性质，利用HL可证明Rt△ADE≌Rt△CDF,根据全等三角形的性质即可得出 结论： (2)过点F作FP∥AB,交AC于P,根据正方形的性质，结合平行线的性质得出△PCF是等腰直角三角 形，CF=PF,进而证明△AEG≌aPFG(AAS),得出AG=PG,设AE=CF=PF=x,可得AB=3x, AG AC=3√2x,PC=√2x,根据线段的和差关系得出AP=2√2x,AG=√2x,即可得出GC的值： (3)过点B作BH⊥FN于H,BO⊥DE,交DE延长线于O,利用AAS证明△DMN≌aBMH,得出 DN =BH MN=M-MH,根据BQLDO,PN⊥DE:BH⊥FN得出四边形NO8H是矩形， 2 ∠QBH=90°，利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF,得出BE=BF,进而证明△QBE≌aHBF(AAS),得出 BQ=BH,可证明四边形NOBH是正方形，可得N=DN,在RI△DNM中，利用勾股定理求出DN的 值即可 【详解】(1)证明：略 (2)解：如图，过点F作FP∥AB,交AC于P, 61/64 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ACB=∠CAB=45°，∠B=90°， FP∥AB, ·.∠PFC=LB=90°，∠PFE=∠AEF, ∴△PCF是等腰直角三角形，CF=PF, 由(1)可知，AE=CF, ∴.AE=PF, 「∠AGE=∠PGF ∠AEG=∠PFG 在 和 中， AEG△PFG AE=PF .△AEG≌aPFG(AAS), .'AG=PG. 设AE=CF=PF=x, AB=3AE, 4B-3x AC=A+BC3x PC=CF+PF=x AP-AC-PC=2x AG-PG-P AGAG √2x ∴·GCPC+PG2x+2x2 (3)解：如图，过点B作BH⊥FN于H,BQ⊥DE,交DE延长线于O, 62/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M H B E 9 FN⊥DE,BH⊥FN, .∠FND=∠BHM=9O°，DE∥BH, :点M是BD的中点， ∴.DM=BM, [∠DNM=∠BHM=90° ∠DMN=∠BMH 和 中， △DNM'△BHM DM=BM ∴.△DMN≌ABMH(AAS) DN BH. MN=HM =INH 2 :BQ⊥DQ,FN⊥DE,BH⊥FN, ∴四边形NOBH是矩形，∠QBH=90° DE=DF 在Rt△ADE和RtACDF中， AD=CD. Rt△ADE≌Rt△CDF(HL) ∴AE=CF, ∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF, :∠QBE+∠ABH=∠QBH=90°，∠HBF+LABH=∠ABC=90°， .∠QBE=∠HBF ∠Q=∠BHF=90° ∠QBE=∠HBF 在 和 △QBE 中， HBF BE=BF 63/64 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△OBE≌aHBF(AAS), ..BO=BH, :四边形NOBH是正方形， :BH NH DN, MN=HM -I DN AB=2, DD:DM-- .DN2+MN2 =DM2, 20N+兮Dy=(2 解得：DW=210 (负值舍去). 64/64 专题03 特殊平行四边形与全等综合培优题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的全等综合培优题型 题型二、矩形中的全等综合培优题型 题型三、正方形中的全等综合培优题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 特殊平行四边形全等综合培优是初中数学图形压轴题，所有题型均围绕菱形、矩形、正方形展开，解题贯穿基本底线原则：是几何综合能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的全等综合培优题型 典例1 在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①连接，则的形状为________，若，，则的长是________； ②连接，求证：； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接．求证：． 题型模版 1.特征：特殊四边形培优问题. 2.方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式1-1 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 变式1-2综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 变式1-3在中，，以为边在其右侧作菱形，点在的延长线上． (1)如图1，连接，则____________． (2)如图2，点是边上一点（不与B，C重合），过点作（在上方）且，连接，． ①求证． ②如图3，若点是的中点，连接交于点，求的值． 类型二、矩形中的全等综合培优题型 典例2 在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，当点是的三等分点时，求此时线段的长． 题型模版 1.特征：特殊四边形培优问题. 2.方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式2-1手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 变式2-2在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 变式2-3如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 题型三、正方形中的全等综合培优题型 典例3 矩形中，，E为上一点，过D作交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)若，判断与的数量关系，说明理由； (3)若，，连接，若平分，求的长． 题型模版 1.特征：特殊四边形培优问题. 2.方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式3-1在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图1，过点P作于点E，求证：； (2)如图2，连接交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 变式3-2在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，连接、、， 求证：①； ②是等边三角形． (3)若，，，是中点，直接写出的长． 2．如图1，在菱形中，，，交于点O，分别在，上取点E，F，使得，连结，取中点G，连结． (1)求的值． (2)判断与的数量和位置关系，并说明理由． (3)如图2，作，分别交，于点P，Q，若，，求的长． 3．如图，点，，都在矩形的对角线上，点为矩形内部一点，连接，，，，，若，，，．    (1)求证：平分； (2)求的值； (3)连接，若，，直接写出的值． 4．实践与探究 数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动：如图1，矩形纸片中，，，点E在边上．将纸片沿着直线折叠，点C的对应点记为点F；再沿着过点B的直线折叠矩形纸片，使边恰好落在直线上，得到的折痕与交于点G，点A的对应点记为点H． 【操作发现】 (1)的度数为 ； 【初步探究】 (2)如图2，若点F恰好落在边上，求的长； 【迁移延伸】 (3)如图3，延长，交于点P，点E在边上运动时（点E不与点C重合）： ①判断点P到的距离是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出点P到的距离； ②直接写出点P到直线的最小距离． 5．如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点 G． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若，，则的长为 ． 6．在正方形中，点在射线上，点在边上，． (1)如图1，点在的延长线上，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，交于点，若，求的值； (3)如图3，点在边上，过点作于点，交于点，若点是的中点，，请直接写出的长是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $