专题05 特殊平行四边形中的旋转问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）与旋转结合的动态几何问题，以题型分类构建知识逻辑，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形旋转|3题|涉及对角线、顶点轨迹及旋转最值|菱形性质（对角线垂直平分）与旋转性质（旋转中心、旋转角）结合，探究动态中点轨迹与线段关系| |矩形旋转|3题|考查旋转角计算、顶点位置关系及翻折旋转综合|矩形性质（直角、对边相等）与旋转不变量（边长、旋转角）融合，分析旋转后图形重叠与顶点共线问题| |正方形旋转|3题|结合全等、相似及多顶点共线动态问题|正方形性质（四边相等、四角直角）与旋转全等/相似模型应用，解决线段取值范围及图形面积问题|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05特殊平行四边形中的旋转问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1菱形中的旋转问题（难） 题型2矩形中的旋转问题（难） 题型3正方形中的旋转问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的旋转问题 1. 3W5 2.（25,-2 3. 【答案】(I)解：四边形ABCD和AEFG均为菱形， .AB=AD,AE=AG. 在△BAE和△DAG中， :AB=AD,∠BAD=∠EAG,AE=AG .△BAE≌aDAG(SAS), :BE=DG (2)解：仍然成立，理由如下： ,四边形ABCD和AEFG均为菱形， .AB=AD,AE=AG. ∠BAD=∠EAG」 .∠BAD-∠DAE=∠EAG-∠DAE,即∠BAE=∠DAG, 在△BAE和△DAG中， :AB=AD,∠BAE=∠DAG,AE=AG. 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BAE≌aDAG(SAS), ...BE=DG (3)解：①如图，过点E作EH⊥AB于点H,则∠AHE=∠BHE=90°， H E C .∠BAD=60° .∠AEH=90°-∠BAD=30°、 AH =AE 2 .EH-AB-AHAE 2 .∠ABE=45°， .∠BEH=90°-∠ABE=45°， .∠BEH=∠ABE, BH=EH =V5 -AE, .AB=BH+AH,AB=6米， :6- AE+AE, 2 :AE=(63-6)米 即菱形AEFG的边长为(6V5-6)米： ②如图，连接AC,过点B作BM⊥AC于点M,则∠AMB=90°， D 、M B 在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°， 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AAB=BC=6,∠BAC=)∠BAD=30°， ·AC=2AM' BM=AB=3. 2 .AM=AB2-BM2 =33, .AC=2AM=63, 由①得：菱形AEFG的边长为63-6)米， .AG=63-6. 当点G在线段AC上时，如图， D G B A,B,F三点在同一条直线上， :∠BAG=号∠EAG=30°， 2 ∴.∠BAC=∠BAG ∴A,G,C三点也在同一条直线上， :.CG=AC-AG=63-(63-6)=6 当点G在线段CA的延长线上时，连接AF，如图， D :四边形AEFG为菱形， ·∠FAG=)∠E4G=30, A,B,F三点在同一条直线上， .∠BAC=∠FAG, 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴A,G,C三点也在同一条直线上， :CG=AC+AG=6N5+(63-6)=12V5-6: 综上所述，CG的长为6米或123-6)米」 ◆题型2矩形中的旋转问题 4.30°或90° 5.60 √万 6. 【答案】(1)解：①：四边形ABCD是矩形，AB=5,AD=6, .BC=AD=6,CD=AB=5,∠A=90°， ,将DC边向上翻折，使AB与DC重合，折痕为EF, ∴.AE=ED=CF=FB=3,EF=AB=5,∠DEF=90°， 由旋转可得，EF'=EF=5, 在RIAEAF'中，AF'=VEF2-AE2=V52-32=4, .BF'=AB-AF'=5-4=1 ②证明：如图，连接FF',过点F作FG⊥EF'于点G, G◇ 0 -EFBF-EFFG,EF-EF :Sr= ..FG=BF=3=DE, 由①可知，∠DE0=90°， :FG⊥EF', .FG0=90°=∠DE0. 在△DEO和△FGO中， 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DEO=∠FGO ∠DOE=∠FOG DE=FG .△DEO≌aFGO(AAS), ∴OD=OF」 (②)小明的发现正确，理由如下： 如图，连接AC,CE,BE F B E D 由折叠得：四边形AEFB和四边形EDCF'是全等的矩形， ∴.CF'=AE=3,∠CF'E=∠AEF=∠EAB=90°，EF'=EF,CE=BE, 在△CFE和△AEF中， CF'=AE ∠CF'E=∠AEF FE=EF .aCF'E≌aAEF(SAS), ∴∠CEF'=∠AFE,AF=CE, .EF'=EF, .∠EFF'=∠EFF, ∴.∠CEF'=∠EF'F, ..FF CE, 四边形ACEF是平行四边形， .'AC=EF AB, 在△ACE和△ABE中， 「AC=AB CE=BE AE=AE .△ACE≌aABE(SSS). 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAC=∠EAB=90°， .∠EAC+∠EAB=180°， ∴点C,A,B在同一条直线上 (3)解：如图，连接AC,CE, H B G E D 由(2)知：C,A,B三点共线，四边形ACEF是平行四边形， 、.ACI‖EF,AC=EF=AB, ∴.∠ACG=∠EFG, 在△ACG和△EFG中， [∠AGC=∠EGF ∠ACG=∠EFG, AC=EF :.△ACG≌aEFG(AAS). .4G=EG=)E、、J 2 .mECC-EF EF-EC 2 .EH=CH, .CF'=AE=3, EH-AE=CH-CF', .AH=FH, 设AH=FH=a,则CH=a+3, 在RtACAH中，AC2+AH2=CH2, 52+a2=(a+32, 8 解得0=3， 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 3 .'.GH=AG+AH= 3,825 236 ◆题型3正方形中的旋转问题 7.1或2 8.8+4V3或8-4V3 9. 【答案】(1)①解：由已知，CD=5,CE=CG=3, DE≤CD+CE=8, 当CD+CE=DE时，DE的最大值为8； ②解：四边形ABCD为正方形， A G K 3 E .∴∠BCD=90°CB=CD ,四边形CEFG为矩形， ∴∠GCE=90°=∠BCD」 .∠BCG=∠DCE 在△BCG和△DCE中， CB=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE '△BCG≌aDCE(SAS). ∴.∠1=∠2， ∠DHK=180°-∠2-∠4， ∠BCD=180°-∠1-∠3， 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠1=∠2，∠3=∠4， .∠DHK=∠BCD=90°； (2)解：①当矩形CEFG旋转至如图时，四边形DECG为平行四边形， 此时，点D与点F重合， :.DE=FE=4; D(F) B C ②当矩形CEFG旋转至如图时，四边形DEGC为平行四边形此时，点D、E、F三点共线， ..DE=CG=4; D ③当矩形CEFG旋转至如图时，四边形DCEG为平行四边形， D 此时DG=CE=3, 又CG=4,CD=5, .CG+DG=42+32=52=CD2 ∴.∠CGD=90°， 又：∠CGF=90°， ∴.∠DGF=∠CGD+∠CGF=180°， 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即点D、G、F在同一条直线上. 在Rt△DEF中，∠F=90°，由勾股定理得： DE=VDF2+EF2=V3+3}+42=V52=213. 综上所述，DE的长为2W13或4. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.A 2.A 3.D 二、填空题 4.48° 5.3*3 2 6.7或17 三、解答题 1. 【答案】 【详解】(1)解：如图①，四边形ABCD是矩形， ∠B=90°， .AC=VAB2+BC2=V32+42=5, 由矩形旋转可知：CB=CF=4, ∴AF=AC-CF=5-4=1」 (2)解：如图②，过点C作CH⊥BD于点H, 9/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H G 图② 在Rt△BDC中，BD=VBC2+CD2=5, 由矩形旋转可知：CB=CF, CH⊥BD, :.BH=FH-IBF, 2 SAe)BD·CH=2BCCD CH=12 ’ BH=BC2-CH=16 , BF=2BH=32 · DF=BF-BD= .Sscor=1DF.CH=1x1x12 -x-X 2 25525 (3)解：BG+DF2的值为50， 如图③，连接BD,GF,易得FG=BD=5 D 图③ 由矩形旋转可知：CB=CF,CD=CG,∠BCF=∠DCG, ∠CBF=∠CFB,∠CDG=∠CGD, ∠CBF=∠CDG, ,四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90° 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠CBF=∠CDG,∠CIB=∠DIH, ∴.∠DHB=∠BCD=90°，即BF⊥DG, 在Rt△BGH中，BG2=BH2+HG, 在Rt△DFH中，DF2=DH2+HF2, 在Rt△BDH中，BD=BH+DH, 在RtAFGH中，GF2=HF2+HG2, .BG+DF2=BD2+GF2=52+52=50,即BG+DF2的值为50. 8. 【答案】 【详解】(1)证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AD=AB,AG=AE,LBAD=∠EAG=90°， ∴.∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG,即∠DAG=∠BAE, .aADG≌△ABE(SAS): (2)解：选①证明：设BE与AG交于点P BO E 图2 ∴.∠BPG=∠APE △ADG≌△ABE, ∴∠DGA=∠AEB 在△OPG和△AEP中， :∠GOE=180°-∠BPG-∠DGA,∠PAE=180°-∠APE-∠AEB .∠GOE=∠PAE=90°， .在旋转过程中，∠GOE的度数不变 选②证明：如图， 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO E A D 图2 △ADG≌△ABE DG=BE,S.ADG =S.ABE, 1 2XMM×DG= 2xANx BE ∴AM=AN, ∴·在旋转过程中，AM与AN之间的数量关系不变. 9. 【答案】(I)解：DM=B'N,理由如下： D N:B 图1 四边形ABCD是菱形， .'AB=AD, ∴.∠ADB=∠ABD, 由旋转的性质可得：AB=AB,∠ABD=∠AB'D',∠BAD=∠BAD', ,AD=AB,∠ADM=∠AB'N, 又，∠BAD-∠BAD'=∠B'AD'-∠BAD', .∠DAM=∠B'AN, .aDAM≌aB'AN(ASA), .DM=B'N, (2)解：如图2所示，连接BD交AC于点O, 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O D' A B B 图2 :四边形ABCD是菱形， OB-BD,AC-204.ACLBD, AB=AD' .∠BAD=60°， △ABD是等边三角形，∠DAC=∠BAC=30°， .BD=AB=4,∠ADB=60°， .OB=2, .OA=VAB2-OB2=2√3， .AC=4V3: 由旋转的性质可得∠AD'B=∠ADB=60°，AD'=AD=AB=4, ,B'D'⊥AB ∴.∠BAD'=30°=∠BAC, :A、D、C三点共线， .CD'=AC-AD'=4V3-4; (3)解：如图3所示，连接BD, D B 图3 ,四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD, .∠BAD=60°， .△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=4; 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可得AD'=AD, .AD'=AB. ,AE⊥DD',AF⊥BD .DE-TDD.DF-3BD, ∴.EF为△BDD'的中位线， EF三BD=2 10. 【答案】 【详解】(1)解：四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， ∴.AB=AD,AG=AE,∠GAE=∠DAB=90°， 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB=90°， AD=AB .△GAD≌△EAB(SAS), ∴.DG=BE,∠AGD=∠AEB, 如图，延长BE交DG于点H, D FH以E G B 图1 :∠AEB+∠ABE=180°-∠BAE=90°， ∴.∠AGD+∠ABE=90°， :.∠BHG=180°-（∠AGD+∠ABE)=90° .直线DG与直线BE的夹角度数为90°： (2),四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， 、AB=AD,AG=AE,∠GAE=∠DAB=90°， .∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE, 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠GAD=∠EAB, 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB, AD=AB .△GAD≌aEAB(SAS)」 :.DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图，延长BE交DG于点M, D M B 图2 .∠ABE+∠BNA=180°-∠DAB=90°，且∠BNA=∠DNM, .∠ADG+∠DNM=90°， .∠DMN=180°-（∠ADG+∠DWM）=90°. 即DG与直线BE的夹角度数为90°： (3)解：DG=BE,直线DG与BE的夹角度数为60°，理由如下： ,四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形， .AG=AE,AD=AB,∠DAB=∠GAE=6O°， .∠DAB-∠DAE=∠GAE-∠DAE. .∠GAD=∠EAB, 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB AD=AB :.△GAD≌△EAB(SAS) .DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图，延长BE交DG的延长线于点H,交AD于点T, 15/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G H E C B 图 :∠DTH=∠ATB,∠H+∠DTH+∠ADG=180°，∠DAB+∠ATB+∠ABT=180°， .∠H=∠DAB=60°， ∴.直线DG与BE的夹角度数为60°： (4)解：，CE≥AC-AE .如图，当点E在AC上时，线段CE取得最小值， G D B 图4 连接BD,交AC于O, ,四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， .∠OAB=30°，∠AOB=90°，AC=2A0, AB=2, 084B=1, ∴OA=VAB2-0B2=V5, .AC=20A=23」 .CE=AC-AE =23-1. 线段CE的最小值为2W3-1. 16/16 专题05 特殊平行四边形中的旋转问题 常考题型·精准突破 题型1 菱形中的旋转问题（难） 题型2 矩形中的旋转问题（难） 题型3 正方形中的旋转问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的旋转问题 1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的中位线，根据三角形的中位线定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形三边关系可得当点、、三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当点、、三点共线时，取最小值， 最小值为． 2．（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形的性质；如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)①米；②6米或米 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． ◆题型2 矩形中的旋转问题 4．（2025·河南新乡·一模）如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，将绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是、，当A、、三点共线时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ，，， ，， ∵将绕点B旋转至， ，， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如图：当点在线段的延长线上时， ，， ， ∵将绕点B旋转至， ，， ， ， 在与中， ， ， ，点在上， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，．将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点落在对角线上． （1）旋转角的度数为______； （2）连接，则的长度为_______． 【答案】 【分析】（1）如图，取的中点O，连接，首先利用勾股定理求出，然后由斜边中线的性质得到，推出点和点O重合，证明三角形是等边三角形，即可得到旋转角的度数为； （2）如图，过点作交于点F，，交于点，由旋转得，，证明四边形是矩形，，得到，，然后多次利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）如图，取的中点O，连接 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵点O是的中点 ∴ 由旋转得，，点落在对角线上 ∴点和点O重合， ∴ ∴三角形是等边三角形 ∴ ∴旋转角的度数为； （2）如图，过点作交于点F，交于点 ∵ ∴ 由旋转得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． (1)如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______；②求证：． (2)如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由． (3)小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】(1)①1； ②证明：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， 由①可知，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)小明的发现正确，理由如下： 如图，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上． (3) 【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长； ②连接，过点作于点，利用等面积法可得，证明，可得结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得结论； （3）连接，，先证明，由等面积法可得，则可得，设，在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵将边向上翻折，使与重合，折痕为， ∴，，， 由旋转可得，， 在中，， ∴． ②略 （2）略 （3）解：如图，连接，， 由（2）知：，，三点共线，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． ◆题型3 正方形中的旋转问题 7．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为____． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，线段最值的计算，掌握旋转的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理，旋转的性质得到的最小值为，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形都是边长为的正方形， ∴， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最小值为， 如图所示，正方形绕顶点旋转一周， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最大值为， ∴， ∴线段的长可取的整数值为或， 故答案为：或 ． 8．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接，，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，的面积为______．    【答案】或 【分析】当点在直线右侧时，如图，过点作于，延长交于，由旋转的可得，，由等腰三角形的性质可求，通过证明四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求的长，可得的长，由三角形面积公式可求解；若点在直线的左侧时，过点作于，交于，相同的方法求解即可得． 【详解】解：当点在直线右侧时， 如图1，过点作于，延长交于，    将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转， ∴，， ，， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 的面积为； 点在直线的左侧时， 如图2，过点作于，交于，    同理可得：， ， 的面积为； 综上，的面积为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转． (1)如图1，若． ①直接写出旋转过程中线段的最大值； ②连接、，若、交于点，求的度数； (2)如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①8；②； (2)存在，的长为或4． 【分析】（1）①根据已知条件，由两点之间线段最短，可以得到线段的最大值 ②由已知条件，证明，推得再利用三角形内角和，求出； （2）分类讨论当矩形旋转到不同位置时构成平行四边形的情况，分别求出线段的长． 【详解】（1）①解：由已知，，， ， 当时，的最大值为8； ②解：∵四边形为正方形， ，， ∵四边形为矩形， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 又，， ； （2）解：①当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形， 此时，点与点重合， ； ②当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形此时，点、、三点共线， ； ③当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形， 此时， 又，， ， ， 又， ， 即点、、在同一条直线上． 在中，，由勾股定理得： ． 综上所述，的长为或4． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2025·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答； 【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形,，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴阴影部分的面积， 故选：A 2．（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先确定，结合菱形的性质以及旋转的性质，确定旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上；连接，过点作轴于点E，易得，，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，的长度，结合点在第三象限即可确定其坐标；根据图像变化规律可知第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 连接，过点作轴于点E，如图，则， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 又∵， ∴第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同， ∴． 3．（2025·浙江台州·二模）如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（　　）      A．随着旋转角度的增大而增大 B．随着旋转角度的增大而减小 C．不变，都是 D．不变，都是 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的综合运用．连接，，，，依据正方形的性质，即可得到，进而得出，根据全等三角形的性质，可得．同理可得，，根据，可知在正方形旋转过程中，的大小不变，是． 【详解】解：如图所示，连接，，，，   正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形， ， ， 又， ， ， 又， ， ． 同理可得，， ． 在正方形旋转过程中，的大小不变，是． 故选：D． 二、填空题 4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． 三、解答题 7．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G． (1)如图①，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图②，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； (3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点H，连接，直接写出，的值． 【答案】(1)1 (2) (3)50 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）如图②：过点C作于点H，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，然后再根据三角形面积公式求解即可； （3）如图：连接，，易得；由旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图①∵四边形是矩形， ， ∴， 由矩形旋转可知：， ． （2）解：如图②，过点C作于点H， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ∴， ， ， ∴， ． ， ． （3）解：的值为50， 如图③，连接，易得 由矩形旋转可知：，，， ，， ， ∵四边形是矩形， ， ∵，， ，即 ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，即的值为50． 8．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①证明见解析；选②证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； （2）解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 9．（25-26八年级下·山东济南·期末）综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决． 观察证明： (1)如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由； 操作计算： (2)如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为 ； (3)如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3)2 【分析】（1）由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，，，证明，即可得到； （2）连接交于点O，证明是等边三角形，，可求出，得到；证明，得到三点共线，则可得到； （3）连接，证明是等边三角形，得到；可证明，，由三线合一定理得到，则为的中位线，据此可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图2所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； （3）解：如图3所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3），直线与的夹角度数为，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05特殊平行四边形中的旋转问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1菱形中的旋转问题（难） 题型2矩形中的旋转问题（难） 题型3正方形中的旋转问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的旋转问题 1.(25-26八年级下江苏镇江期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,菱形A'B'C"D的顶 点A与点O重合，AD'=2AD=4,∠DAB=∠DAB=60°，连接AD',取其中点M,连接B'M,将菱形 AB'CD绕点A旋转一周，则B'M的最小值为一 D 2. (2025宁夏银川一模)雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种 美丽的结晶体，美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系， 绘制菱形OABC,且顶点B的坐标为(0,4)，点A在第一象限，∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O沿顺 时针方向旋转5次，每次旋转60°，旋转第一次得到四边形0AB,C(点C与点A重合)，则旋转第四次得 到的点B4的坐标是 B A(C) 3.(25-26八年级下广西南宁·期末)综合与实践 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点A,大型钢架为菱 形ABCD,小型钢架为菱形AEFG,设计图纸规定两个菱形顶角∠BAD=∠EAG,BE、DG是钢架支撑杆」 施工时小型钢架AEFG锁死固定不动，大型钢架ABCD可绕支点A自由旋转调整摆放角度，工程人员需要 测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题， 图1 图2 【操作发现】 (I)如图1，调整大型钢架，使得大型钢架边AD与小型钢架边AE重合.请直接写出钢架支撑杆BE与DG 之间的数量关系， 【探究验证】 (2)按图2方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点D落在小型钢架的侧边EF上，请问(1)中的结论是否仍然 成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 【拓广探究】 (3)现场实测：图1摆放状态下∠ABE=45°，∠BAD=60°，大型钢架边长AB为6米。 ①求小型菱形钢架AEFG的边长.， ②旋转调整大型钢架菱形ABCD,当A、B、F三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆CG, 请直接写出CG的长度： ◆题型2矩形中的旋转问题 4.(2025河南新乡一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,∠B=30°，点D、E分别在边BC、 AB上，BD-2,DE∥AC,将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E',当A、D 、E'三点共线时，∠EBE的度数为. E D 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下江苏南通期末)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=V5.将矩形ABCD绕点A 逆时针旋转至矩形AB'CD',点B落在对角线BD上. D (1)旋转角的度数为—°； (2)连接CD',则CD'的长度为 6.(25-26八年级下·江苏扬州期末)综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形 纸片操作实践并探索发现.如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB=5,AD=6.先将DC边向上翻 折，使AB与DC重合，折痕为EF(如图2)，沿EF裁开得到两个矩形.矩形ABFE保持不动，将矩形 DCFE绕点E逆时针旋转，点F的对应点为F, (D)A B(C) F(F) 图1 图2 图3 图4 (I)如图3，小聪将矩形DCFE的顶点F'旋转至边AB上，连接DF交EF'于点O ①则BF'的长为一；②求证：OD=OF. (②)如图4，小明继续旋转矩形DCFE,他发现，当点F'落在FA的延长线上时，点C、A、B在同一条直 线上，小明的发现正确吗？请说明理由， (3)小红在小明的基础上继续探究，连接CF交AE于点G,延长CF'交EA的延长线于点H,小红说她可以 计算出GH的长，则GH=, 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3正方形中的旋转问题 7.(24-25九年级上河南开封阶段检测)如图，边长都为1的正方形AEFG与正方形ABCD,正方形 AEFG绕项点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长可取的整数值为一 G B 8.(2026广东东莞模拟预测)如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形 AB'CD',连接BB,BC',在旋转角从O°到180°的整个旋转过程中，当BB'=BC'时，△BB'C'的面积为 9.(25-26八年级下福建泉州期末)已知四边形ABCD是边长为5的正方形，将矩形CEFG绕点C旋转， D B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若CE=CG=3 ①直接写出旋转过程中线段DE的最大值； ②连接BG、DE,若BG、DE交于点H,求∠BHD的度数： (2)如图2，若CE=3,CG=4,在旋转过程中，是否存在以C、E、D、G四点为顶点的四边形是平行四 边形，若存在，求出线段DE的长，若不存在，请说明理由 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1,(2025浙江湖州一模)如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG,在旋转过程中，FG恰好过点 C,过点G作MN平行AD交AB,CD于M,N若AB=3,BC=5,则图中阴影部分的面积的是() D N 15 A.3 B.4 C.5 D.2 2.(2026河南鹤壁·一模)鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案.如 图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点B的坐标为(0,4)，点A在第一象限， ∠AOC=60°.将菱形OABC绕原点O顺时针方向旋转，每次旋转60°，第一次旋转得到菱形花瓣OAB,C. 若持续旋转，第2026次旋转后，顶点B2026的坐标是() A(C) 7B1 A A.（-25,-2B.(0,-4) C.（-2,-25) D.(25,-2 3.(2025浙江台州：二模)如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形 A'B'CD',AB和B'C'分别交AB于点E,F,在正方形旋转过程中，∠EOF的大小() 519 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.随着旋转角度的增大而增大 B.随着旋转角度的增大而减小 C.不变，都是60° D.不变，都是45 二、填空题 4.(25-26九年级上·重庆铜梁期中)如图，将矩形ABCD绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形 A'BCD',若∠ABC=132°，则∠ABC的度数是 5.(2025·陕西西安·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，将该菱形绕点A在平面内顺时针 方向旋转30°得到菱形AEFG,EF与CD交于点M,且DM=1,则旋转后的图形与原图形重叠部分的面 积是 6.(25-26八年级下·浙江宁波期中)共顶点的正方形AEFG绕着正方形ABCD旋转，其中AB=13, AE=5V2.在旋转一周的过程中，当B、E、G三点恰好在同一条直线上时，此时BG= 619 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F A B 三、解答题 7.(25-26九年级上贵州六盘水期未)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点C为旋转中心， 将矩形ABCD沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG,点A,B,D的对应点分别是点E,F,G. D G 图① 图② 图③ (L)如图①，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长： (2)如图②，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求DCF的面积： (3)如图③，将矩形ABCD旋转一定角度后，连接BF,DG交于点H,连接BF,DG,直接写出， BG+DF2的值. 8.(25-26九年级下·河北邯郸阶段检测)如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG,点B在边AG上， 点D在线段EA的延长线上.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转Q(O°<a<90),连接DG,BE,DG 与直线BE交于点O,如图2所示 G B A 图1 图2 (I)如图2，求证：△ADG≌△ABE: (2)请在下列①、②中任选一问进行证明. ①在旋转过程中，∠GOE的度数不变： ②过点A作AM⊥DG于点M,AN⊥BE于点N,在旋转过程中，AM与AN之间的数量关系不变， 9.(25-26八年级下山东济南期末)综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD中，BD为对角线，∠BAD=60°，AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为Q(单位： °)，旋转后的菱形为ABC'D',在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决。 B 图1 图2 图3 观察证明： (I)如图1，若旋转角a<60°，AD与BD相交于点M,AB与B'D'相交于点N,请写出DM与B'N的数量关 系，并说明理由： 操作计算： (2)如图2，连接CD',菱形ABCD旋转的过程中，当B'D'与AB互相垂直时，CD'的长为_： (3)如图3，若旋转角a<60°，分别连接DD',BD',过点A分别作AE⊥DD',AF⊥BD',连接EF,菱 形ABCD旋转的过程中，发现在△AEF中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度】 10.(25-26八年级上山东淄博期末)【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动. 【操作发现】 (I)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.线段DG与线段BE之间的数量关系是 ； 直线DG与直线BE的夹角度数为一； (注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的 小于等于90°的角) (2)如图2，当正方形AEFG绕点A旋转时，线段DG与线段BE之间的数量关系是 -;直线DG 与直线BE的夹角度数为， 【深入探究】 (3)如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE,∠DAB=∠GAE=60°，猜想线段 DG与BE的数量关系及直线DG与BE的夹角度数，并说明理由. 【迁移探究】 (4)如图3，在(3)的条件下，AB=2,在菱形AEFG绕点A旋转过程中，求线段CE的最小值， D B B 图1 图2 图3 备用图 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9/9